真實情境促聯(lián)結(jié) 多元表征探本質(zhì)

摘 要：運算教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，貫穿了小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整個過程.“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算”是學(xué)生真正學(xué)習(xí)多位數(shù)乘法的起始內(nèi)容，在數(shù)的運算教學(xué)中起著承上啟下的作用.因此，筆者在教學(xué)時，創(chuàng)設(shè)真實情境喚醒已有知識，借表征互譯激活運算經(jīng)驗；利用情境應(yīng)用聯(lián)結(jié)前后知識，借表征互譯探索多樣算法；聯(lián)系情境溝通算理算法，借表征互譯理解運算本質(zhì)，幫助學(xué)生在前后運算方法的溝通聯(lián)系中理解算理、掌握算法．

關(guān)鍵詞：運算教學(xué)；真實情境；多元表征

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課標》）指出：“運算能力主要是指根據(jù)法則和運算律進行正確運算的能力.”［1］由此可見，運算能力也是小學(xué)生主要的數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力和核心素養(yǎng)之一.在運算教學(xué)中，教師尤其要關(guān)注運算本質(zhì)，也就是溝通算法、理解算理，以及這兩者間的融合．

“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算”是蘇教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)三年級下冊》第一單元《兩位數(shù)乘兩位數(shù)》第二課時的內(nèi)容，在這之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)過兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘整十數(shù)的口算，本節(jié)課的教學(xué)重點在于讓學(xué)生理解并掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算的算理和算法，體會數(shù)的運算的一致性.因此，本節(jié)課的教學(xué)關(guān)鍵就是如何幫助學(xué)生在前后運算方法的溝通和聯(lián)系中逐步理解多位數(shù)乘法的運算本質(zhì).筆者在設(shè)計本節(jié)課的教學(xué)時，注重真實情境的創(chuàng)設(shè)，讓學(xué)生結(jié)合具體問題情境合理運用多種方法計算出正確結(jié)果，并通過多元表征之間的靈活轉(zhuǎn)換，體會將未知轉(zhuǎn)化為已知的過程，溝通整數(shù)乘法的運算本質(zhì)，發(fā)展運算能力和推理意識．

1 真實情境喚醒已有知識，表征互譯激活運算經(jīng)驗

《課標》指出：“學(xué)生能體會數(shù)學(xué)知識之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，在探索真實情境所蘊含的關(guān)系中，發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，運用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科的知識與方法分析問題和解決問題.”［2］對于小學(xué)生而言，理解并掌握抽象的“數(shù)的運算”知識，需要真實情境的支持.喚醒學(xué)生的已有知識，恰當?shù)爻尸F(xiàn)、互譯不同類型的數(shù)學(xué)表征方式，能夠幫助學(xué)生理解知識本質(zhì)，提升核心素養(yǎng).因此，在運算教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生運用多元表征呈現(xiàn)運算過程，并通過不同表征間的轉(zhuǎn)譯，可以更好地幫助學(xué)生溝通算法，理解算理．

問題呈現(xiàn)：

新春佳節(jié)，商家在商場外面掛起了燈籠，一排燈籠有十四個，掛兩排，一共有多少個燈籠？

師：讀一讀，想一想，我們可以怎樣來進行計算？

學(xué)生列式14×2，并說出算式的意義．

師：我們用一個點來表示一個燈籠，就可以得到一幅點子圖.一排有十四個點，一共有兩排.利用這副點子圖，我們一起來回顧一下計算過程．

教師出示14×2的點子圖.

師：計算時我們把14拆成10和4，先用2×4得8，表示八個一.再用2乘十位上的1得2，表示兩個十，合起來是28.左邊部分可以用哪個算式來表示呢？ 右邊呢？

學(xué)生討論后回答.

師：這是我們以前就學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)的筆算，把兩位數(shù)拆成整十數(shù)和一位數(shù)，分別和一位數(shù)相乘，然后把兩個積合并起來.我們可以把這種方法概括為“先分后合”.

學(xué)生的已有知識基礎(chǔ)和認知經(jīng)驗是進行學(xué)習(xí)活動的起點.基于此，課堂伊始教師創(chuàng)設(shè)學(xué)生熟知的生活情境，喚醒學(xué)生關(guān)于兩位數(shù)乘一位數(shù)算法的已有認知.緊接著，教師主動出示14×2的點子圖，通過師生共同回顧，讓抽象的符號表征呈現(xiàn)的豎式轉(zhuǎn)譯成具象的圖象表征呈現(xiàn)的點子圖，聯(lián)結(jié)起豎式與圖示之間的意義，完成從符號表征到圖象表征的互譯，明確“先分后和”的計算本質(zhì)，為學(xué)習(xí)新知作好鋪墊．

2 情境應(yīng)用聯(lián)結(jié)前后知識，表征互譯探索多樣算法

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的不僅是為了獲取知識，更重要的是能夠?qū)η昂笾R進行深度聯(lián)結(jié).因此，在運算教學(xué)中創(chuàng)設(shè)真實情境，可以激活新舊知識間的相互作用，實現(xiàn)知識的同化和順應(yīng).同樣，正是由于前后知識的內(nèi)在聯(lián)系，在運算教學(xué)中還應(yīng)該靈活運用多元表征，引發(fā)學(xué)生將知識點進行勾連轉(zhuǎn)化，從不同的視角選擇不同的算法，讓數(shù)學(xué)思維“看得見”．

2.1 變化情境創(chuàng)設(shè)，探索算法

變化情境引入新問題：商家掛完以后覺得兩排燈籠不夠喜慶，就掛成了十二排，每排燈籠依然是十四個，現(xiàn)在一共有多少個燈籠呢？怎樣列式表示？

生：14×12.

師：要求一共有多少個就是求什么呢？

生：十二個14是多少．

師：這節(jié)課我們就一起來研究像這樣的兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進位）筆算.

師：在計算之前，我們先來估一估14×12的結(jié)果大約是多少.

生1：我把14看成10，把12看成10，大約是100．

生2：把12估成10，14乘10等于140個．

師：同學(xué)們運用估算知道了14×12的結(jié)果大約是一百多，那么14×12的準確結(jié)果是多少呢？我們一起來探究，請看學(xué)習(xí)要求．

學(xué)習(xí)要求如下.

（1）想一想：結(jié)合以前學(xué)過的知識思考怎樣計算．

（2）分一分：把自己的想法在點子圖上表示出來．

（3）寫一寫：用算式記錄自己的思考過程．

（4）說一說：同桌交流自己的想法．

交流匯報，展示學(xué)生運用的方法，并讓學(xué)生借助點子圖加以說明.

算法1：9×14=126（個），3×14=42（個），126＋42=168（個）.

算法2：14×10=140（個），14×2=28（個），140＋28=168（個）.

算法3：14×6=84（個），84×2=168（個）.

算法4：14×4=56（個），56×3=168（個）.

通過把兩位數(shù)乘一位數(shù)的情境變化為兩位數(shù)乘兩位數(shù)的情境，自然引入新知，然后借助“學(xué)習(xí)要求”引導(dǎo)學(xué)生利用點子圖的直觀表征獨立探索計算方法，遷移“先分后合”的算法經(jīng)驗，在圖與式的表征互譯中得到多樣化的算法．

2.2 多元表征互譯，歸納通法

師：請同學(xué)們仔細觀察這些算式，你能幫他們分分類嗎？

生：算法1和算法2為一類，先分開計算，再合在一起，用了“兩乘一加”的方法.算法3和算法4為一類，都是先平均分，求出其中的一份，再乘份數(shù)，求出總數(shù)，是“連乘法”．

師：這兩種方法有什么相同的地方呢？

生：他們都是把其中一個兩位數(shù)拆成了兩個一位數(shù)的和或積，然后變成了我們已經(jīng)學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)來進行計算．

師：是的，這兩類算法，其實都是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)或整十數(shù)進行計算的.這種把未學(xué)過的新知轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的舊知的方法是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常采用的方法．

在呈現(xiàn)學(xué)生的多種算法時，教師引導(dǎo)學(xué)生進行對比和分類，理解“兩乘一加”與“連乘法”這兩類不同拆分思路的內(nèi)涵，進而發(fā)現(xiàn)兩者的相同之處都是運用了轉(zhuǎn)化思想，將未學(xué)過的兩位數(shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化為已學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)來解決.在此基礎(chǔ)上，通過改變情境問題中的數(shù)據(jù)，啟發(fā)學(xué)生感受“兩乘一加”這一方法的普遍適用性，從而自覺實現(xiàn)算法優(yōu)化，為接下來探索和理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計算的算理和算法作必要的鋪墊．

3 情境溝通算理算法，表征互譯理解運算本質(zhì)

在運算教學(xué)中，情境的創(chuàng)設(shè)是溝通算法和算理的橋梁.因此，在學(xué)生初步嘗試豎式計算之后，教師應(yīng)及時引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題情境溝通橫式與豎式之間的聯(lián)系，讓學(xué)生知其然，并知其所以然.在這個過程中，學(xué)生經(jīng)歷了語言表征、圖形表征、符號表征之間的互譯，從不同的角度對運算本質(zhì)進行語言化、視覺化、符號化的闡述，深刻感悟其中的本質(zhì).［3］

3.1 聯(lián)系情境，溝通理法

師：現(xiàn)在，結(jié)合我們剛剛探索的過程，再來一起用乘法豎式把分和合的過程表示出來.14×12，先算兩個14，用個位的2乘14得28，算出了兩排燈籠的個數(shù)，再算十個14，用十位的1乘14，得十四個10，也就是140，算出了十排燈籠的個數(shù)，最后再把兩次乘得的積相加，得14×12=168（個）.

同學(xué)們，你學(xué)會了嗎？請你在學(xué)習(xí)單上自己嘗試著列一列這個豎式.邊算邊想，我們應(yīng)該先算什么？再算什么？每一步表示什么意思？

學(xué)生再次獨立計算．

豎式計算就是讓橫式推算過程豎立起來.本環(huán)節(jié)的教學(xué)啟發(fā)學(xué)生借助情境意義把“兩乘一加”的橫式推算過程在豎式中表示出來，逐步引導(dǎo)學(xué)生實現(xiàn)符號表征的進階轉(zhuǎn)換，自主完成由橫式推算走向豎式算法建構(gòu)的過程，初步掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計算方法.在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對比新舊知識，發(fā)現(xiàn)豎式模型的差別，理解“先分后合”“兩乘一加”的算理，進而理解“兩乘”只是所在的數(shù)位不同，因而所得的數(shù)值也不同.如此，通過“數(shù)位”與“數(shù)值”的深度聯(lián)結(jié)，實現(xiàn)“算理”與“算法”的深度融合，使學(xué)生更透徹地理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)的算理與算法，形成推理意識．

3.2 借助表征，理法融合

教師出示兩個豎式.

師：老師把這兩個乘數(shù)交換一下位置，結(jié)果會變成多少呢？請你算一算．

生：調(diào)換兩個乘數(shù)的位置，積不變．

師：這是什么原因呢？我們一起借助點子圖來看一看．

生：無論是14×12，還是12×14，結(jié)果都是168．

師：所以，以后如果想檢驗乘法運算的結(jié)果對不對，可以怎么辦？

生：驗算乘法時，我們只要調(diào)換乘數(shù)的位置再乘一遍．

師：其實豎式中的每一步都對著點子圖中的一部分，讓我們來看一看吧.

這里利用學(xué)生把14拆成10和4的計算思路，啟發(fā)學(xué)生據(jù)此寫出相應(yīng)的豎式，并借助圖形表征比較發(fā)現(xiàn)，雖然豎式中兩個乘數(shù)的位置相反，但是所解決的是同一個情境問題，計算結(jié)果也是一樣的，感受到可用調(diào)換乘數(shù)位置再乘一遍的方法進行驗算的合理性，形成必要的技能，發(fā)展運算能力．

4 結(jié)語

運算教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)真實情境可以有效引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)結(jié)已有經(jīng)驗，借助多元表征間的互譯，可以幫助學(xué)生進行算法與算理的融通，逐步理解運算本質(zhì)．

參考文獻

［1］［2］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022．

［3］劉賢虎.借助多元表征 豐富數(shù)學(xué)概念的認識［J］.課程教學(xué)研究，2014（7）：47-50