提升高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的策略

摘 要：文章探討了“一題多解”策略在提升高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)中的應(yīng)用.通過(guò)分析高中生在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面的常見(jiàn)問(wèn)題，提出了“一題多解”的教學(xué)方法，并通過(guò)實(shí)例展示了該策略在理解運(yùn)算對(duì)象、探究運(yùn)算思路和選擇運(yùn)算方法等方面的有效性.

關(guān)鍵詞：一題多解；數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；解題策略；綜合思維能力

中圖分類(lèi)號(hào)：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A"" 文章編號(hào)：1008-0333（2024）34-0061-04

收稿日期：2024-09-05

作者簡(jiǎn)介：焦士杰（1989.9—），男，湖北省鐘祥人，碩士，中級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，運(yùn)算素養(yǎng)是衡量學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要指標(biāo).然而，當(dāng)前高中生在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面存在諸多挑戰(zhàn).本文旨在通過(guò)“一題多解”策略，探討如何有效提升高中生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

1 高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的內(nèi)涵

高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是學(xué)生應(yīng)具備的重要能力，主要表現(xiàn)在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.這包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序以及求得運(yùn)算結(jié)果等能力[1].高中數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的核心在于通過(guò)運(yùn)算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展，形成程序化思考問(wèn)題的品質(zhì)，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

2 高中生在數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面存在的問(wèn)題

2.1 理解深度不足

學(xué)生可能對(duì)數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算對(duì)象的理解不夠深入，導(dǎo)致容易出現(xiàn)一些低級(jí)錯(cuò)誤.例如，我們常見(jiàn)的錯(cuò)誤題型：［（-3）2］32=-27，AB+BC+CA=0，函數(shù)f（x）=2x與g（m）=2m是兩個(gè)不同的函數(shù)，出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的根本原因是學(xué)生對(duì)指數(shù)的運(yùn)算法則、向量的概念和函數(shù)的概念理解不透徹.深入理解數(shù)學(xué)概念和運(yùn)算對(duì)象對(duì)于打牢基礎(chǔ)至關(guān)重要，要求學(xué)生掌握基本運(yùn)算技能，并將這些技能正確應(yīng)用于數(shù)學(xué)思維和問(wèn)題解決中.

2.2 思維定式

學(xué)生可能習(xí)慣于使用固定的解題模式，難以跳出傳統(tǒng)思維框架?chē)L試新的解題方法.例如，考慮一個(gè)方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，學(xué)生可能已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何計(jì)算代數(shù)式的值，但要求他們判斷方程解的個(gè)數(shù)時(shí)，他們可能會(huì)出現(xiàn)誤判.假設(shè)有一個(gè)方程lgx=1x，要求學(xué)生判斷這個(gè)方程解的個(gè)數(shù).如果他們按照以往解方程的思路，可能只會(huì)通過(guò)特殊值法檢驗(yàn)，這幾乎不太可能做出來(lái).然而，如果學(xué)生轉(zhuǎn)換思路，將判斷方程組解的個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，他們就能輕松地解決問(wèn)題.教師通過(guò)教授和鼓勵(lì)學(xué)生使用多種解題方法，可以幫助他們跳出傳統(tǒng)思維框架，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問(wèn)題解決能力.

2.3 缺乏運(yùn)算技巧

部分學(xué)生可能沒(méi)有掌握足夠的運(yùn)算技巧，導(dǎo)致在面對(duì)需要靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的問(wèn)題時(shí)感到困難.比如，在計(jì)算分式函數(shù)的最值問(wèn)題時(shí)，如果學(xué)生掌握不好“分離”這個(gè)技巧，他們可能束手無(wú)策.如題，已知xgt;1，求x2+3x-1的最小值.如果學(xué)生將分子和分母分別看作函數(shù)，可能只會(huì)嘗試通過(guò)試錯(cuò)法來(lái)尋找最小值，這不僅效率低下，而且容易出錯(cuò).然而，如果學(xué)生能夠掌握分離的技巧，他們就能更系統(tǒng)地解決問(wèn)題.例如，他們可以觀察到分式可以分解為x-1+2+4x-1，應(yīng)用均值定理可得到最小值為2+2（x-1）·4x-1=6.

3 提升高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的策略

“一題多解”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中非常有效的教學(xué)方法，它幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)問(wèn)題本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).本文從理解運(yùn)算對(duì)象、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法三個(gè)方面，探討了“一題多解”對(duì)提升高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的作用.

3.1 理解運(yùn)算對(duì)象

理解運(yùn)算對(duì)象是通過(guò)“一題多解”深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)象的有效方法，它幫助學(xué)生從不同角度理解同一數(shù)學(xué)問(wèn)題，加深對(duì)運(yùn)算對(duì)象的理解和應(yīng)用.通過(guò)比較不同解法，深入理解運(yùn)算對(duì)象的性質(zhì)、特點(diǎn)和規(guī)律.

例1 函數(shù)f（x）=log2（x-4）的反函數(shù)為y=f -1（x），則f -1（3）=.

分析 本題是反函數(shù)求函數(shù)值類(lèi)問(wèn)題，常規(guī)思路就是求出反函數(shù)的解析式，代值求解.我們能否深入理解一下反函數(shù)的定義和性質(zhì)，將反函數(shù)的函數(shù)值轉(zhuǎn)化為原函數(shù)的自變量，或者

利用點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)性將其看作點(diǎn)的坐標(biāo)值呢？

解法1 由y=log2（x-4）可得x-4=2y，所以y=f -1（x）=4+2x，則f -1（3）=4+23=12.

解法2 在y=log2（x-4）中，令y=3，可得3=log2（x-4），即x-4=8，即x=12，則f -1（3）=12.

解法3 令f -1（3）=m，則反函數(shù)y=f -1（x）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3，m）.根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)可知，原函數(shù)f（x）=log2（x-4）經(jīng)過(guò)點(diǎn)（m，3），故3=log2（m-4），解得m=12，則f -1（3）=12.

通過(guò)“一題多解”的實(shí)踐，學(xué)生能夠深化對(duì)反函數(shù)定義和性質(zhì)的理解，并掌握多樣化的求解技巧.這種方法使學(xué)生得以從不同視角審視問(wèn)題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的對(duì)稱(chēng)性之美.“一題多解”不僅豐富了學(xué)生的解題手段，也促進(jìn)了思維的廣度與深度，從而有效提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

3.2 探究運(yùn)算思路

“一題多解”還有助于學(xué)生探究運(yùn)算思路，拓寬思路，發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)規(guī)律和特點(diǎn)，提高解題靈活性和應(yīng)變能力.面對(duì)復(fù)雜運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，通過(guò)“一題多解”訓(xùn)練，學(xué)生能迅速找到合適的解題思路，提高解題效率和質(zhì)量.

例2 如圖1所示，已知直線l與橢圓C：x23+y22=1在第一象限交于P，Q兩點(diǎn)，l與x軸，y軸分別交于M，N兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，則l的斜率為.

分析 本題是一道直線和橢圓相交的綜合性問(wèn)題，常規(guī)思路就是將直線和圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，代入已知等式求解.但直接代入求解計(jì)算量是比較大的，我們能否拓展一下思路，對(duì)已知等式進(jìn)行變形處理或者利用平面幾何角度解題？

解法1 由題意可設(shè)直線l的方程為y=kx+b（klt;0，bgt;0），P（x1，y1），Q（x2，y2），

聯(lián)立得y=kx+bx23+y22=1，消y整理，得

（3k2+2）x2+6kbx+3b2-6=0.

滿(mǎn)足Δ=（6kb）2-4（3k2+2）（3b2-6）=24（3k2-b2+2）gt;0，

由韋達(dá)定理，得x1+x2=-6kb3k2+2，x1x2=3b2-63k2+2.

所以y1+y2=k（x1+x2）+2b=4b3k2+2，

y1y2=k2x1x2+kb（x1+x2）+b2=2b2-6k23k2+2，

則|PM||QM|+|QM||PM|=y1y2+y2y1

=（y1+y2）2-2y1y2y1y2

=［4b/（3k2+2）］2-2×（2b2-6k2）/（3k2+2）（2b2-6k2）/（3k2+2）

=4b2-6k2b2+18k4+12k2（3k2+2）（b2-3k2），

|PN||QN|+|QN||PN|=x1x2+x2x1

=（x1+x2）2-2x1x2x1x2

=［-6kb/（3k2+2）］2-2×（3b2-6）/（3k2+2）（3b2-6）/（3k2+2）

=-4b2+6k2b2+8+12k2（3k2+2）（b2-2）.

因?yàn)閨PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，

所以

4b2-6k2b2+18k4+12k2（3k2+2）（b2-3k2）=-4b2+6k2b2+8+12k2（3k2+2）（b2-2）.

整理，得

（3k2-2）（3k2-b2+2）=0.

又3k2-b2+2gt;0且klt;0，

所以3k2-2=0，即k=-63.

解法2 由題意可知：|PM||QM|，|QN||PN|∈（1，+∞）.

因?yàn)閒（x）=x+1x在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，

由|PM||QM|+|QM||PM|=|PN||QN|+|QN||PN|，得|PM||QM|=|QN||PN|，即（假設(shè)同解法1）

x1y1-x2y2=0，

x1（kx1+b）-x2（kx2+b）=0，

k（x1+x2）（x1-x2）+b（x1-x2）=0.

因?yàn)閤1≠x2，所以k（x1+x2）+b=0.

所以k·-6kb3k2+2+b=0.

因?yàn)閎gt;0且klt;0，

所以k·-6k3k2+2+1=0，

解得3k2-2=0，即k=-63.

解法3 如圖1所示，取PQ的中點(diǎn)R，設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則R（x1+x22，y1+y22），

可得直線l的斜率k=y1-y2x1-x2，直線OR的斜率kOR=y1+y2x1+x2.

因?yàn)镻（x1，y1），Q（x2，y2）在橢圓C：x23+y22=1上，則x213+y212=1，x223+y222=1.

兩式相減整理，得y1+y2x1+x2·y1-y2x1-x2=-23.

即kOR·k=-23.

由（同解法2）可得：|PQ|+|QM||QM|=|PN|+|PQ||PN|，整理可得|QM|=|PN|，則R為MN的中點(diǎn)，則|OR|=|RM|，則kOR=-k.

所以kOR·k=-k2=-23.又klt;0，所以k=-63.

解法4 對(duì)橢圓C：x23+y22=1作仿射變換x′=x3，y′=y2，化橢圓為x′2+y′2=1.因?yàn)镽為MN的中點(diǎn)（同解法3），則R′為M′N(xiāo)′的中點(diǎn)，此時(shí)O′R′∥M′N(xiāo)′，則△OPQ為等腰直角三角形.故k′=tan135°=-1.故k=bak′=23×（-1）=-63.

解法5 由（同解法2），當(dāng)點(diǎn)P無(wú)限趨近于點(diǎn)N，當(dāng)點(diǎn)Q無(wú)限趨近于點(diǎn)M時(shí)，k=-|ON|OM=-23=-63.

“一題多解”的方法為學(xué)生提供了對(duì)直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題深化理解的途徑，它拓寬了解題思路，增強(qiáng)了思維力和創(chuàng)新力.通過(guò)訓(xùn)練，學(xué)生能突破傳統(tǒng)思維局限，探索多樣化解題策略，對(duì)提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效具有顯著作用.

3.3 選擇運(yùn)算方法

選擇合適的運(yùn)算方法是“一題多解”的重要方面.面對(duì)同一問(wèn)題，不同方法有其適用性，須保持頭腦清醒，迅速選擇合適的方法.

例3 已知π4lt;αlt;3π4且sin（α-π4）=35，則cosα=.

分析 本題是一道三角函數(shù)求值類(lèi)問(wèn)題，一般做法是利用公式展開(kāi)已知條件，再和平方關(guān)系聯(lián)立求解.但計(jì)算過(guò)程復(fù)雜，我們能否優(yōu)化方法，將方程進(jìn)行降次處理或?qū)⒁阎且暈檎w處理？

解法1 因?yàn)閟in（α-π4）=35，

所以sinαcosπ4-cosαsinπ4=35.

整理，得sinα-cosα=325.

又sin2α+cos2α=1，

所以（cosα+325）2+cos2α=1.

解得cosα=210或-7210.

因?yàn)棣?lt;αlt;3π4，所以0lt;α-π4lt;π2.

又sinπ6lt;sin（α-π4）lt;sinπ4，

所以π6lt;α-π4lt;π4，即5π12lt;αlt;π2.

所以cosα=210.

解法2 因?yàn)閟in（α-π4）=35（0lt;α-π4lt;π2），

所以cos（α-π4）=1-sin2（α-π4）=45.

即cosαcosπ4+sinαsinπ4=45.

整理，得cosα+sinα=425.

同解法1解得cosα=210.

解法3 （同解法2），則cosα=cos（α-π4+π4）=cos（α-π4）cosπ4-sin（α-π4）sinπ4=45×22-35×22=210.

選擇恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)算方法對(duì)提升解題效率與準(zhǔn)確性至關(guān)重要，它還能有效培育學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)及綜合思維能力.“一題多解”不僅是深入探究數(shù)學(xué)問(wèn)題的有效手段，而且在培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用適宜運(yùn)算技巧方面發(fā)揮著關(guān)鍵作用.

4 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)深入分析和實(shí)踐探索，全面闡述了“一題多解”策略在提升高中生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)方面的重要性和有效性.研究發(fā)現(xiàn)，多角度解題使學(xué)生更深入理解數(shù)學(xué)概念，拓寬解題思路，增強(qiáng)解題靈活性和應(yīng)變能力.這種策略豐富了解題手段，促進(jìn)了思維廣度與深度，有效提升了數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).在理論上，本研究深化了對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)內(nèi)涵認(rèn)識(shí)，為數(shù)學(xué)教育提供新理論支持.在實(shí)踐上，通過(guò)具體實(shí)例展示了“一題多解”策略應(yīng)用，為教師和學(xué)生提供可行的教學(xué)和學(xué)習(xí)方法.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

［責(zé)任編輯：李 璟］