小學(xué)數(shù)學(xué)早期代數(shù)推理培養(yǎng)的實踐進(jìn)路

摘 要 在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域增加了兩個基本事實，即關(guān)系的傳遞性和等式的基本性質(zhì)。這兩個事實聚焦早期代數(shù)推理的培養(yǎng)。鑒于此，以“等量關(guān)系的傳遞”為載體，基于早期代數(shù)推理的培養(yǎng)，從內(nèi)容本質(zhì)的審視出發(fā)，確定學(xué)習(xí)目標(biāo)，進(jìn)而設(shè)計學(xué)習(xí)任務(wù)，培育學(xué)生的推理意識。

關(guān) 鍵 詞 小學(xué)數(shù)學(xué)；早期代數(shù)推理；等量關(guān)系的傳遞

引用格式 林長龍，馬天紅，彭亮.小學(xué)數(shù)學(xué)早期代數(shù)推理培養(yǎng)的實踐進(jìn)路[J].教學(xué)與管理，2024（32）：39-41+50.

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱《新課標(biāo)》）中，“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域增加了兩個基本事實，即關(guān)系的傳遞性和等式的基本性質(zhì)。傳遞性是指：如果a=b，b=c，那么a=c；如果a＞b，b＞c，那么a＞c；等式的基本性質(zhì)是指：如果a=b，那么a±c=b±c；如果a=b，那么ac=bc或a÷d=b÷d（d≠0）。這兩個事實是為了實現(xiàn)早期代數(shù)推理，同時這一推理也是為了更好地銜接初中推理的內(nèi)容[1]。有研究表明，在小學(xué)階段有意識地培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)推理能力能夠為學(xué)生更好地適應(yīng)中學(xué)代數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)提供相應(yīng)的支持[2]。作為一個新增加的內(nèi)容，如何理解這一新的內(nèi)容，如何更好地落實這一新的內(nèi)容，以及通過這些內(nèi)容落實早期代數(shù)推理的培養(yǎng)等問題成為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中較為關(guān)心的話題。鑒于此，筆者以“等量關(guān)系的傳遞”為載體，探索這一內(nèi)容的理解與實踐方式，為早期代數(shù)推理的培養(yǎng)提供參考。

一、 “等量關(guān)系的傳遞”內(nèi)容審視

早期代數(shù)推理的培養(yǎng)必須結(jié)合小學(xué)階段內(nèi)容的特點，這是避免人們對在小學(xué)階段培養(yǎng)早期代數(shù)推理的質(zhì)疑的重要基礎(chǔ)[3]。正因此，“等量關(guān)系的傳遞”這一內(nèi)容的理解可從數(shù)學(xué)知識本質(zhì)、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容以及其與素養(yǎng)的內(nèi)在關(guān)聯(lián)三個方面予以分析，進(jìn)而把握這一內(nèi)容在早期代數(shù)推理中的作用。

1.基于數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的分析

歐幾里得在《幾何原本》中提出了五條公理：（1）等于同量的量彼此相等；（2）等量加等量，其和相等；（3）等量減等量，其差相等；（4）彼此能重合的物體是全等的；（5）整體大于部分。這或許是“等量關(guān)系的傳遞”這一內(nèi)容對應(yīng)的數(shù)學(xué)知識的來源，即其對應(yīng)于五條公理中第一條公理。在歐幾里得看來，所謂的公理是一些不加證明而被承認(rèn)的命題[4]，他利用這些命題，經(jīng)過邏輯演繹，產(chǎn)生了諸多新的結(jié)論。由此可以看出，至少在《幾何原本》中，這一數(shù)學(xué)知識有兩個特點：一是這一內(nèi)容是無須證明即可得到承認(rèn)的命題，換言之，這一命題存在于人類生活之中且屬于簡單的常識，人們?nèi)ダ斫夂驼J(rèn)可它沒有任何困難；二是這一內(nèi)容是數(shù)學(xué)推理必備的命題之一，換言之，它的價值在于數(shù)學(xué)推理之中。基于這兩個特點，“等量關(guān)系的傳遞”的知識本質(zhì)在于了解這一命題在現(xiàn)實世界中廣泛存在且有利于人們進(jìn)行推理乃至數(shù)學(xué)推理。

2.基于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的分析

在《新課標(biāo)》中，“等量關(guān)系的傳遞”屬于第二學(xué)段“數(shù)量關(guān)系”的內(nèi)容，其內(nèi)容要求是“能在具體情境中了解等量的等量相等”；學(xué)業(yè)要求是“能在真實情境中，合理利用等量的等量相等進(jìn)行推理，形成初步的推理意識”；教學(xué)提示則是“利用現(xiàn)實背景，引導(dǎo)學(xué)生理解等量的等量相等這一基本事實，形成初步的推理意識”[5]。從《新課標(biāo)》的要求中可以看出，“等量關(guān)系的傳遞”這一內(nèi)容的學(xué)習(xí)需要關(guān)注兩個方面：一是理解“等量關(guān)系的傳遞”，二是形成“初步的推理意識”。這其中，理解是基礎(chǔ)，形成推理意識是培育學(xué)生的素養(yǎng)。由此也可以看出，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的兩個層面是對應(yīng)于數(shù)學(xué)知識的，符合數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的特點。

3.基于核心素養(yǎng)表現(xiàn)的分析

正如上文所述，無論是從數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的角度，抑或從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的角度，“等量關(guān)系的傳遞”對應(yīng)的核心素養(yǎng)的表現(xiàn)是推理意識。結(jié)合《新課標(biāo)》中推理意識的具體表現(xiàn)，“等量關(guān)系的傳遞”應(yīng)該對應(yīng)于推理意識中的“知道可以從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論”這一具體表現(xiàn)，這里的“等量關(guān)系的傳遞”可以視為“規(guī)則”。以此來看，作為培育推理意識的“等量關(guān)系的傳遞”應(yīng)該將其作為一種“規(guī)則”應(yīng)用于簡單的推理之中，在已知的一些事實和命題之下，借助這一“規(guī)則”得到或驗證其他一些命題或結(jié)論。就此而言，《新課標(biāo)》中所要求的“初步的推理意識”實則是應(yīng)用“等量關(guān)系的傳遞”進(jìn)行簡單的推理，進(jìn)而說明或得到其他一些結(jié)論。而這也符合推理的核心，即一個簡單推理是邏輯推理當(dāng)且僅當(dāng)這個簡單推理具有傳遞性[6]。

二、“等量關(guān)系的傳遞”學(xué)習(xí)目標(biāo)確立

基于上述的分析，結(jié)合早期代數(shù)推理培養(yǎng)的旨向，“等量關(guān)系的傳遞”的學(xué)習(xí)目標(biāo)應(yīng)該包括以下三個方面。

1.在真實情境中初步理解“等量關(guān)系的傳遞”

正如上文所述，“等量關(guān)系的傳遞”的《新課標(biāo)》要求是：“能在具體情境中了解等量的等量相等”。對于“了解”這一行為動詞的具體解讀為：能從具體實例中說明對象的有關(guān)特征，根據(jù)對象的特征，從具體情境中辨認(rèn)或舉例說明對象。不難發(fā)現(xiàn)，因為學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平的階段性特點，《新課標(biāo)》并未對學(xué)生提出過高的要求，對學(xué)生的掌握水平評價為“了解”。因此第一個教學(xué)目標(biāo)就是：借助真實情境，讓學(xué)生初步理解“等量關(guān)系的傳遞”。

那么學(xué)生怎樣的表現(xiàn)才能算作是初步理解“等量關(guān)系的傳遞”呢？我們認(rèn)為這一初步理解包括兩個方面：一是學(xué)生能夠在具體的情境中使用文字、字母完整地表達(dá)等量關(guān)系傳遞的過程；二是在表達(dá)的基礎(chǔ)上感受等量關(guān)系傳遞的特征，即在兩個等量關(guān)系中，存在一個相同的量就可以推出新的等量關(guān)系。學(xué)生能夠感受到等量關(guān)系是如何傳遞的，以及這個相同的量具有“橋梁”的作用，正是通過這個相同的量才能進(jìn)行傳遞，從而理解什么是等量關(guān)系的傳遞。

2.在含有“不同量”的情境中深化理解

對于《新課標(biāo)》中“利用現(xiàn)實背景，引導(dǎo)學(xué)生理解等量的等量相等這一基本事實，形成初步的推理意識”。我們的理解是：學(xué)生在初步理解“等量關(guān)系的傳遞”的基礎(chǔ)上，能夠在不同的情境中識別“等量關(guān)系的傳遞”，從而深化“等量關(guān)系的傳遞”的理解。這是這一內(nèi)容的理解和后續(xù)早期代數(shù)推理培養(yǎng)的橋梁。

同樣，學(xué)生達(dá)到什么樣的認(rèn)知水平才能算作是深入地理解“等量關(guān)系的傳遞”了呢？我們認(rèn)為深化的關(guān)鍵是抓住等量關(guān)系傳遞過程中的關(guān)鍵量，即“相同的量”，在更加豐富的情境中能夠準(zhǔn)確找到這個相同的量。這里的豐富有兩個原則：其一是豐富“量的內(nèi)涵”，不再局限于質(zhì)量；其二就是豐富“量的范圍”，相同的量可以是多個數(shù)量的同一種物體，也可以是不同物體的組合。從而讓學(xué)生明確相同的量的本質(zhì)是在兩個等量關(guān)系中都存在且完全相同的量。

3.運用“等量關(guān)系的傳遞”進(jìn)行說理和推導(dǎo)

早期代數(shù)推理的培養(yǎng)是這一內(nèi)容的核心旨向，但“等量的等量相等”這一公理已經(jīng)在學(xué)生以往的學(xué)習(xí)過程中多次滲透，只是沒有完整、準(zhǔn)確地揭示背后的道理。因此，學(xué)生具備利用“等量關(guān)系的傳遞”進(jìn)行推理的模糊經(jīng)驗，而在這一內(nèi)容中需要將這一推理意識變得更為明確，形成一定的早期代數(shù)推理的意識。

我們認(rèn)為這一推理意識的明確需要讓學(xué)生能夠使用“等量關(guān)系的傳遞”進(jìn)行說理和推導(dǎo)。具體而言，一方面，學(xué)生在經(jīng)歷認(rèn)識、識別和深化理解之后，需要回顧之前解決過的問題，嘗試?yán)谩暗攘筷P(guān)系的傳遞”去說理、去完善之前推理的過程，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的推理過程，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性。另一方面，學(xué)生能夠使用“等量關(guān)系的傳遞”去推導(dǎo)一些簡單的結(jié)論。在簡單推導(dǎo)的過程中進(jìn)一步感受邏輯推理兩個特征：一是論證的對象不變，二是對象的性質(zhì)不變。從而培育學(xué)生的早期代數(shù)推理意識。

三、 “等量關(guān)系的傳遞”學(xué)習(xí)任務(wù)設(shè)計

基于上述學(xué)習(xí)目標(biāo)，“等量關(guān)系的傳遞”的學(xué)習(xí)任務(wù)可以作以下一些設(shè)計。

1.利用簡單直觀的真實情境，分層揭示，理解公理

“等量的等量相等”這一數(shù)學(xué)公理或基本事實，在表達(dá)上具有高度的概括性和抽象性，因此學(xué)生在理解上存在難度?；诖耍ㄟ^簡單的、直接的天平平衡情境（如圖１），逐步推進(jìn)，讓學(xué)生經(jīng)歷“找兩個等量關(guān)系（相等關(guān)系）→說兩個等量關(guān)系→發(fā)現(xiàn)相同的量→推理新的等量關(guān)系→字母式表達(dá)等量關(guān)系的傳遞→對比揭示等量關(guān)系的傳遞”。在這個過程中要逐步培養(yǎng)學(xué)生的準(zhǔn)確表達(dá)，適時引導(dǎo)、分層推進(jìn)。

圖1 天平平衡情境圖

2.在稍復(fù)雜的真實情境中識別公理，深化理解公理

深化理解公理需要學(xué)生闡述對象之間的區(qū)別和聯(lián)系。這就需要學(xué)生在理解公理的基礎(chǔ)上，根據(jù)稍復(fù)雜的真實情境重演公理，也就是“講等量關(guān)系的傳遞”的故事，其中的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地識別和確定“相同的量”。同時情境的內(nèi)容不僅是形式上的豐富，而且要適當(dāng)提高“量”的種類和數(shù)量。在學(xué)生“講故事”的過程中，教師在不斷規(guī)范學(xué)生表達(dá)的同時引導(dǎo)學(xué)生觀察對比：不同情境中“等量關(guān)系的傳遞”有什么聯(lián)系和區(qū)別。為了落實這一學(xué)習(xí)目標(biāo)，我們設(shè)計了三個任務(wù)。

任務(wù)一：不同物體數(shù)量的情境。

圖2 不同物體數(shù)量情境圖

同桌合作：

圈一圈：圈出你認(rèn)為比較關(guān)鍵的量。

說一說：同桌之間說一說他們之間等量關(guān)系傳遞的故事。

任務(wù)二：不同物體組合的情境。

圖3 不同物體組合情境圖

同桌合作：

寫一寫：寫出他們之間等量關(guān)系傳遞的故事，可以使用字母也可以使用文字。

說一說：同桌之間說一說有什么相同和不同。

任務(wù)三：對比觀察，揭示特征。

出示三組情境對比圖。

圖4 三組情況對比圖

提問：這里相同的量和之前有什么相同和不同。

3.在應(yīng)用公理解決問題的過程中，完善等量關(guān)系的傳遞及推理過程

應(yīng)用公理解決問題的關(guān)鍵不在于問題的結(jié)果，而在于解決問題的方法。呈現(xiàn)學(xué)生熟悉的練習(xí)，讓學(xué)生嘗試使用“等量關(guān)系的傳遞”解釋之前解決此問題的道理，讓學(xué)生養(yǎng)成有條理地講道理的習(xí)慣。在練習(xí)中，等量關(guān)系的傳遞相比之前沒有那么直接和完整，需要學(xué)生在觀察的基礎(chǔ)上簡單推理，完善等量關(guān)系的傳遞，從而借助等量關(guān)系的傳遞解決或解釋問題，發(fā)展學(xué)生早期代數(shù)推理的意識，規(guī)范他們的推理過程。為此，我們設(shè)計以下兩個任務(wù)。

任務(wù)一：完善等量關(guān)系的傳遞，解決問題。

圖5 完善等量關(guān)系情境圖

這一任務(wù)的目的是使學(xué)生認(rèn)識到，找兩個相等關(guān)系中的相同量是“等量關(guān)系的傳遞”的關(guān)鍵。如果沒有，我們可以通過推理找到。

任務(wù)二：利用等量關(guān)系的傳遞，解釋解決問題的過程。

圖6 利用等量關(guān)系解釋問題解決過程情境圖

這一任務(wù)的目的是使學(xué)生認(rèn)識到，在兩個相等關(guān)系中，有一個量是相同的，就能夠推理出另外兩個量是

（下轉(zhuǎn)第50頁）

（上接第41頁）

相等的，從而建立一個新的等量關(guān)系。

4.延伸學(xué)習(xí)內(nèi)容，鋪墊后續(xù)學(xué)習(xí)的內(nèi)容

其實，等量關(guān)系可以傳遞，不等關(guān)系也能傳遞，所以有必要對這一內(nèi)容進(jìn)行延伸，學(xué)習(xí)不等關(guān)系，從而讓學(xué)生進(jìn)一步感受到代數(shù)推理的特點。為此，我們設(shè)計了這樣一個課后任務(wù)。

圖7 不等關(guān)系傳遞情境圖

教師須向?qū)W生說明，今天我們借助天平平衡的故事，發(fā)現(xiàn)了等量關(guān)系的傳遞。圖7的天平，它們是不等量關(guān)系，不等量關(guān)系也能傳遞嗎？你能說說他們的故事嗎？以此引發(fā)學(xué)生后續(xù)的學(xué)習(xí)。

早期代數(shù)推理已經(jīng)引發(fā)越來越多的研究者和實踐者的關(guān)注，并且大部分研究者和實踐者都認(rèn)為小學(xué)階段的諸多內(nèi)容都可以培育學(xué)生的代數(shù)推理意識。因而，我們可以在上述實踐的基礎(chǔ)上開展其他領(lǐng)域代數(shù)推理的探索，從而助力學(xué)生推理意識的養(yǎng)成。

參考文獻(xiàn)

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[責(zé)任編輯：陳國慶]