橫向理解教材特點 縱向促進結(jié)構(gòu)進階

【摘要】結(jié)構(gòu)視域下，以人教版、蘇科版、滬科版七年級上冊為例，從教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)、內(nèi)容組織、欄目設(shè)置、習(xí)題編排等方面，研究分析新版初中數(shù)學(xué)教材關(guān)于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域編寫的特點.總結(jié)了三條教學(xué)啟發(fā)：理解教材中的知識結(jié)構(gòu)、設(shè)計促進從知識結(jié)構(gòu)到認知結(jié)構(gòu)的教學(xué)、注重從認知結(jié)構(gòu)化向思維結(jié)構(gòu)化的滲透.

【關(guān)鍵詞】新教材；數(shù)與代數(shù)；教材特點；對比研究

1問題提出

數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了學(xué)習(xí)主題、知識結(jié)構(gòu)和基本線索，是實現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標、實施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱《新課標》）在“課程理念”中明確提出：“設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容.”[1]這就要求新教材所選內(nèi)容應(yīng)注重體現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，重點要對內(nèi)容進行結(jié)構(gòu)化整合，探索發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的路徑.本文基于建構(gòu)代數(shù)知識結(jié)構(gòu)的視角，以人教版、蘇科版、滬科版七年級上冊為例，從教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)、內(nèi)容組織、欄目設(shè)置、習(xí)題編排等方面，研究分析新版初中數(shù)學(xué)教材關(guān)于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域編寫的特點.

2對比分析

2.1內(nèi)容結(jié)構(gòu)的對比研究

內(nèi)容結(jié)構(gòu)的對比研究，詳見表1.

從內(nèi)容結(jié)構(gòu)對比分析，有理數(shù)和代數(shù)式以及整式加減的條目數(shù)量一致.但“方程與不等式”這一主題，人教版和蘇科版內(nèi)容只安排了一元一次方程，而滬科版在一元一次方程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上又安排了二元一次方程組、三元一次方程組的內(nèi)容.

從三個版本的教材編寫來看，在教材編寫中，編者充分考慮到內(nèi)容結(jié)構(gòu)化特征，以主題的核心概念為線索，將相同本質(zhì)特征的內(nèi)容整合為一個主題，更好地體現(xiàn)了學(xué)科內(nèi)容的本質(zhì)特征和學(xué)生學(xué)習(xí)的特征.

具體到“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的三章整體設(shè)計來看，具有較強的關(guān)聯(lián)性和內(nèi)在邏輯性，便于學(xué)生構(gòu)建結(jié)構(gòu)化知識體系.先從算術(shù)數(shù)到有理數(shù)，反映了運算的需要（負數(shù)的引入保證減法的實施）.再從“數(shù)”到“式”的拓展，體現(xiàn)“數(shù)”“式”運算的一致性，它們又是“一元一次方程”學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).“一元一次方程”的學(xué)習(xí)又讓學(xué)生進一步體會前兩章的價值.

從初等數(shù)學(xué)來看，對方程的研究也促進了數(shù)與式（多項式）的研究.注重來龍去脈，有利于教師在教學(xué)過程中幫助學(xué)生有效地理解知識與方法、積累活動經(jīng)驗、提高“四能”，開展素養(yǎng)導(dǎo)向的教學(xué).

2.2內(nèi)容組織的對比研究

內(nèi)容組織的對比研究，詳見表2.

2.2.1概念獲得的分析

概念獲得主要有概念形成和概念同化兩種形式[2].三個版本的教材在主要概念呈現(xiàn)上都體現(xiàn)了概念形成的特點.比如，一元一次方程的概念，首先呈現(xiàn)正例，再通過分析例子的共性，進而歸納概括出概念的本質(zhì)，屬于歸納推理.在呈現(xiàn)“倒數(shù)”和“方程的解”這兩個概念時，蘇科版采用先給出概念，再舉例解釋的形式，屬于演繹推理，而人教版和滬科版依舊采用概念形成的模式，通過案例抽象出概念.

在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)素材的數(shù)量、變式、典型性對于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)都有影響.三個版本的教材，從素材的數(shù)量分析有相同點也有不同之處.比如，在引入“單項式”概念時，人教版和滬科版給出4個例子，蘇科版呈現(xiàn)5個例子，在此基礎(chǔ)上歸納出“單項式”的概念.在“正數(shù)和負數(shù)”概念引入的過程中，人教版和滬科版各呈現(xiàn)了3個例子，而蘇科版教材給出4個例子.在比較中也發(fā)現(xiàn)有部分概念引例差異比較大.比如，“代數(shù)式”引入環(huán)節(jié)人教版、蘇科版、滬科版的呈現(xiàn)案例數(shù)分別是5，4，9，由此也可以推斷出滬科版教材編寫者對于“代數(shù)式”這一概念的重視.另外，三個版本特別重視乘方、同類項、移項等基本概念的教學(xué)，多維度引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵，深刻理解概念的應(yīng)用價值.教材采取從整體到局部、從簡單到復(fù)雜、從特殊到一般的方法建構(gòu)知識體系，為后續(xù)代數(shù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

2.2.2重視數(shù)式通性

初中階段（七年級上冊）數(shù)的運算由正有理數(shù)運算拓展到更一般的有理數(shù)運算，由數(shù)的運算拓展到代數(shù)式的運算，進一步拓展到方程的求解.數(shù)式通性體現(xiàn)了抽象能力和運算能力兩個維度的核心素養(yǎng).三個版本的教材在運算法則呈現(xiàn)上都注重過程性.比如“有理數(shù)加法”，首先探究幾道算式的算法，獲得法則，然后追加“思考”活動完善法則，建立新舊聯(lián)系，再通過例題示范和練習(xí)變式強化對法則的理解.構(gòu)建數(shù)與式的知識結(jié)構(gòu)，重視數(shù)式通性，有利于學(xué)生形成良好的知識結(jié)構(gòu).

2.2.3數(shù)式運算的進階升級

分析發(fā)現(xiàn)，三個版本教材關(guān)于七年級上冊部分“數(shù)與代數(shù)”的編寫既關(guān)注數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的合理性，又關(guān)注學(xué)習(xí)內(nèi)容的階段性.例如，新教材設(shè)計的相應(yīng)內(nèi)容，讓學(xué)生經(jīng)歷從數(shù)的具體計算過渡到式的抽象運算的過程，為進一步學(xué)習(xí)方程、不等式和函數(shù)等內(nèi)容奠定基礎(chǔ).

圖1是各運算之間的進階升級，具有一定的相互關(guān)系.

在教學(xué)中，數(shù)式的各級運算出現(xiàn)在不同的年級、不同的學(xué)段，教師容易陷入對具體數(shù)學(xué)知識的傳授和對基本計算技能的探尋，而忽略不同級運算之間的本質(zhì)屬性和關(guān)聯(lián)，導(dǎo)致碎片化教學(xué)，不利于學(xué)生對知識的整體性建構(gòu)[3].教師在教學(xué)中要把握教材內(nèi)容結(jié)構(gòu)，著重關(guān)注核心素養(yǎng)的整體性，“三會”在教材中的表現(xiàn)相對獨立又相互影響，構(gòu)成一個有機整體，不僅要關(guān)注教學(xué)內(nèi)容的主線，也要關(guān)注核心素養(yǎng)培養(yǎng)的一致性.

2.3欄目設(shè)置的對比研究

欄目設(shè)置的對比研究，詳見表3.

對比分析可以發(fā)現(xiàn)教材在呈現(xiàn)學(xué)習(xí)材料時，充分考慮到知識的發(fā)生發(fā)展過程與學(xué)生建構(gòu)知識過程的統(tǒng)一.首先章引言整體交代了一章的學(xué)習(xí)內(nèi)容和研究路徑，每一小節(jié)再按照概念、法則的學(xué)習(xí)規(guī)律，通過“觀察”“交流”“討論”“探究”等活動有序呈現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容.從具體例子中歸納共性，進而形成概念或者歸納出性質(zhì)，再給予例題講解分析和變式練習(xí)，有利于學(xué)生建構(gòu)科學(xué)的知識體系.三個版本教材都重視新課程理念的落實，其中人教版的“閱讀與思考”“數(shù)學(xué)活動”“探究與發(fā)現(xiàn)”、蘇科版的“數(shù)學(xué)探究”“嘗試”“閱讀”、滬科版的“數(shù)學(xué)拓展”“數(shù)學(xué)史話”等欄目設(shè)置形式多樣，充分考慮到初中生學(xué)習(xí)的特點，激發(fā)學(xué)生興趣，引導(dǎo)學(xué)生探索，促進學(xué)生多樣化、個性化發(fā)展.人教版教材還特別增設(shè)了“信息技術(shù)應(yīng)用”這一板塊，它與其他數(shù)學(xué)活動的區(qū)別在于需要用到跨學(xué)科知識（信息技術(shù)學(xué)科）解決實際問題，體現(xiàn)了智能技術(shù)在提高復(fù)雜問題的解決效率方面的重要作用，而其他數(shù)學(xué)活動主要是用本章的數(shù)學(xué)知識解決問題.這符合《新課標》提出的項目化學(xué)習(xí)的意圖，給廣大教師提供了教學(xué)研究方向.

2.4習(xí)題編排的對比研究

習(xí)題編排的對比研究，詳見表4.

教材習(xí)題是教材的重要組成部分，它的編寫以課程標準為依據(jù)進行整體設(shè)計.教材習(xí)題既是促進學(xué)生對知識內(nèi)容掌握的一個重要載體，也是檢查學(xué)生知識結(jié)構(gòu)是否完善的有效手段，更是評價學(xué)生核心素養(yǎng)水平發(fā)展的重要指標.

根據(jù)統(tǒng)計分析發(fā)現(xiàn)，三個版本的習(xí)題形式主要類型相同，都設(shè)置了例題、練習(xí)、習(xí)題、復(fù)習(xí)題四類練習(xí)題.從習(xí)題數(shù)量上分析，人教版和滬科版在“數(shù)與式”這一主題的例題和練習(xí)數(shù)量略高于蘇科版，而蘇科版在復(fù)習(xí)題數(shù)量又高于人教版和滬科版.根據(jù)課程標準分析，三個版本的習(xí)題設(shè)置都是鞏固學(xué)生對于知識結(jié)構(gòu)的掌握，進一步形成合理的認知結(jié)構(gòu).

總體來看，三個版本教材編排考慮了習(xí)題典型性、基礎(chǔ)性和階梯性.比如，復(fù)習(xí)題都能夠分層設(shè)計，循序漸進.但也發(fā)現(xiàn)習(xí)題考查數(shù)量略多于課程標準目標要求數(shù)量，這就需要在教材習(xí)題設(shè)計時精簡題量、優(yōu)化題型，盡量用簡練的題目考查到課程標準中的要求.

3教學(xué)啟示

3.1理解教材中的知識結(jié)構(gòu)

教材編寫體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容，教師要充分理解教材內(nèi)容的知識結(jié)構(gòu).在分析數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)和學(xué)生認知規(guī)律的基礎(chǔ)上，以章為單位整體設(shè)計教學(xué)內(nèi)容，科學(xué)安排章節(jié)順序和知識點分布，使教材結(jié)構(gòu)清晰、層次分明.

如有理數(shù)這一章，以“概念—性質(zhì)—運算—應(yīng)用”為主線，展開本章內(nèi)容，體現(xiàn)了研究“數(shù)”的一般過程.三個版本的教材在章末復(fù)習(xí)階段“知識體系”結(jié)構(gòu)框圖的設(shè)計上更加注重整體性，強化知識之間的關(guān)聯(lián)，幫助學(xué)生構(gòu)建知識網(wǎng)絡(luò).如三個版本關(guān)于有理數(shù)章節(jié)的結(jié)構(gòu)框圖（圖2，3，4）呈現(xiàn)清晰、有條理，能夠體現(xiàn)數(shù)學(xué)對象研究的一般思路，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會學(xué)習(xí).

從知識發(fā)生發(fā)展的過程更深層次地理解知識結(jié)構(gòu)，比如教師要理解自然數(shù)的研究蘊含著數(shù)系研究的基本框架和代數(shù)的基本思想.

這種有理數(shù)研究的基本框架奠定了后面數(shù)系擴充的研究框架，而保持運算的相容性和運算律的一致性則構(gòu)成了數(shù)系擴充中歸納建構(gòu)需要繼承的基本運算性質(zhì).運算律是代數(shù)結(jié)構(gòu)的共同的重要事實，是代數(shù)學(xué)的基石[4].

3.2設(shè)計促進從知識結(jié)構(gòu)到認知結(jié)構(gòu)的教學(xué)

學(xué)科概念、原理等知識是有內(nèi)在聯(lián)系的，其本質(zhì)就是學(xué)科的知識結(jié)構(gòu)；而認知結(jié)構(gòu)是學(xué)生大腦里的學(xué)科知識按照自己的理解深度與廣度結(jié)合自己的思維、聯(lián)想等認知特點組成的一個具有內(nèi)部規(guī)律的整體結(jié)構(gòu).教師可以設(shè)計從知識結(jié)構(gòu)到認知結(jié)構(gòu)的教學(xué)，讓學(xué)生感受到知識的整體性和連貫性，促使學(xué)生獲得結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識.

教學(xué)中要注重教學(xué)內(nèi)容的重組、知識的拓展和延伸、知識的梳理和統(tǒng)整以及專題式和主題式教學(xué)方式.比如，七上乘方的意義學(xué)習(xí)之后，在七下研究同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)時，教師將“冪的乘方”“積的乘方”的運算性質(zhì)采用相同設(shè)計思路，在同一節(jié)課將三個運算性質(zhì)同時呈現(xiàn)，體現(xiàn)了知識之間前后的縱向聯(lián)系，如圖5.

教師將教材進行重構(gòu)和整體設(shè)計，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“計算—分析—猜想—推證—總結(jié)—推廣”等過程，把緊密關(guān)聯(lián)的知識串在一起，形成整體，達成認知合力，使學(xué)生既看到“樹木”又看到”森林”，充分領(lǐng)會知識的發(fā)展規(guī)律和鏈接點，形成良好的認知結(jié)構(gòu)[5].

3.3注重從認知結(jié)構(gòu)化向思維結(jié)構(gòu)化的滲透

新課程理念下的結(jié)構(gòu)化教學(xué)，注重結(jié)構(gòu)化思考的方法和方向滲透.在教學(xué)過程中設(shè)計系列活動促使學(xué)生不斷地結(jié)構(gòu)化思考，注重滲透結(jié)構(gòu)化思考的方法，培養(yǎng)一種數(shù)學(xué)的思維方式和思維習(xí)慣.數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維是以數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)為思維對象，以對數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)進行建構(gòu)為思維過程，通過對數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)進行梳理建立結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò).

基于教材編排結(jié)構(gòu)和知識體系結(jié)構(gòu)的視角，在教學(xué)中運用整體化、結(jié)構(gòu)化思想進行數(shù)學(xué)知識的教學(xué).圖6揭示了數(shù)式概念、性質(zhì)、運算之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維[6].

總之，在日常教學(xué)中教師應(yīng)根據(jù)教材的內(nèi)容和學(xué)生的認知規(guī)律因材施教，開展結(jié)構(gòu)化教學(xué)，促進學(xué)生理解性的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在問題解決中實現(xiàn)知識的遷移和學(xué)習(xí)能力的遷移，從而發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)化思維，促進學(xué)生的核心素養(yǎng)的養(yǎng)成.

參考文獻

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[3]劉志昂.數(shù)式通性：代數(shù)知識結(jié)構(gòu)化的整體性教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2024（11）：47-50.

[4]吳增生.在結(jié)構(gòu)化知識體系整體建構(gòu)和綜合應(yīng)用中發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：有理數(shù)與實數(shù)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2023（09）：18-22.

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[6]劉志昂.數(shù)式通性：代數(shù)知識結(jié)構(gòu)化的整體性教學(xué)[J].中國數(shù)學(xué)教育，2024（11）：47-5.

作者簡介樊允浩（1984—），男，安徽潁上人，高級教師，合肥市瑤海區(qū)中學(xué)數(shù)學(xué)教研員；主持并順利完成多項省、市級課題；發(fā)表論文多篇；主要從事數(shù)學(xué)教育研究.

陳鋒（1977—），男，江蘇無錫人，博士研究生，正高級教師；主要從事數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究.

鄧小妹（1995—），女，安徽定遠人，一級教師，本科學(xué)歷;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.