直觀圖在初中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中的應(yīng)用策略

【摘要】在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，問題解決教學(xué)不僅是重點，更是難點.數(shù)學(xué)問題具有一定的抽象性，對于學(xué)生來說具有一定的難度.直觀圖能將數(shù)學(xué)問題中抽象化的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行具象化表征，從而幫助學(xué)生進(jìn)行順利解題.文章首先闡述了直觀圖的定義，并分析了其具有直觀性、簡潔性、啟發(fā)性和普適性的特點，其次分析了直觀圖在初中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中的作用，最后詳細(xì)論述了直觀圖在初中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中的應(yīng)用策略，包括進(jìn)行直觀表征，精準(zhǔn)映射概念；借助直觀分析，解構(gòu)問題脈絡(luò)；引導(dǎo)直觀解釋，理清邏輯過程；引發(fā)直觀探索，激發(fā)創(chuàng)新思維，以期利用直觀圖提高學(xué)生的問題解決能力，促進(jìn)他們數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；直觀圖；問題解決能力；策略應(yīng)用；數(shù)學(xué)素養(yǎng)

引 言

隨著新課程改革的不斷深化，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)已成為教育領(lǐng)域的核心議題.初中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生思維能力、提升核心素養(yǎng)的重要方式.然而，面對數(shù)學(xué)中那些抽象的概念與復(fù)雜的問題，學(xué)生往往感到力不從心.直觀圖以直觀、簡潔的表征方式，能將原本晦澀難懂的數(shù)學(xué)知識具象化，使學(xué)生更輕松地理解并掌握.同時，在初中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中，直觀圖的應(yīng)用不僅能夠幫助學(xué)生更好地把握問題的本質(zhì)，還能激發(fā)他們的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)他們主動探索、積極思考.

一、直觀圖的定義與特征

直觀圖就是指通過圖形、圖表、模型等一系列視覺元素來直接展示數(shù)學(xué)概念、原理及問題的表征方式.直觀圖能將原本抽象、復(fù)雜的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)化為直觀、形象、易于理解的圖像形式，為學(xué)生搭建起一座從抽象到具體、從理論到實踐的橋梁.

直觀圖融合了數(shù)學(xué)的符號、公式、定理等元素，以視覺化的方式呈現(xiàn)出來，能夠幫助學(xué)生在觀察、分析和思考的過程中，逐步構(gòu)建起對數(shù)學(xué)知識的深刻理解和認(rèn)知.直觀圖具有以下幾個顯著特征.

（一）直觀性

直觀圖的最大特點在于其直觀性.視覺是人類獲取信息的主要途徑之一，而直觀圖正是利用了這一特點，將復(fù)雜的數(shù)學(xué)關(guān)系以直觀的形式展現(xiàn)出來.學(xué)生在面對直觀圖時，可以迅速捕捉到問題的核心和關(guān)鍵信息，從而避免了在抽象文字間徘徊不前的困境.這種直觀性不僅降低了學(xué)生的理解難度，還提高了他們的學(xué)習(xí)興趣和積極性.

（二）簡潔性

在信息化時代，簡潔性成了一種難能可貴的品質(zhì).直觀圖通過精煉的圖形表達(dá)了復(fù)雜的數(shù)學(xué)信息，減少了冗余的文字描述和解釋.這種簡潔性不僅使直觀圖本身更加美觀大方，還提高了信息傳遞的效率.學(xué)生在閱讀直觀圖時，可以更加專注于核心內(nèi)容的理解和思考，從而提高了學(xué)習(xí)效率.

（三）啟發(fā)性

直觀圖不僅具有直觀性和簡潔性，還具有啟發(fā)性.直觀圖中的每一個元素、每一條線條都可能引發(fā)學(xué)生的聯(lián)想和思考.學(xué)生可以通過觀察直觀圖中的圖形、顏色、布局等元素來發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律、構(gòu)建數(shù)學(xué)模型或提出新的問題.這種啟發(fā)性不僅激發(fā)了學(xué)生的探索欲和創(chuàng)造力，還培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力.

（四）普適性

直觀圖的普適性體現(xiàn)在其廣泛的應(yīng)用范圍.無論是代數(shù)、幾何還是概率統(tǒng)計等各個數(shù)學(xué)領(lǐng)域，都可以運(yùn)用直觀圖進(jìn)行輔助教學(xué).在代數(shù)中，直觀圖可以幫助學(xué)生理解函數(shù)關(guān)系、方程求解等概念；在幾何中，直觀圖則成為描述形狀、大小、位置等關(guān)系的重要工具；在概率統(tǒng)計中，直觀圖則用于展示數(shù)據(jù)的分布、趨勢等特征.這種普適性使得直觀圖成了一種不可或缺的教學(xué)資源.

二、直觀圖在初中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中的作用

直觀圖在初中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中發(fā)揮著舉足輕重的作用.它不僅能夠簡化學(xué)生對問題的理解，降低認(rèn)知難度；還能夠促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展，培養(yǎng)他們的解題能力.

（一）簡化問題理解，降低認(rèn)知難度

對于初中生而言，數(shù)學(xué)知識中的許多概念、公式和定理都較為抽象，難以直接把握.而直觀圖則能夠?qū)⑦@些抽象的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為具體的圖形或圖像，促使學(xué)生一目了然地看到問題的本質(zhì).如：在解決幾何問題時，教師通過繪制直觀的幾何圖形，可以讓學(xué)生清晰地看到圖形的形狀、大小、位置關(guān)系等，從而更容易地理解題目的要求，找到解題的突破口.這種直觀呈現(xiàn)的方式，不僅降低了學(xué)生的認(rèn)知難度，還提高了他們解題的準(zhǔn)確率和解題效率.

（二）促進(jìn)思維發(fā)展，培養(yǎng)解題能力

學(xué)生通過觀察和分析直觀圖，可以從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在規(guī)律和聯(lián)系，進(jìn)而形成自己的解題思路.這種從具體到抽象的思維過程，不僅鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力，還培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新能力和問題解決能力.同時，直觀圖的應(yīng)用還鼓勵學(xué)生進(jìn)行多角度、多層次的思考，從而在解決問題的過程中不斷積累經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).如：在解決函數(shù)問題時，學(xué)生通過繪制函數(shù)圖像，就可以直觀地看到函數(shù)的增減性、極值點等關(guān)鍵信息，從而更容易地找到解題的方法.

三、直觀圖在初中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中的應(yīng)用策略

在初中數(shù)學(xué)問題解決教學(xué)中，直觀圖作為一種重要的輔助教學(xué)工具，具有不可替代的作用.教師可以通過直觀表征，將抽象的數(shù)學(xué)概念精準(zhǔn)地映射為可視化的圖形或圖像，幫助學(xué)生深刻把握概念的本質(zhì)屬性.同時，教師可借助直觀圖的直觀性，幫助學(xué)生解構(gòu)復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的脈絡(luò)，降低理解難度，提高解題效率.此外，教師還可以借助直觀圖引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀解釋，理清數(shù)學(xué)推理的邏輯過程，使他們更好地理解和掌握數(shù)學(xué)規(guī)律.最后，教師還可以運(yùn)用直觀圖激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行直觀探索，從而拓寬視野，培養(yǎng)解決問題的能力.

（一）進(jìn)行直觀表征，精準(zhǔn)映射概念

直觀圖為概念的精準(zhǔn)映射提供了強(qiáng)有力的支撐.直觀表征能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念轉(zhuǎn)化為可視化的圖形或圖像，這一過程不僅促進(jìn)了學(xué)生對概念本質(zhì)屬性的深刻把握，還為他們構(gòu)建起了概念與圖形之間的緊密聯(lián)系.同時，直觀圖能夠精準(zhǔn)地映射出概念的內(nèi)涵與外延，使學(xué)生在面對復(fù)雜多變的數(shù)學(xué)問題時，能夠迅速準(zhǔn)確地調(diào)用相關(guān)概念.

例如，在教學(xué)“一次函數(shù)”一課時，教師可以先基于“登山隊大本營所在地的氣溫為5℃，海拔每升高1km，氣溫下降6℃”這一問題情境引出函數(shù)解析式y(tǒng)=5-6x，然后與正比例函數(shù)進(jìn)行比較，再利用表格直觀展示不同x值對應(yīng)的y值變化.

在這個表格中，x值代表海拔升高的千米數(shù)，y值代表對應(yīng)的氣溫.通過表格，學(xué)生可以直觀地看到隨著海拔的升高（x值的增大），氣溫逐漸降低（y值的減小）.同時，由于氣溫下降的速度是固定的（每升高1km下降6℃），因此y值隨x值的變化呈現(xiàn)出一種線性的關(guān)系，即y值的變化量是固定的（-6）.這個表格不僅幫助學(xué)生理解了函數(shù)解析式y(tǒng)=5-6x的實際意義，還通過直觀的數(shù)據(jù)展示，使學(xué)生輕松理解了一次函數(shù)中變量之間的線性關(guān)系.學(xué)生能夠在觀察和分析中逐漸建立起對一次函數(shù)基本特征的初步認(rèn)識.在學(xué)生理解了一次函數(shù)及其解析式的意義、能辨別正比例函數(shù)與一次函數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系、能用一次函數(shù)解決簡單的實際問題后，教師可進(jìn)一步引入坐標(biāo)圖這一強(qiáng)大的直觀工具.通過在坐標(biāo)系中繪制出一次函數(shù)的圖像——一條直線，學(xué)生得以直觀地看到函數(shù)隨自變量變化而呈現(xiàn)出的線性變化趨勢.這一過程中，教師不僅展示了直線如何隨著x的增大或減小而上升或下降，還通過改變直線斜率（即“k”值）和截距（即“b”值），讓學(xué)生深刻體會到這兩個參數(shù)對函數(shù)圖像的具體影響.坐標(biāo)圖的運(yùn)用，使學(xué)生能夠在視覺的引導(dǎo)下，更加深入地理解一次函數(shù)的本質(zhì)屬性.

從以上案例可以看出，直觀表征作為培養(yǎng)數(shù)學(xué)問題解決能力的首要策略，其重要性不言而喻.通過這一策略的實施，學(xué)生得以在直觀圖的輔助下，實現(xiàn)對數(shù)學(xué)概念的精準(zhǔn)映射與深刻理解.這一過程不僅豐富了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，還為他們后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

（二）借助直觀分析，解構(gòu)問題脈絡(luò)

每一個數(shù)學(xué)問題都需要學(xué)生運(yùn)用智慧去探索與解決.通過直觀圖的引入，學(xué)生可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題解構(gòu)為一系列簡單直觀的圖形或圖像，進(jìn)而清晰地看到問題的脈絡(luò)與結(jié)構(gòu).這種化繁為簡、化抽象為直觀的過程，極大地降低了學(xué)生理解問題的難度，提高了他們解決問題的效率.直觀分析不僅幫助學(xué)生把握了問題的整體框架，還為他們提供了深入剖析問題細(xì)節(jié)的途徑，為問題的最終解決提供了有力支持.

例如，在教學(xué)“從算式到方程”這一課時，教師可出示以下習(xí)題：“晚飯后，爸爸從家里出發(fā)去公園散步，速度大約是每分鐘80米.5分鐘后，小明從家里出發(fā)去追趕爸爸，速度大約是每分鐘180米.小明追上爸爸用了多長時間？”教師引導(dǎo)學(xué)生對已知條件和所求問題進(jìn)行梳理，隨后讓他們獨(dú)立嘗試解決.有的學(xué)生用了算術(shù)方法：80×5=400（米），180-80=100（米/分），400÷100=4（分）；有的學(xué)生則“設(shè)小明追上爸爸用了x分”，借助線段圖來分析（如圖1），從而將復(fù)雜的動態(tài)過程轉(zhuǎn)化成為靜態(tài)的圖形展示.

從線段圖上能夠一眼看出，當(dāng)小明追上爸爸時，他們所走的總路程是相等的，這是解決問題的關(guān)鍵等量關(guān)系.從圖1還可以看出，在這x分鐘內(nèi)，爸爸走了80x的距離，而小明則走了180x的距離.由于爸爸比小明多走了5分鐘的路程，所以可以得到數(shù)學(xué)表達(dá)式：80x+80×5=180x.教師引導(dǎo)學(xué)生比較兩種方法時，學(xué)生清晰地認(rèn)識到，借助直觀圖分析問題，更容易準(zhǔn)確把握關(guān)鍵的等量關(guān)系，再根據(jù)等量關(guān)系列出方程，也就解決問題了.

以上案例中，學(xué)生在直觀圖的引導(dǎo)下，對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行了深入的剖析與解構(gòu)，從而清晰地把握了問題的脈絡(luò)與結(jié)構(gòu).這一過程不僅鍛煉了學(xué)生分析問題與解決問題的能力，還培養(yǎng)了他們的邏輯思維與批判性思維.教師應(yīng)高度重視直觀分析在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，讓它成為學(xué)生探索數(shù)學(xué)的得力助手.

（三）引導(dǎo)直觀解釋，理清邏輯過程

數(shù)學(xué)邏輯的力量是推動知識發(fā)展的不竭動力，而直觀解釋則是展現(xiàn)邏輯之美的重要途徑.通過直觀圖的運(yùn)用，學(xué)生可以將復(fù)雜的數(shù)學(xué)推理過程轉(zhuǎn)化為直觀易懂的圖形或圖像序列，從而清晰地展示出邏輯推理的每一個步驟與環(huán)節(jié).這種直觀化的解釋方式，不僅有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)推理的內(nèi)在邏輯與規(guī)律，還為他們提供了檢驗與反思自己推理過程的機(jī)會.直觀解釋讓學(xué)生仿佛置身于邏輯推理的現(xiàn)場，親身體驗著數(shù)學(xué)思維的魅力.

例如，在教學(xué)“完全平方公式”這一課時，教師引導(dǎo)學(xué)生從幾何角度進(jìn)行推理，為其理解這一公式提供了直觀而有力的支持.首先，教師出示一個邊長為“a+b”的正方形，其面積可以通過兩種不同的方式計算.一種是直接用正方形面積公式，即邊長的平方，得到（a+b）2，轉(zhuǎn)化為（a+b）（a+b）后，再利用乘法分配律可以得到a2+2ab+b2.另一種方式是將這個正方形分割為幾個不同的部分，分別計算面積后再相加.通過這種幾何分割的方法，可以清晰地看到大正方形被分割為一個邊長為a的正方形、一個邊長為b的正方形以及兩個長為a、寬為b的長方形（如圖2）.分別計算這些部分的面積，即a2，b2和2ab，相加后得到a2+2ab+b2.這說明a2+2ab+b2和（a+b）2都表示同一個正方形的面積，所以他們是相等的.通過幾何圖形進(jìn)行的解釋，不僅讓學(xué)生直觀地看到了完全平方公式的幾何意義，更深刻地理解了公式的由來.隨著學(xué)習(xí)的深入，教師還引導(dǎo)學(xué)生對于類似公式（a-b）2進(jìn)行猜測驗證.這種由一個例子引發(fā)的聯(lián)想和思考，有助于培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力和邏輯推理能力.

通過直觀圖的輔助，學(xué)生能夠以更加直觀、清晰的方式解釋數(shù)學(xué)推理的邏輯過程，這不僅加深了他們對數(shù)學(xué)知識的理解與掌握程度，還培養(yǎng)了他們的邏輯思維與表達(dá)能力.教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用直觀圖進(jìn)行邏輯解釋訓(xùn)練，讓學(xué)生在直觀與邏輯的雙重滋養(yǎng)下茁壯成長.

（四）引發(fā)直觀探索，激發(fā)創(chuàng)新思維

創(chuàng)新是推動人類社會向前發(fā)展的不竭源泉，而直觀探索則是激發(fā)學(xué)生創(chuàng)新思維的有效手段.通過直觀圖的引導(dǎo)與啟發(fā)，學(xué)生可以自由地在數(shù)學(xué)的世界里進(jìn)行探索與發(fā)現(xiàn).他們可以借助直觀圖嘗試從不同的角度、用不同的方法去審視與解決數(shù)學(xué)問題.這種探索性的學(xué)習(xí)過程不僅拓寬了學(xué)生的視野與思路，還激發(fā)了他們的好奇心與求知欲.

面對這個問題，學(xué)生首先需要理解題目中的分割規(guī)律，并嘗試將其轉(zhuǎn)化為直觀的圖形表示.通過繪制正方形并依次進(jìn)行分割，學(xué)生可以清晰地看到每個部分面積的變化趨勢（如圖3）.在這個過程中，學(xué)生學(xué)會了如何將抽象的數(shù)學(xué)關(guān)系轉(zhuǎn)化為直觀的圖形語言.

從以上案例可以看出，直觀探索對于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維具有不可替代的作用.通過直觀圖的引導(dǎo)與啟發(fā)，學(xué)生能夠勇敢地走出傳統(tǒng)思維的束縛與限制，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中大膽創(chuàng)新.教師應(yīng)充分發(fā)揮直觀圖的優(yōu)勢與特點，積極為學(xué)生創(chuàng)造探索與創(chuàng)新的機(jī)會與條件，讓數(shù)學(xué)成為他們展現(xiàn)智慧與才華的平臺.

結(jié) 語

綜上所述，直觀圖在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有不可忽視的作用.通過直觀表征、直觀分析、直觀解釋和直觀探索等策略的運(yùn)用，能夠為學(xué)生搭建起從抽象到具體、從困惑到清晰的橋梁.這不僅有助于學(xué)生更好地理解和解決數(shù)學(xué)問題，更能夠在潛移默化中培養(yǎng)其數(shù)學(xué)思維和創(chuàng)新能力.因此，教師應(yīng)進(jìn)一步深入研究直觀圖在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，不斷完善和優(yōu)化教學(xué)策略，以適應(yīng)教育發(fā)展的新需求，為提升學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)創(chuàng)造更有利的條件.

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