2023年全國乙卷理科數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)題的解法探究

摘 要：2023年全國乙卷理科數(shù)學(xué)第21題是導(dǎo)數(shù)題，作為壓軸題，試題綜合考查考生的邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運(yùn)算能力以及分類討論思想.文章從不同的角度給出該題的多種解法，為讀者提供解決曲線對稱問題和函數(shù)極值問題的策略與方法.

關(guān)鍵詞：2023年高考；導(dǎo)數(shù)；對稱；極值；解法探究

中圖分類號：G632"" 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A"" 文章編號：1008-0333（2024）34-0052-03

2023年全國乙卷理科數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)題作為壓軸題，試題分步設(shè)問，逐步推進(jìn)，考查由淺入深，層次分明，重點(diǎn)突出，內(nèi)容豐富.試題考查了函數(shù)的對稱性與極值點(diǎn)，綜合性較強(qiáng)，對學(xué)生的數(shù)學(xué)能力提出了較高的要求.

1 試題呈現(xiàn)

題目 已知函數(shù)f（x）=（1x+a）ln（x+1）.

（1）當(dāng)a=-1時(shí)， 求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程;

（2）是否存在a，b， 使得曲線y=f（1x）關(guān)于x=b對稱， 若存在， 求a，b的值；若不存在， 請說明理由.

（3）若f（x）在（0，+∞）存在極值， 求a的取值范圍[1].

2 解答探究

2.1 第（1）問解析

解析 曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為（ln2）x+y-ln2=0.

2.2 第（2）問解析

解法1 由函數(shù)的解析式可得

f（1x）=（x+a）ln（1x+1）.

函數(shù)的定義域滿足1x+1=x+1xgt;0，即函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（0，+∞），定義域關(guān)于直線x=-12對稱，由題意可得b=-12.

由對稱性可知f（-12+m）=f（-12-m）（mgt;12），取m=32可得f（1）=f（-2）.

即（a+1）ln2=（a-2）ln12.

則a+1=2-a，解得a=12.

經(jīng)檢驗(yàn)a=12，b=-12滿足題意.

故a=12，b=-12.

解法2 設(shè)g（x）=f（1x），則g（x）=（x+a）·

ln（1+1x），g（x）的定義域?yàn)椋?∞，-1）∪（0，+∞）.

若存在a，b，使得曲線y=g（x）關(guān)于直線x=b對稱，則（-∞，-1）∪（0，+∞）關(guān)于x=b對稱，所以b=-12.

由g（x）=g（-1-x），得

（x+a）ln（1+1x）=（-1-x+a）lnx1+x.

即（x+a）ln（1+1x）=（x+1-a）ln（1+1x）.

所以a=12，故存在a=12，b=-12，使得曲線y=f（1x）關(guān)于直線x=b對稱.

2.3 第（3）問解析

解法1 易得f ′（x）=（-1x2）ln（x+1）+（1x+

a）1x+1，由f（x）在區(qū)間（0，+∞）存在極值點(diǎn)，則f ′（x）在區(qū)間（0，+∞）上存在變號零點(diǎn).

令（-1x2）ln（x+1）+（1x+a）1x+1=0，

則

-（x+1）ln（x+1）+（x+ax2）=0.

令g（x）=ax2+x-（x+1）ln（x+1），則f（x）在區(qū)間（0，+∞）存在極值點(diǎn)等價(jià)于g（x）在區(qū)間（0，+∞）上存在變號零點(diǎn).

又g′（x）=2ax-ln（x+1），g″（x）=2a-1x+1，

當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）lt;0，g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，

此時(shí)g（x）lt;g（0）=0，g（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點(diǎn)，不合題意.

當(dāng)a≥12，即2a≥1時(shí)，由于1x+1lt;1，所以g″（x）gt;0，g′（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以g′（x）gt;g′（0）=0，g（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，g（x）gt;g（0）=0，所以g（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點(diǎn)，不符合題意.

當(dāng)0lt;alt;12時(shí)，由g″（x）=2a-1x+1=0可得

x=12a-1，

當(dāng)x∈（0，12a-1）時(shí)，g″（x）lt;0，g′（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（12a-1，+∞）時(shí)，g″（x）gt;0，g′（x）單調(diào)遞增，故g′（x）的最小值為g′（12a-1）=1-2a+ln2a.

令m（x）=1-x+lnx（0lt;xlt;1），則m′（x）=-x+1xgt;0.則函數(shù)m（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.則m（x）lt;m（1）=0.

據(jù)此可得1-x+lnxlt;0恒成立.則g′（12a-1）=1-2a+ln2alt;0.

令h（x）=lnx-x2+x（xgt;0），則h′（x）=-2x2+x+1x=-（2x+1）（x-1）x，

當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）gt;0，h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）lt;0，h（x）單調(diào)遞減，故h（x）≤h（1）=0.即lnx≤x2-x（取等條件為x=1）.所以g′（x）=2ax-ln（x+1）gt;2ax-［（x+1）2-（x+1）］=2ax-（x2+x），g′（2a-1）gt;2a（2a-1）-［（2a-1）2+（2a-1）］=0.注意到g′（0）=0，由零點(diǎn)存在性定理可知g′（x）在區(qū)間（0，+∞）上存在唯一零點(diǎn)x0.

當(dāng)x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減，

當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增，所以g（x0）lt;g（0）=0.

令n（x）=lnx-12（x-1x），則n′（x）=1x-

12（1+1x2）=-（x-1）22x2≤0.

則n（x）單調(diào)遞減.

注意到n（1）=0，

故當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，lnx-12（x-1x）lt;0，從而有l(wèi)nxlt;12（x-1x）.

所以g（x）=ax2+x-

（x+1）ln（x+1）

gt;ax2+x-（x+1）×12［（x+1）-1x+1］=（a-12）x2+12.

令（a-12）x2+12=0，得x2=11-2a，所以g（11-2a）gt;0.

所以函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，+∞）上存在變號零點(diǎn)，符合題意.

綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（0，12）.

解法2 由題可知，f ′（x）在（0，+∞）上有變號零點(diǎn).

對f（x）求導(dǎo)f ′（x）=x+ax2-（x+1）ln（x+1）x2（x+1）.

令g（x）=x+ax2-（x+1）ln（x+1），g（0）=0，

g′（x）=2ax-ln（x+1），g″（x）=2ax+2a-1x+1.

f ′（x）在（0，+∞）上有變號零點(diǎn)g（x）在

（0，+∞）上有變號零點(diǎn).

①當(dāng)a≤0時(shí)，g″（x）≤0，所以g′（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，所以g′（x）lt;g′（0）=0.所以g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減.所以g（x）lt;g（0）=0，此時(shí)g（x）在（0，+∞）無零點(diǎn).

②當(dāng)0lt;alt;12時(shí)，此時(shí)x=2a-12agt;0，則x∈（0，2a-12a），g″（x）lt;0，g′（x）單調(diào)遞減，x∈（2a-12a，+∞），g″（x）gt;0，g′（x）單調(diào)遞增.

又g′（0）=0，顯然x∈（0，2a-12a），g′（x）lt;0，且g′（2a-12a）lt;0.

又xgt;13時(shí)，有4xgt;x+1，lnxlt;xlnx+1lt;x+1ln（x+1）lt;2x+1.

所以g′（x）=2ax-ln（x+1）=2ax-2x+1gt;2ax-24x=0x=

4a2gt;13.

所以g′（4a2）gt;0.

由零點(diǎn)存在定理知存在唯一

x0∈（2a-12a，4a2），使得g′（x0）=0.當(dāng)

x∈（0，x0）時(shí)，g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x∈（x0，+∞）時(shí)，g′（x）gt;0，g（x）單調(diào)遞增.

又g（0）=0，顯然，g（x0）lt;g（0）=0.

當(dāng)xgt;13時(shí)，有4xgt;x+1，

lnxlt;xlnx+1lt;x+1ln（x+1）lt;2x+1.所以

g（x）=x+ax2-（x+1）ln（x+1）gt;ax2-4x·2x+1gt;ax2-4x·

24x=0x=256a2gt;13.

所以g（256a2）gt;0.

所以由零點(diǎn)存在定理知存在唯一x1∈（x0，256a2），使得g（x1）=0.此時(shí)當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，g（x）lt;0，f ′（x）=g（x）x2（x+1）lt;0，

f（x）單調(diào)遞減.

當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，g（x）gt;0，f ′（x）=g（x）x2（x+1）gt;0，f（x）單調(diào)遞增加.

即f（x）在（0，+∞）存在唯一極值點(diǎn)x=x1，符合題意.

③當(dāng)a≥12時(shí)，同解法1.

綜上，a的取值范圍是（0，12）.

3 結(jié)束語

試題設(shè)計(jì)一個(gè)含有參數(shù)的函數(shù)，將其性質(zhì)的研究分層設(shè)計(jì)，層層遞進(jìn).試題第（2）問通過合理設(shè)計(jì)，引進(jìn)曲線y=f（1x），求出使得該曲線關(guān)于直線x=b對稱的常數(shù)a，b，需要考生利用對稱曲線的性質(zhì)，特別是函數(shù)y=f（1x）的定義域的特殊性，先確定常數(shù)b，再利用對稱性得到常數(shù)a.試題第（3）問給出函數(shù)f（x）存在極值點(diǎn)的條件，要求確定參數(shù)a的取值范圍.考驗(yàn)了化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想和邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力等.

參考文獻(xiàn)：

［1］ 劉海濤.落實(shí)立德樹人根本任務(wù)全面考查學(xué)科核心素養(yǎng)：2023年全國乙卷數(shù)學(xué)試題評析與備考建議[J].數(shù)學(xué)通訊，2023（23）：38-42.

［責(zé)任編輯：李 璟］