基于知識“生長點”促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展

【摘要】數(shù)學(xué)作為自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，其知識體系的發(fā)展是一個由簡至繁、由具體到抽象的漸進過程.在這一發(fā)展過程中，數(shù)學(xué)知識“生長點”作為新舊知識的交匯點和思維拓展的出發(fā)點，對初中生的學(xué)習(xí)和思維發(fā)展具有重要影響.文章首先對數(shù)學(xué)知識“生長點”的內(nèi)涵與意義進行了深入剖析，其次以“一次函數(shù)的圖像”教學(xué)為例，提出了基于數(shù)學(xué)知識“生長點”的多向性、邏輯性、系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性思維培養(yǎng)策略.實踐表明，這些策略能夠顯著提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，促進其全面發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)知識；生長點；初中生；思維發(fā)展；一次函數(shù)圖像；教學(xué)策略

引 言

數(shù)學(xué)知識體系是一個循序漸進、逐步深入的動態(tài)發(fā)展過程，它從簡單直觀的概念出發(fā)，逐步向復(fù)雜抽象的領(lǐng)域拓展.在這一過程中，數(shù)學(xué)知識生長點（以下簡稱“生長點”）作為連接新舊知識的核心環(huán)節(jié)，發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.對于初中生而言，這些“生長點”不僅是知識學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點，更是思維發(fā)展的催化劑，能夠引導(dǎo)學(xué)生將已有知識與新知識相融合，構(gòu)建出更加完整、系統(tǒng)的知識框架.因此，如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中精準(zhǔn)識別并有效利用這些“生長點”，成為當(dāng)前教育改革的重要議題.這不僅關(guān)乎教學(xué)質(zhì)量的提升，更關(guān)系到學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力及綜合素質(zhì)的發(fā)展.

一、“生長點”的內(nèi)涵與意義

“生長點”指的是數(shù)學(xué)知識體系中那些至關(guān)重要的關(guān)鍵節(jié)點或轉(zhuǎn)折點，“生長點”不僅承載著新舊知識的無縫銜接，更是知識進一步拓展與深化的重要基石.這些“生長點”如同一座座橋梁，連接著過往的知識積累與未來的學(xué)習(xí)探索，使得知識體系得以連續(xù)不斷地發(fā)展與完善.對于教師而言，深入理解“生長點”的內(nèi)涵具有深遠(yuǎn)的價值，能夠幫助教師更加精準(zhǔn)地把握教學(xué)的核心與方向，科學(xué)合理地選擇教學(xué)方法與策略，從而更有效地引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)思維與解決問題的能力.

（一）“生長點”是知識銜接的橋梁

“生長點”作為數(shù)學(xué)知識體系中不可或缺的一環(huán)，扮演著新舊知識間橋梁的重要角色.“生長點”不僅標(biāo)志著某一知識領(lǐng)域的完成，更為后續(xù)學(xué)習(xí)的展開提供了堅實的基礎(chǔ).在這些節(jié)點上，舊知識的積累成為新知識學(xué)習(xí)的出發(fā)點，通過“生長點”的銜接，學(xué)生能夠在已有認(rèn)知基礎(chǔ)上順利過渡到新知識的學(xué)習(xí)中，避免知識的孤立與碎片化.教師若能精準(zhǔn)把握這些生長點，便能更好地設(shè)計教學(xué)序列，使課程內(nèi)容既連貫又深入，促進學(xué)生的知識體系系統(tǒng)化發(fā)展.

（二）“生長點”是學(xué)習(xí)動力的引擎

“生長點”往往伴隨著認(rèn)知挑戰(zhàn)，這種挑戰(zhàn)正是激發(fā)學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動力的關(guān)鍵因素.當(dāng)學(xué)生面對生長點帶來的新知識與復(fù)雜問題時，好奇心與求知欲被自然激發(fā)，驅(qū)使他們主動探索、積極思考.教師如果能充分利用“生長點”的這一特性，設(shè)計富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，就能有效激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，培養(yǎng)他們的自主學(xué)習(xí)能力和探究精神.在這個過程中，學(xué)生不僅掌握了數(shù)學(xué)知識，更學(xué)會了如何學(xué)習(xí).

（三）“生長點”是思維發(fā)展的契機

“生長點”不僅是知識的交匯點，更是學(xué)生思維能力發(fā)展的關(guān)鍵契機.在“生長點”處，知識的復(fù)雜性和抽象性往往達到一個新的高度，要求學(xué)生運用更高級的思維方式來理解和解決問題.這種挑戰(zhàn)促使學(xué)生跳出固有的思維模式，嘗試從不同角度、不同層面進行思考，從而促進了他們邏輯思維、批判性思維等高級思維能力的發(fā)展.教師應(yīng)高度重視“生長點”的利用，通過設(shè)計富有啟發(fā)性的問題、引導(dǎo)深入討論等方式，為學(xué)生提供思維發(fā)展的廣闊空間.

（四）“生長點”是創(chuàng)新能力的源泉

創(chuàng)新能力的培養(yǎng)是教育的重要目標(biāo)之一，而“生長點”正是孕育創(chuàng)新能力的沃土.在“生長點”處，知識的邊界被不斷拓寬，新的概念和理論不斷涌現(xiàn)，為學(xué)生提供了廣闊的想象空間和創(chuàng)造可能.當(dāng)學(xué)生嘗試解決“生長點”帶來的問題時，他們不僅要運用已有知識，還要敢于質(zhì)疑、勇于探索未知領(lǐng)域，這種過程正是創(chuàng)新能力培養(yǎng)的重要途徑.教師應(yīng)鼓勵學(xué)生勇于挑戰(zhàn)生長點帶來的難題，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力.

二、基于“生長點”促進初中生思維發(fā)展的實踐探索

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何有效促進學(xué)生的思維發(fā)展一直是教育者關(guān)注的焦點.“生長點”作為知識拓展與思維培養(yǎng)的交匯點，為教學(xué)實踐提供了重要啟示.“一次函數(shù)的圖像”不僅是初中數(shù)學(xué)課程的重要組成部分，更是培養(yǎng)學(xué)生多向性、邏輯性、系統(tǒng)性和結(jié)構(gòu)性思維的良好素材.在這一堂課的教學(xué)中，可以基于“生長點”精心設(shè)計問題情境，引導(dǎo)學(xué)生從不同角度審視函數(shù)圖像，探索其性質(zhì)與變化規(guī)律，從而培養(yǎng)他們的多向性思維.同時，借助同化與順應(yīng)的心理機制，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升他們的邏輯性思維.此外，注重整體認(rèn)知與歸納總結(jié)，以此培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)性思維和結(jié)構(gòu)性思維.

（一）立足“生長點”設(shè)問題情境，培養(yǎng)多向性思維

初中生的思維逐漸由具象向抽象過渡，為了有效促進他們的多向性思維發(fā)展，教師需要精心設(shè)計問題情境，將數(shù)學(xué)問題置于一個開放、多元的思考環(huán)境中.教師通過立足“生長點”設(shè)置問題情境，能夠激勵學(xué)生從多元視角和不同層次去審視問題，并能促使他們探索并提出多樣化的解決方案.這樣不僅能點燃學(xué)生的求知欲，還能培育他們的批判性思考和創(chuàng)新能力.在解決問題的實踐過程中，學(xué)生將不斷開闊思維邊界，逐步建立起一種靈活且富有創(chuàng)造性的思考模式，使他們能夠更加自如地應(yīng)對各種復(fù)雜情境.

從以上教學(xué)片段可以看出，立足生長點創(chuàng)設(shè)問題情境，能為學(xué)生提供了一個充滿挑戰(zhàn)與機遇的思維發(fā)展平臺.在情境的引導(dǎo)下，學(xué)生可以在解決問題的過程中不斷嘗試、不斷反思，從而培養(yǎng)出多向性思維，有助于他們更深入地理解數(shù)學(xué)知識.可見，在教學(xué)中教師應(yīng)關(guān)注“生長點”在問題情境設(shè)計中的重要性，不斷優(yōu)化教學(xué)策略，以更好地促進學(xué)生的思維發(fā)展.

（二）立足“生長點”促同化順應(yīng)，培養(yǎng)邏輯性思維

同化與順應(yīng)是心理學(xué)中描述個體認(rèn)知發(fā)展的重要概念，分別代表著個體將新知識納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)與調(diào)整原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)以適應(yīng)新知識的過程.立足“生長點”促進同化順應(yīng)，意味著教師要在知識生長的關(guān)鍵節(jié)點上，引導(dǎo)學(xué)生主動探索、主動建構(gòu)，使他們在面對新知識時能夠迅速找到與原有知識的聯(lián)系點，通過同化與順應(yīng)的過程，形成更加完整、系統(tǒng)的認(rèn)知結(jié)構(gòu).這有助于學(xué)生學(xué)會如何運用邏輯規(guī)則進行推理，如何有條理地分析問題.

在第二環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師先引導(dǎo)學(xué)生從不同角度深入探究了關(guān)系式y(tǒng)=2x+1.接著，指導(dǎo)學(xué)生選取五個特定的點，在平面直角坐標(biāo)系中嘗試描點，以便更深入地探索一次函數(shù)圖像的形態(tài).學(xué)生可能會在坐標(biāo)系中標(biāo)記出點（-2，-3），（-1，-1），（0，1），（1，3），（2，5），并仔細(xì)觀察這些點的分布規(guī)律.很快，一些學(xué)生就注意到了這些點似乎都排列在同一條直線上，這一發(fā)現(xiàn)引發(fā)了他們的思考，并促使他們猜測一次函數(shù)y=2x+1的圖像可能就是一條直線.為了驗證這一猜想，教師鼓勵學(xué)生繼續(xù)列舉更多符合函數(shù)關(guān)系式的點，并觀察這些點在坐標(biāo)系中的位置.學(xué)生們積極響應(yīng)，紛紛尋找滿足函數(shù)y=2x+1的有序數(shù)對，并在坐標(biāo)系中描出相應(yīng)的點.結(jié)果證明，這些新增的點也都位于同一直線上，這進一步驗證了之前的猜想.隨后，教師鼓勵學(xué)生進行更大膽的假設(shè).有的學(xué)生認(rèn)為所有函數(shù)的圖像都是直線；有的學(xué)生則提出，所有的函數(shù)關(guān)系或許都能用直線方程來表示；還有的學(xué)生明確指出，所有一次函數(shù)的圖像都是直線.盡管學(xué)生的這些回答還存在一定的片面性，但這正是他們當(dāng)前認(rèn)知水平的真實體現(xiàn)，是他們經(jīng)過獨立思考后得出的結(jié)論.

為了獲得更精確的結(jié)論，教師引導(dǎo)學(xué)生重溫繪制函數(shù)圖像y=2x+1的過程，并鼓勵他們嘗試描繪一次函數(shù)y=-x+2的圖像.在尋找有序?qū)崝?shù)對的過程中，一些學(xué)生在選擇x值時表現(xiàn)出多樣性和無序性.此時，教師可以追問：怎樣才能更合理地選擇x，y的值呢？經(jīng)過深入討論，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了一種更優(yōu)的x取值策略：按照數(shù)值大小順序選取正負(fù)數(shù)，且優(yōu)選互為相反數(shù)的數(shù)值，這樣的選擇方式在直角坐標(biāo)系中能展現(xiàn)出對稱的美感.隨后，學(xué)生們通過團隊協(xié)作與積極探索，成功繪制出了一次函數(shù)y=-x+2的圖像，并觀察到該圖像同樣呈現(xiàn)為一條直線.在此基礎(chǔ)上，教師進一步激發(fā)學(xué)生的探究興趣，鼓勵他們隨意寫出一個一次函數(shù)關(guān)系式，并嘗試?yán)L制對應(yīng)的圖像.經(jīng)過獨立思考和相互討論，學(xué)生們最終能夠推斷出，一次函數(shù)y=kx+b（其中k，b為常數(shù)，且k不等于0）的圖像確實是一條直線.

從以上教學(xué)片段可以看出，立足“生長點”促進同化順應(yīng)，不僅能夠幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)學(xué)知識，還能在潛移默化中培養(yǎng)他們的邏輯性思維.通過引導(dǎo)學(xué)生主動探索、主動建構(gòu)，為他們提供了思維發(fā)展的契機.在這一教學(xué)策略的引領(lǐng)下，學(xué)生得以在解決問題的過程中不斷鍛煉邏輯推理能力.

（三）立足“生長點”重整體認(rèn)知，培養(yǎng)系統(tǒng)性思維

數(shù)學(xué)知識具有整體性與系統(tǒng)性，立足“生長點”注重整體認(rèn)知，意味著教師要引導(dǎo)學(xué)生從全局視角審視數(shù)學(xué)知識，理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系.這種教學(xué)策略有助于培養(yǎng)學(xué)生的系統(tǒng)性思維，使他們能夠把握數(shù)學(xué)知識的整體框架，學(xué)會將零散的知識點串聯(lián)起來，形成完整的知識體系.通過立足“生長點”進行整體認(rèn)知的訓(xùn)練，學(xué)生可以更加深入地理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)與規(guī)律，提高運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力.

在第三環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師首先帶領(lǐng)學(xué)生復(fù)習(xí)了一次函數(shù)及其圖像的基本概念，對正比例函數(shù)y=kx（k≠0）和非正比例函數(shù)y=kx+b（k≠0，b≠0）兩種類型進行重點討論.在此基礎(chǔ)上，教師鼓勵學(xué)生發(fā)揮想象力，猜想接下來可能會學(xué)習(xí)的函數(shù)類型.部分學(xué)生能回想起學(xué)過的正比例和反比例知識，于是提出了可能會進一步學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的猜想.另一些學(xué)生則著眼于一次函數(shù)自變量次數(shù)為1的特點，推測若自變量次數(shù)增加，可能會遇到二次函數(shù).這些猜想不僅體現(xiàn)了學(xué)生們思維的靈活性，也映射出他們對數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的初步了解.緊接著，教師與學(xué)生共同探討了反比例函數(shù)和二次函數(shù)圖像的繪制方法，并引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到研究函數(shù)圖像的一般步驟：首先，要透徹理解函數(shù)關(guān)系式的數(shù)學(xué)內(nèi)涵；其次，根據(jù)函數(shù)關(guān)系式列出有序?qū)崝?shù)對；再次，在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)定這些點并連線；最后，觀察圖像的形態(tài)，并通過繪制多個同類函數(shù)的圖像來總結(jié)圖像的共通特性.這一流程讓學(xué)生親歷了數(shù)學(xué)研究的基本思維模式，如類比思維等，幫助他們構(gòu)建了對函數(shù)圖像的整體認(rèn)知框架.

從以上教學(xué)片段可以看出，立足“生長點”注重整體認(rèn)知，為學(xué)生提供了一個培養(yǎng)系統(tǒng)性思維的廣闊舞臺.在這一教學(xué)策略的引領(lǐng)下，學(xué)生得以從全局視角審視數(shù)學(xué)知識，理解知識之間的內(nèi)在聯(lián)系與邏輯關(guān)系.通過不斷訓(xùn)練，學(xué)生將逐漸具備構(gòu)建完整知識體系的能力，這對于他們的學(xué)習(xí)與發(fā)展具有重要意義.

（四）立足“生長點”做歸納總結(jié)，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)性思維

“生長點”不僅是知識拓展的起點，也是歸納總結(jié)的契機.立足“生長點”進行歸納總結(jié)，要求教師引導(dǎo)學(xué)生基于知識生長的關(guān)鍵節(jié)點，對所學(xué)內(nèi)容進行梳理、提煉與整合.這種教學(xué)策略有助于培養(yǎng)學(xué)生的結(jié)構(gòu)性思維，使他們能夠清晰地把握數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，理解知識之間的層級關(guān)系與邏輯關(guān)系.通過立足生長點進行歸納總結(jié)的訓(xùn)練，學(xué)生可以更加高效地掌握數(shù)學(xué)知識，提高運用知識解決問題的效率與準(zhǔn)確性.

在第四環(huán)節(jié)的教學(xué)中，教師應(yīng)以知識結(jié)構(gòu)圖作為教學(xué)的中心框架.從創(chuàng)設(shè)情境以激發(fā)興趣、引出相關(guān)概念，到將特殊函數(shù)的研究策略推廣到一般函數(shù)的學(xué)習(xí)路徑，教師需要精心地將各個關(guān)鍵要素融入結(jié)構(gòu)圖中，并按照一定的邏輯順序，有條不紊地推進整個教學(xué)過程的構(gòu)建.這樣，整個課堂的知識結(jié)構(gòu)將變得條理清晰，同時，函數(shù)、方程等關(guān)鍵概念及教學(xué)上的難點也將被有效地逐一攻克.在本課即將結(jié)束時，教師引導(dǎo)學(xué)生觀察知識結(jié)構(gòu)圖（如圖1、圖2所示），回顧所學(xué)知識.學(xué)生從y=kx+b（k≠0）出發(fā)，用方程視角和函數(shù)視角進行了再理解，通過列出二元一次方程，得到一次函數(shù)關(guān)系式，再進一步在平面直角坐標(biāo)系中找規(guī)律、合情推理，最終描點連線得到一次函數(shù)的圖像，實現(xiàn)了數(shù)與形的有機結(jié)合.同時，在這一過程中學(xué)生不僅關(guān)注了一次函數(shù)y=kx（k≠0）和y=kx+b（k≠0，b≠0）這兩種形式，還將正比例函數(shù)和非正比例函數(shù)進行了區(qū)分，并為后續(xù)學(xué)習(xí)反比例函數(shù)和二次函數(shù)埋下了伏筆.

從以上教學(xué)片段可以看出，立足“生長點”進行歸納總結(jié)，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)結(jié)構(gòu)性思維的重要途徑.通過引導(dǎo)學(xué)生進行梳理、提煉與整合，為他們提供了一個鍛煉結(jié)構(gòu)性思維的平臺.這一策略下，學(xué)生得以清晰地把握數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)脈絡(luò)，理解知識之間的層級關(guān)系與邏輯關(guān)系.通過不斷提升，學(xué)生將逐漸具備構(gòu)建完整知識結(jié)構(gòu)的能力.

結(jié) 語

立足于“生長點”的教學(xué)策略，在初中生思維發(fā)展的過程中展現(xiàn)出了獨特的價值與意義.通過構(gòu)建與生長點緊密相關(guān)的教學(xué)情境，可以引導(dǎo)學(xué)生主動思考、積極探索，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.這些教學(xué)策略不僅有助于學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，還能培養(yǎng)他們的邏輯思維、創(chuàng)新思維及問題解決能力.教師應(yīng)繼續(xù)深化對這一領(lǐng)域的研究與實踐，不斷優(yōu)化教學(xué)策略與方法，以更好地服務(wù)于學(xué)生的發(fā)展需求.

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