基于UbD理論的“計數(shù)原理”單元教學(xué)實(shí)踐探索

隨著新課程改革的推進(jìn)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)已成為教育的重要目標(biāo)。單元教學(xué)對培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)具有積極作用。UbD（Understanding by Design，為理解而教）理論強(qiáng)調(diào)教師在教學(xué)中應(yīng)以學(xué)生為中心，重視學(xué)生對知識的理解，鼓勵學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上智慧而有效地運(yùn)用知識和技能。這與單元教學(xué)實(shí)踐理論不謀而合。文章以新人教A版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第三冊第六章“計數(shù)原理”為例，分析了高中數(shù)學(xué)“計數(shù)原理”單元的教學(xué)現(xiàn)狀，探討在“兩個計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最根本、最重要的方法”這一大概念統(tǒng)領(lǐng)下，如何實(shí)施基于UbD理論的單元教學(xué)，以期為一線教師提供新的教學(xué)思路和教學(xué)評價方法，為落實(shí)核心素養(yǎng)提供有效途徑。

一、問題提出

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師往往根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)目標(biāo)來組織教學(xué)活動，從自身角度思考如何教，而忽視了學(xué)生如何學(xué)習(xí)，這導(dǎo)致學(xué)生缺乏對知識的深度理解，對知識的運(yùn)用也僅停留在表面，學(xué)習(xí)狀態(tài)處于“只見樹木不見森林”的淺層階段。因此，如何支持?jǐn)?shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)型，讓數(shù)學(xué)基本技能在課堂中得到真實(shí)有效的運(yùn)用，已成為一線教師熱烈討論并亟須解決的問題。

UbD理論強(qiáng)調(diào)教學(xué)應(yīng)重視學(xué)生對知識的理解，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過理解來運(yùn)用知識和解決問題。因此，追求理解的教學(xué)成為當(dāng)下落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要途徑。UbD理論提出了理解六維度（解釋、釋義、應(yīng)用、洞察、移情和自知），強(qiáng)調(diào)引導(dǎo)學(xué)生從多角度理解并靈活運(yùn)用知識，這為教師在教學(xué)實(shí)踐中評價學(xué)生對知識的理解和掌握程度提供了客觀的大框架。對于數(shù)學(xué)教學(xué)而言，學(xué)生進(jìn)步和發(fā)展的前提是對數(shù)學(xué)知識的深刻且有意義的理解，這與UbD理論“尋求理解”的教學(xué)理念高度一致。此外，在基于UbD理論開展教學(xué)時，教師會著重關(guān)注“學(xué)生需要什么”“他們理解什么”“如何達(dá)到理解的程度”及“如何展示所獲得的理解”。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師基于UbD理論和整體發(fā)展理論規(guī)劃數(shù)學(xué)單元的教學(xué)，有助于加深學(xué)生對知識的理解，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。在“計數(shù)原理”這一單元，兩個基本計數(shù)原理的教學(xué)難點(diǎn)在于，如何借助具體實(shí)例讓學(xué)生學(xué)會利用這兩個原理進(jìn)行思考、分析和解決實(shí)際問題?；赨bD理論開展“計數(shù)原理”單元教學(xué)，可以幫助學(xué)生更好地理解計數(shù)原理的本質(zhì)。

二、新教材“計數(shù)原理”單元的內(nèi)容變化與教學(xué)現(xiàn)狀

（一）教學(xué)內(nèi)容的變化

從內(nèi)容設(shè)置來看，新人教A版高中數(shù)學(xué)教材在“計數(shù)原理”這一單元中，將“組合數(shù)的兩個性質(zhì)”這一知識點(diǎn)放在“探究與發(fā)現(xiàn)”板塊，并增加了解決實(shí)際問題的例7，而前面的例6其實(shí)已經(jīng)能夠推導(dǎo)出這些性質(zhì)。由此可以推斷，新教材并不鼓勵教師直接向?qū)W生傳授這些性質(zhì)，而是強(qiáng)調(diào)教師要引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識解決實(shí)際問題。該單元是一個典型的概念教學(xué)單元，教師應(yīng)具備“超前”思維，從概念的一般理解出發(fā)，構(gòu)建整個模塊的“概念鏈”。

（二）教學(xué)現(xiàn)狀

通過之前對統(tǒng)計與概率相關(guān)單元的學(xué)習(xí)，學(xué)生已能運(yùn)用分類和分步的思想方法來分析問題，并能運(yùn)用列舉法解決計數(shù)問題。近年來，高考對計數(shù)原理與其他模塊知識的交叉考查有所減少，主要考查計數(shù)原理這一單元內(nèi)知識的運(yùn)用。一般來說，這些題目的運(yùn)算量不是很大，學(xué)生在計算時通常可以借助圖表或樹狀圖。部分學(xué)生在學(xué)習(xí)計數(shù)原理時往往只是機(jī)械地記憶知識，忽視了對計數(shù)原理本質(zhì)的理解。該單元的教學(xué)難點(diǎn)主要集中在兩個計數(shù)原理的選擇和運(yùn)用方面，學(xué)生在面對問題時常常會出現(xiàn)用錯原理公式的情況。

三、基于UbD理論的“計數(shù)原理”單元教學(xué)實(shí)踐

在基于UbD理論的單元教學(xué)實(shí)踐中，首先，教師需要深入研究教材、課程標(biāo)準(zhǔn)并細(xì)致分析學(xué)情，以確定單元大概念和基本問題，并設(shè)定單元教學(xué)目標(biāo)。其次，教師應(yīng)根據(jù)教學(xué)目標(biāo)確定評價依據(jù)。最后，教師應(yīng)科學(xué)設(shè)計教學(xué)活動，確保學(xué)生了解所學(xué)單元的教學(xué)目標(biāo)，以豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，培養(yǎng)其核心素養(yǎng)。

（一）分析教學(xué)背景

“計數(shù)原理”這一單元一般是在高二年級下學(xué)期進(jìn)行教學(xué)的。此時，學(xué)生已具備“統(tǒng)計與概率”的知識基礎(chǔ)，能夠運(yùn)用樹狀圖或列表法解決相關(guān)問題。然而，當(dāng)學(xué)生遇到計算量過大、不能通過列舉法解決的問題時，就需要一個新的計數(shù)工具（方法）。計數(shù)原理作為一種通過解決大量實(shí)際計數(shù)問題歸納推理得出的認(rèn)知原理，可以有效解決這類問題。

（二）確定大概念

在“計數(shù)原理”這一單元的教學(xué)中，教師可以將“兩個計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最根本、最重要的方法”作為單元大概念，在此基礎(chǔ)上，將“分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理”和“排列與組合”整合成第一個子單元，主題設(shè)為“兩個計數(shù)原理的概念與特例”；將“排列與組合”和“二項式定理”整合成第二個子單元，主題設(shè)為“兩個計數(shù)原理的運(yùn)用”。

（三）明確教學(xué)目標(biāo)

根據(jù)UbD理論，確定教學(xué)目標(biāo)階段也叫確定預(yù)期結(jié)果階段。在這一階段，教師應(yīng)設(shè)計以教學(xué)目標(biāo)為核心的個性化學(xué)習(xí)任務(wù)，為學(xué)生搭建合適的學(xué)習(xí)支架，使學(xué)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)循序漸進(jìn)地完成學(xué)習(xí)任務(wù)，深入理解知識，把握問題本質(zhì)?；赨bD理論的單元教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)有相似之處，但它改變了傳統(tǒng)教學(xué)的“目標(biāo)—活動—評價”的教學(xué)步驟，提出了基于教學(xué)目標(biāo)和評價目標(biāo)的翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式，確保了課堂教學(xué)內(nèi)容與學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的一致性，實(shí)現(xiàn)了有價值的知識重建。

“計數(shù)原理”單元是對“統(tǒng)計與概率”單元的深化，同時為下一單元“隨機(jī)變量及其分布”的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)，其在概率與統(tǒng)計知識模塊中起著承上啟下的作用。基于大概念“兩個計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的最根本、最重要的方法”，教師可以分別確定兩個子單元的基本問題。其中，“兩個計數(shù)原理的概念與特例”這個子單元的基本問題為：“兩個計數(shù)原理對計數(shù)問題有什么作用？”“排列和組合之間有什么關(guān)系？”第二個子單元“兩個計數(shù)原理的運(yùn)用”的基本問題為：“二項式定理與計數(shù)原理之間有何聯(lián)系？”

UbD理論采用理解的六個維度來評估學(xué)生的理解能力，即能準(zhǔn)確解釋和完整復(fù)述目標(biāo)知識，說明學(xué)生的理解能力處于敘述層面；能深刻理解背景知識的性質(zhì)和意義，說明學(xué)生的理解能力處于理解層面；能運(yùn)用評價性思維和創(chuàng)造性思維等高階思維分析與解決實(shí)際問題，說明學(xué)生的理解能力處于應(yīng)用層面。因此，為了確保教學(xué)評價的有效性，教師要從不同層面收集學(xué)生的相關(guān)信息，如學(xué)習(xí)態(tài)度、互動交流、基本素養(yǎng)等?；诖?，教師可以在確定大概念和基本問題的基礎(chǔ)上設(shè)定“計數(shù)原理”單元教學(xué)目標(biāo)：掌握兩個計數(shù)原理及其關(guān)系，掌握運(yùn)用原理的思路和方法；理解排列數(shù)公式及其變式、組合數(shù)的相關(guān)性質(zhì)；掌握二項式定理等基礎(chǔ)知識，并能運(yùn)用其解決實(shí)際問題。

（四）確定評價方式

確定評價方式這一階段體現(xiàn)了UbD理論所倡導(dǎo)的“以終為始”的思想，可分為確定證據(jù)和確定評估方式兩個方面。在這一階段，教師應(yīng)從預(yù)期結(jié)果出發(fā)，收集證據(jù)以評估是否達(dá)到預(yù)期結(jié)果，并選擇評估學(xué)生對目標(biāo)知識理解程度的方法。教師可通過設(shè)置表現(xiàn)性學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生置身于與他們興趣相關(guān)的“真實(shí)”情境中，通過思考、交流和探索，逐步提高他們的基本數(shù)學(xué)能力。由此看來，根據(jù)UbD理論進(jìn)行單元教學(xué)，可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)基本技能，有助于實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)從知識導(dǎo)向到素養(yǎng)導(dǎo)向的轉(zhuǎn)變，推動核心素養(yǎng)的落地，從而培養(yǎng)社會發(fā)展所需要的人才。例如，教師可以采用表現(xiàn)性任務(wù)和單元檢測相結(jié)合的評價方式完成單元教學(xué)目標(biāo)的評價。在采用表現(xiàn)性任務(wù)評價方法時，教師可以安排學(xué)生通過小組合作的方式，結(jié)合兩個計數(shù)原理，分析排列和組合的關(guān)系，并以小組專題匯報的形式展示成果。在習(xí)題練習(xí)環(huán)節(jié)，教師可以讓學(xué)生擔(dān)任“小老師”，在課堂上將自己的解題思路、技巧和心得分享給其他同學(xué)。

（五）開展教學(xué)活動

在“計數(shù)原理”單元的教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)基于UbD理論，緊密圍繞單元教學(xué)目標(biāo)開展教學(xué)活動。

針對“兩個計數(shù)原理的概念與特例”這一子單元，首先，教師可以利用教室座位編號的兩種不同方式，引發(fā)學(xué)生思考和對比，讓學(xué)生回顧初中階段計數(shù)的相關(guān)問題，并結(jié)合教材例題的特征分類，初步了解兩個計數(shù)原理的概念與特例。其次，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考解決計數(shù)問題的簡便方法，幫助學(xué)生認(rèn)識排列與組合的概念，分析排列與組合的聯(lián)系，并基于排列與組合的聯(lián)系建立對應(yīng)關(guān)系，思考如何由排列數(shù)求組合個數(shù)，進(jìn)而深入理解兩個計數(shù)原理的概念及本質(zhì)。最后，教師可以安排學(xué)生獨(dú)立完成習(xí)題，并擔(dān)任“小老師”向其他學(xué)生進(jìn)行講解。教師還可以組織小組合作學(xué)習(xí)活動，指導(dǎo)學(xué)生分析排列與組合的關(guān)系，總結(jié)解決計數(shù)問題的基本思路，并以小組專題匯報的形式展示成果。

針對“兩個計數(shù)原理的運(yùn)用”這一子單元，首先，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生回顧兩個計數(shù)原理的概念與特例，總結(jié)不同計數(shù)問題的解決方法。其次，教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用計數(shù)原理寫出多項式的展開式，總結(jié)二項式定理的一般形式，并讓學(xué)生以小組為單位探究二項式系數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合組合的意義解釋性質(zhì)。最后，教師可以讓學(xué)生收集初中階段利用計數(shù)原理解決問題的例子，并對比初中和高中的解題方法，引導(dǎo)學(xué)生基于大概念梳理本單元所學(xué)知識及運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法等。

結(jié)語

UbD理論強(qiáng)調(diào)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和在學(xué)習(xí)過程中的主動性。這就要求教師在設(shè)計學(xué)習(xí)活動時，既要站在學(xué)生的角度充分考慮學(xué)生的參與度和體驗(yàn)，又要采用多樣化的教學(xué)方法和互動方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，構(gòu)建注重理解的生動課堂。同時，教師想要將UbD理論運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)，需要具備較高的專業(yè)水平和豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)。教師要積極主動地更新教學(xué)理念，主動學(xué)習(xí)和掌握新的教學(xué)技巧與手段，以更好地利用UbD理論開展教學(xué)。在日常教學(xué)中，教師要建立和諧的師生關(guān)系，關(guān)注學(xué)生的情感需求，關(guān)注每名學(xué)生的發(fā)展，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供個性化的支持與指導(dǎo)。此外，UbD理論鼓勵學(xué)生獨(dú)立思考，注重學(xué)生問題解決能力、創(chuàng)新思維能力和知識運(yùn)用能力的提高。在UbD理論下，教師要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)設(shè)定教學(xué)目標(biāo)、構(gòu)建評價機(jī)制及設(shè)計學(xué)習(xí)活動。

在UbD理論中，理解涉及意義的識別、傳遞和應(yīng)用等要素，而這些要素在沒有語境的情況下是難以識別的。UbD理論為幫助教師識別理解而提出的“理解的六個維度”強(qiáng)調(diào)了語境對理解的重要性，因此，教師在設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)時，應(yīng)創(chuàng)設(shè)豐富且真實(shí)的情境，引導(dǎo)學(xué)生提出重要的問題，并在貼近真實(shí)的情境中進(jìn)行探究，從而加深學(xué)生對知識的理解和記憶，提高學(xué)生在情境中運(yùn)用知識的能力。

基于UbD理論進(jìn)行單元教學(xué)可以加深學(xué)生對知識的理解，提高學(xué)生的探究能力和解決實(shí)際問題的能力。教師通過精心設(shè)計的學(xué)習(xí)活動，可以引導(dǎo)學(xué)生在不同的情境中靈活運(yùn)用所學(xué)知識，實(shí)現(xiàn)知識的有效遷移。在這個過程中，學(xué)生不僅能掌握數(shù)學(xué)知識，提高數(shù)學(xué)能力，還能培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（作者單位：佛山大學(xué)數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院）