高中數(shù)學跨學科教學案例研究

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學；跨學科；案例研究

中圖分類號：G623.56 文獻標識碼：B 文章編號：1673-4289（2024）12-0056-04

一、課前學習任務

（1）閱讀人教A版必修第一冊第五章“三角函數(shù)”章末的“閱讀與思考”，了解音的四要素；

（2）以小組為單位，查閱相關(guān)資料，結(jié)合以下問題，設計一個將聲波可視化的實驗方案，并分工合作自制實驗模型，完成實驗。

①設計怎樣的裝置，能夠觀察到聲波，使聲波能夠看得見？

②選擇什么樣的介質(zhì)可將聲音的振動可視化？

③為方便觀察，有沒有什么方法可放大物體的振動？

（3）請各小組組長將聲波可視化的設計方案、實驗過程錄制成視頻，在課前給同學們展示。

設計意圖：將閱讀與思考延伸到課前，讓學生有充裕的閱讀與思考時間和空間；通過查閱資料以及設計的問題串啟發(fā)學生回顧聲音的產(chǎn)生與傳播，思考聲波可視化方案，小組合作自制實驗器材，增強學生的動手能力和學習興趣，提升邏輯推理、數(shù)學抽象等素養(yǎng)。

二、課中活動設計

環(huán)節(jié)一創(chuàng)設情境，提出問題

問題1聲音是由于物體的振動產(chǎn)生的能引起聽覺的波。聲波是什么形態(tài)的呢？它有什么變化規(guī)律？

小組成果展示

實驗一：聲波可視化實驗

實驗器材：紙杯、平面鏡、激光筆、氣球膜、橡皮圈，音響。

實驗方案：

（1）將紙杯的底面取下，在一側(cè)底面繃上氣球膜，并用橡皮圈固定好；

（2）將平面鏡用膠水固定在氣球膜上；

（3）用激光筆照射平面鏡，使光反射到光屏上；

（4）對紙杯的另一端播放音樂，由于聲波震動，帶動光屏上的亮點也上下波動，即形成波；

（5）改變音樂聲音的大小，觀察波的變化；改變樂器，觀察波的變化。

實驗設計圖：

實驗結(jié)論：音樂聲音變大，振幅越大，波動越大；聲音越尖利，振動的頻率越高，聲音越低沉，振動的頻率越低。

音樂由很多聲音組成，每一個音又由多個純音合成，所以我們可以先從研究純音的波形圖開始。

追問：單獨敲擊一個音叉，大家看一下又有什么現(xiàn)象呢？

設計意圖：通過小組合作完成聲波可視化實驗，初步感受和觀察聲波的形態(tài)，教師與學生共同探討，幫助學生完善實驗。音樂的聲波形態(tài)很復雜，引導學生研究類比簡諧運動，從最簡單的純音開始。

環(huán)節(jié)二 建立模型，評價模型

問題2請同學們設計建立發(fā)聲體振動離開平衡位置的位移隨時間變化的函數(shù)模型的方案。

設計意圖：在綜合的情境中，將聲音的振動轉(zhuǎn)化為研究物體振動離開平衡位置的位移與時間變化的數(shù)學問題，通過設計建模方案，將實際問題數(shù)學化，從而提高學生數(shù)學建模、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng)。

實驗二：純音的傳播實驗

實驗器材：安裝phyphox軟件、電腦、手機、音叉、橡皮錘。

問題3利用phyphox軟件，收集音叉振動離開平衡位置的位移隨時間變化的數(shù)據(jù)，完成以下問題：

（1）利用Excel軟件或GeoGebra軟件作出散點圖；

（2）選擇一個函數(shù)來近似描述音叉振動離開平衡位置的位移與時間的關(guān)系，觀察并嘗試求出相應的解析式；

（3）如果你選擇的是三角函數(shù)模型，請求出振幅、周期、頻率、相位、初相。

設計意圖：通過實踐操作，讓學生經(jīng)歷收集數(shù)據(jù)、整理數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)、初步建模的基本過程，并通過Excel軟件和GeoGebra軟件的應用，讓學生體會到信息技術(shù)在數(shù)學建模中的作用。

預案二 GeoGebra軟件擬合，正弦型函數(shù)模型、多項式函數(shù)模型

追問1 正弦型函數(shù)與多項式函數(shù)都能很好地擬合這組數(shù)據(jù)，這是為什么呢？他們之間有聯(lián)系嗎？

多項式函數(shù)是三角函數(shù)的泰勒展開式

追問2隨著數(shù)據(jù)點的增多，哪個函數(shù)模型擬合的效果相對更好？

預案三GeoGebra軟件擬合，不同小組不同的正弦型函數(shù)模型

追問3 同樣選擇正弦型函數(shù)來擬合這組數(shù)據(jù)，不同的小組卻得到了不同的解析式，你認為三個小組建立的模型有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？

追問4 三個小組建立的模型中，對應的周期和頻率幾乎是相同的，這是為什么呢？

追問5 三個小組建立的模型中，初相和振幅都不相同，你認為這是什么原因造成的呢？

周期和頻率：使用的都是同頻率的音叉。

初相：由起點位置決定，當各個小組計時起點不同時就會導致初相不一樣。

振幅：是物體離開平衡位置的最大距離，由于不同小組敲擊的力度不同，所以導致振幅也不同。敲擊的力度越大，振幅越大，聲音的響度也就越大，因此振幅的大小決定了聲音響度的大小。

追問6 在幾何畫板中作出模型的圖象，聽聽函數(shù)發(fā)出的聲音和音叉發(fā)出的聲音有什么關(guān)聯(lián)。

以物體振動的平衡位置且向正方向振動為計時起點，純音的數(shù)學模型就是三角函數(shù)y=Asin （ωχ），（Agt;0，ωgt;0），函數(shù)是聲音的一種數(shù)學化的模型。

設計意圖：通過對比不同小組的不同函數(shù)模型，讓學生體會模型選擇的多樣性，經(jīng)歷用數(shù)學軟件建立模型的過程。數(shù)學模型的確立不能僅僅停留在數(shù)據(jù)分析和擬合上，必須有聯(lián)系實際的數(shù)學推導，從而增強模型的數(shù)學內(nèi)涵，通過引導學生對比，認識正弦函數(shù)模型中參數(shù)的意義。

環(huán)節(jié)三應用模型，解釋原理

1.探究一

音調(diào)、響度與ω，A，（Agt;0，ωgt;0）的關(guān)系

振幅的大小決定了聲音響度的大小；ω=2π·f，知道頻率對聲音的影響，就知ω對聲音的影響了。

問題4 純音do、re、mi的頻率分別為264、297、330，讓振幅A都取為1，大家能否直接說出這三個純音對應的數(shù)學函數(shù)模型呢？讓我們一起來聽一下這三個函數(shù)所發(fā)出聲音的音調(diào)有什么區(qū)別。

頻率越高，聲音越尖利，頻率越低，聲音更低沉。

追問1是否是所有的聲音都有如此規(guī)律呢？

實驗結(jié)果：頻率越高，聲音越尖利，頻率越低，聲音更低沉，聲音的頻率與參數(shù)ω成正比，所以ω決定聲音的音調(diào)，ω越小，聲音音調(diào)越低沉，ω越大，聲音音調(diào)越尖利。

設計意圖：利用幾何畫板從特殊到一般，讓學生對比感受不同頻率的正弦波發(fā)出的聲音之間的差別，發(fā)現(xiàn)函數(shù)模型中的參數(shù)ω對聲音的音調(diào)的影響。

2.探究二音長、音色與函數(shù)模型的關(guān)系

問題5 現(xiàn)在，我們知道音調(diào)和響度與正弦函數(shù)的參數(shù)ω和A有關(guān)，那聲音的音長呢？受什么影響呢？

追問1 既然三角函數(shù)模型能夠發(fā)出非常標準的對應聲波頻率的聲音，我們能否調(diào)整模型，使它像真實樂器一樣，模擬出聲音漸弱的效果呢？

方案一：限定它的定義域

限定函數(shù)的定義域，的確可讓聲音在規(guī)定的時間內(nèi)停止，但聲音是戛然而止的，聽起來沒有任何感情。

方案二：聲音逐漸減弱，振幅就逐漸變小，因此可以給正弦函數(shù)乘一個遞減的函數(shù)

追問2 在我們學過的函數(shù)模型中，你認為那個函數(shù)更合適體現(xiàn)聲音漸弱的效果呢？

預案一：y=1/x

追問3 聲音的確逐漸在減小，但一開始的聲音很大，這是為什么呢？能否再優(yōu)化模型，保持初始狀態(tài)的響度不變？

預案二：y=（1/2）^x

追問4 聲音是從最初的響度開始減弱，但聽起來音長比較長，如果想讓音長再短一些，減弱的速度再快一點，可以怎樣調(diào)整呢？

預案三：y=（1/5）^x

設計意圖：通過層層遞進的問題串，引導學生調(diào)整模型、優(yōu)化模型，并應用函數(shù)模型模擬聲音漸弱的效果，讓學生在優(yōu)化函數(shù)模型的過程中，提高思維的嚴密性，體會音長與三角函數(shù)模型的關(guān)系。

問題6 現(xiàn)在，我們發(fā)現(xiàn)聲音的三個要素都和函數(shù)模型有密切關(guān)系，那最后一個要素音色呢，大家覺得它和函數(shù)模型有關(guān)嗎？

著名數(shù)學家傅里葉發(fā)現(xiàn)周期函數(shù)可表示成正弦函數(shù)之和。因此，所有的樂音都可由正弦波疊加而成，當疊加不同頻率、振幅、相位的音時，聽到的聲音的音色也不一樣。下面我們一起感受一下函數(shù)圖象疊加的效果。

正弦波可疊加出方波、鋸齒波等，將具有周期的各個系數(shù)以及分別乘適當?shù)南禂?shù)再加起來，更換這些系數(shù)，就可以得到各種不同形狀的波，周期函數(shù)也就能夠產(chǎn)生各種美妙的音樂。

設計意圖：將純音一個一個疊加上去，讓學生在看到波形曲線一條一條增加的同時，聽聲音從一個單音逐漸變化、不斷接近，最后變成最開始聽到的復合音的神奇過程，讓學生從視覺和聽覺的角度去直觀感受函數(shù)疊加對音色的影響。

音的四要素與三角函數(shù)模型y=A sin（ωχ），（Agt;0，ωgt;0）的關(guān)系：

音調(diào)與聲波振動的頻率有關(guān)即與ω有關(guān)；響度與振幅有關(guān)；音長與發(fā)音體振動的持續(xù)時間有關(guān)，可以通過對函數(shù)進行組合制造聲音漸弱的效果；音色與函數(shù)疊加有關(guān)。

環(huán)節(jié)四 歸納提升，反思小結(jié)

問題7通過今天的學習，你了解了音的四要素和三角函數(shù)的關(guān)系了嗎？能否用自己的語言來歸納概括我們探索純音數(shù)學模型的研究路徑和思想方法？

研究路徑：觀察猜想→設計方案→實驗驗證→收集數(shù)據(jù)→建立模型→求解模型→應用模型。

數(shù)學知識：純音的數(shù)學模型、音的四要素和三角函數(shù)的關(guān)系。

數(shù)學方法：類比、數(shù)形結(jié)合、抽象概括。

數(shù)學思想：特殊到一般、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸。

設計意圖：在充分體驗的基礎上，通過反思、總結(jié)建構(gòu)三角函數(shù)模型解決實際問題的基本思路與方法，提升學生的數(shù)學思維，發(fā)展數(shù)學抽象、數(shù)學建模、數(shù)學運算等素養(yǎng)。

三、課后拓展應用

（一）綜合應用

（1）嘗試利用幾何畫板，根據(jù)以下音階對應頻率自制音階，并通過幾何畫板制作的音階來制作一首自己喜歡的音樂。

（2）查閱相關(guān)資料，了解數(shù)學在音樂中的其他應用，比如，音樂中的黃金分割比例，音階與數(shù)學，音樂節(jié)拍與斐波那契數(shù)列等，感受數(shù)學的魅力。

設計意圖：課后讓學生利用幾何畫板制作自己喜歡的音樂，并查閱相關(guān)資料，了解數(shù)學在音樂中的其他應用，體會數(shù)學的應用價值，感受數(shù)學的魅力，提高數(shù)學學習的熱情。

（二）拓展探索

請同學們以小組為單位，完成純音物體振動的位移隨時間變化規(guī)律的研究報告，并準備下節(jié)課的結(jié)題交流和答辯。

通過以上跨學科教學的原則、表達形式和具體案例的探究，可以看出新課程背景下高中數(shù)學跨學科教學的有效性和多樣性。