大概念視角下“多邊形的面積”單元的案例設計與教學策略

摘" 要：大概念是知識系統(tǒng)中的一般概念或具體概念，是經(jīng)過層層抽象提取出來的核心概念或形成的觀念，甚至是思想，它具有高度的概括性、統(tǒng)攝性和遷移價值.本文以“多邊形的面積”單元為例，設計并提出了大概念視角下單元整體教學及優(yōu)化策略，為教師教學提供參考．

關(guān)鍵詞：大概念；單元教學；案例設計；優(yōu)化策略

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）明確提出：“改變過于注重以課時為單位的教學設計，推進單元整體教學設計，體現(xiàn)數(shù)學知識之間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以及學習內(nèi)容與核心素養(yǎng)表現(xiàn)的關(guān)聯(lián).”［1］由此，大概念視角下單元整體教學設計成為新課標背景下深化課堂教學改革的重要內(nèi)容.目前，小學數(shù)學教師面臨著如何將大概念單元整體教學理念落實到具體教學實踐中的挑戰(zhàn).為解決這一問題，本文在厘清大概念的基本內(nèi)涵和價值的基礎(chǔ)上，以人教版《義務教育教科書數(shù)學五年級上冊》中“多邊形的面積”為例，闡述大概念視角下單元整體教學的案例設計及優(yōu)化策略．

1" 大概念的內(nèi)涵與價值

挖掘大概念的深層內(nèi)涵，明確其潛在的價值，是筆者設計大概念視角下單元整體教學的前提和條件．

1.1" 大概念的基本內(nèi)涵

大概念（Big Ideas）又稱為“大觀念”或“大思想”.關(guān)于大概念在教育領(lǐng)域的經(jīng)驗或思想可以追溯到美國科學家本杰明·富蘭克林（Benjamin Franklin）提出的“有用的知識”.所謂“有用”是指人們在日常生活中所具有的理解或處理問題的能力.在教育心理學領(lǐng)域中，美國心理學家杰羅姆·布魯納（Jerome Seymour Bruner）提出的“學科結(jié)構(gòu)”，即“基本概念和原理”成了大概念思想的直接來源，他認為無論教師教授哪一門學科，都要依托“結(jié)構(gòu)”來組織課程.雖然兩者表述存在差異，但是都具有大概念的雛形．

從課程內(nèi)容的視角來看，美國課程專家愛利克·埃里克森（Erik H Erikson）提出，大概念是居于學科中心的核心概念，是從具體事實基礎(chǔ)上抽象出來的具有遷移價值和持久價值的關(guān)鍵性概念.［2］大概念是居于課程中心位置的觀念、主題、論題、理論或是原則等.［3］知識之間存在著內(nèi)在聯(lián)系，教師通過引導學生概括、提煉獲得上位知識（概念），把新的下位知識（教學內(nèi)容）和學生已有的上位知識建立聯(lián)系，有助于下位知識順利地被內(nèi)化到學生已有的認知結(jié)構(gòu)之中，其中的上位知識可稱為大概念．

從數(shù)學學科的角度來看，張丹教授認為數(shù)學大概念是數(shù)學知識和數(shù)學素養(yǎng)的橋梁，是內(nèi)容、過程和價值的融合，既包含對數(shù)學內(nèi)容核心本質(zhì)的理解，也包括知識形成和應用過程中所體現(xiàn)出來的思想方法.［4］大概念位于知識體系的核心，在數(shù)學教學中起著主導的作用．

從知識形成的機制來看，大概念可以劃分為上位概念和觀念思想.第一種上位概念是指公共知識系統(tǒng)中存在的核心知識，它能統(tǒng)攝其下位概念.例如，數(shù)學中的“函數(shù)”這個大概念，其統(tǒng)攝了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等下位概念；力學中“力”這個大概念，其統(tǒng)攝了重力、彈力、摩擦力等.第二種觀念思想是專家思維的典型特征.專家的知識是通過大概念來組織的，大概念就是專家對學科知識進行深度理解后所形成的觀念，甚至思想.

綜上所述，筆者認為大概念是知識系統(tǒng)中的一般概念或具體概念，經(jīng)過層層抽象提取出來的核心概念，或形成的觀念、思想，它具有高度的概括性、統(tǒng)攝性．

1.2" 大概念的價值

1.2.1" 有助于培養(yǎng)學生的高階思維

大概念視角下的單元教學指向?qū)W生的深度學習，即注重學生主動的、有意義的學習.

發(fā)展學生的高階思維是進行深度學習的重要一步，對于他們未來的學習和生活具有重要意義.高階思維是指發(fā)生在較高認知水平層次上的心智活動或較高層次的認知能力，主要由問題解決、決策、批判性思維、創(chuàng)造性思維這些能力構(gòu)成.高階思維在教學目標分類中表現(xiàn)為較高認知水平層次的能力，如分析、綜合、評價和創(chuàng)造.［5］具體來說，大概念的教學幫助學生獲得沉浸式學習體驗，這不僅能夠激發(fā)學生的學習動機，

還能讓學生獲得良好的情感體驗.良好的情感體驗和學生的學習動機是高階思維產(chǎn)生的基礎(chǔ).此外，大概念視角下的單元教學以高質(zhì)量的問題引入，通過學生合作的方式來解決真實的問題.好的問題導向可以活躍學生的思維，促使學生進行深層思考.［6］大概念要求學生跳出某種具體的、表面的知識，以全面的、內(nèi)核的眼光去思考知識.高階思維是一種復合型思維，通過對事物的整體理解以達到對核心概念的把握.因此，大概念是培養(yǎng)學生高階思維的基本途徑.學生深度思考的過程就是高階思維形成的過程，在真實的問題解決過程中學生的高階思維得以發(fā)展．

1.2.2" 有利于發(fā)展學生的核心素養(yǎng)

培養(yǎng)核心素養(yǎng)是當前教育改革的目標.《義務教育課程方案（2022年版）》（以下簡稱“課程方案”）明確提出：“探索大單元教學，積極開展主題化、項目式學習等綜合性教學活動，促進學生舉一反三、融會貫通.”［7］大概念視角下單元整體教學的開展是以核心素養(yǎng)的生成作為理念指引和價值追求的.核心素養(yǎng)不僅是大概念單元整體教學設計的基石，也是大概念單元整體教學的旨歸.核心素養(yǎng)是人適應信息時代和知識社會的需要，是解決復雜問題和適應不可預測情境的高級能力與人性能力［8］，其作用在于培養(yǎng)學生的發(fā)散思維和創(chuàng)新思維，形成終身學習的思想，為學生的未來生活做準備．

大概念的教學在真實情境中展開.核心素養(yǎng)的核心是真實性，它是指在真實生活和現(xiàn)實世界中遇到的問題和機遇，從而在教育影響、教師和學生間創(chuàng)造出更多的聯(lián)結(jié).傳統(tǒng)教學知識的學習只為解決課本中的問題，這些問題與實際生活的關(guān)聯(lián)較少，因而學生成了應試教育的產(chǎn)物——只會做題的“機器”.新課標根據(jù)課程方案的要求把核心素養(yǎng)具體表述為“三會”，即會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界.［9］“三會”強調(diào)學生需要像數(shù)學家一樣思考，大概念恰恰反映專家的思維.“三會”也強調(diào)與現(xiàn)實世界的聯(lián)系，大概念具有生活價值，它可以幫助我們更好地促進學生核心素養(yǎng)的落地．

1.2.3" 有利于優(yōu)化學生的認知結(jié)構(gòu)

結(jié)構(gòu)化源于結(jié)構(gòu)主義理論，任何一門學科都有一個基本結(jié)構(gòu).高宣揚教授提出，數(shù)學根據(jù)定義具有結(jié)構(gòu)，它是研究現(xiàn)實世界中量的關(guān)系和空間形式的學科，數(shù)學越發(fā)展，越能揭示事物的內(nèi)在結(jié)構(gòu).［10］大概念的課程主要指基于學生身心發(fā)展規(guī)律和知識的邏輯特點，對教材中的單元內(nèi)容進行優(yōu)化建構(gòu).課程整合以教材為藍本，單元為重要表現(xiàn)形式，按照它們之間的聯(lián)系概括為學科的知識結(jié)構(gòu).教師引導學生理解學科知識之間的聯(lián)系，幫助學生建立系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu)，這是學生認知發(fā)展和素養(yǎng)生成的重要基礎(chǔ).例如，“數(shù)與代數(shù)”中計算所總結(jié)出的大概念是數(shù)計數(shù)單位的個數(shù)；圖形與幾何中總結(jié)出的大概念是數(shù)面積單位的個數(shù)、數(shù)體積單位的個數(shù)，它們的上位概念則是數(shù)計量單位的個數(shù)，它亦是大概念.大概念幫助學生建立完整的知識體系，形成數(shù)學學科的縱向貫通、橫向融合，實現(xiàn)數(shù)學學習從零碎知識向結(jié)構(gòu)化知識的轉(zhuǎn)化，從而優(yōu)化學生的認知結(jié)構(gòu)．

2" 小學數(shù)學單元整體教學的案例設計

下面以人教版《義務教育教科書數(shù)學五年級上冊》中“多邊形的面積”為例，設計大概念視角下“度量”這一單元整體教學過程.該單元整體教學具體包括：縱向比較，溝通知識聯(lián)系；任務驅(qū)動，感悟度量本質(zhì)；等積變形，提煉面積公式；拓展延伸，打破思維定式四個環(huán)節(jié)．

2.1" 縱向比較，溝通知識聯(lián)系

師：圖1中三幅圖分別表示什么含義？

預設：第一幅圖表示5個1厘米，也就是5厘米；第二幅圖表示4個1度，一共是4度；第三幅圖每一方格表示1平方厘米，有這樣的10個方格，也就是10平方厘米．

圖1

師：數(shù)的過程中有什么相同的地方？

預設：計算過程都是將計量單位進行累加的過程．

師：從本質(zhì)上來說，計算過程都是在數(shù)有多少個相同的計量單位．

第三幅圖中，長方形的面積是怎樣計算的？

預設：在第三幅圖中，一行里面有5個1平方厘米的小正方形，也就是5平方厘米，有這樣的兩行，所以有2×5＝10個小正方形，也就是10平方厘米，因此長方形的面積可以用長×寬來計算．

【設計意圖】此環(huán)節(jié)通過一組素材引入新課，學生回顧并感悟縱向知識間的聯(lián)系，即以前學過的長度、角度和面積，其實就是在數(shù)有多少個同樣的計量單位.數(shù)計量單位的個數(shù)就是一個大概念，它能把碎片化的知識，如長度、角度和面積等聯(lián)結(jié)在一起，并以結(jié)構(gòu)化的內(nèi)容進行呈現(xiàn)，使學生把握數(shù)的要點.教師提問“長方形的面積是怎樣計算的”，目的是喚醒學生對長方形面積計算的認知，并為本節(jié)課要學習的新知（平行四邊形的面積、三角形的面積和梯形的面積）打下基礎(chǔ)．

2.2" 任務驅(qū)動，感悟度量本質(zhì)

任務：通過數(shù)一數(shù)，得到圖2中三種圖形的面積．（圖中每一方格都是邊長1厘米的小正方形）

圖2

師：圖2中三種圖形包含的小方格，有的是完整的，有的是不完整的，你們是怎么數(shù)的？

預設：先數(shù)完整的小方格，不滿一格的按半格算．

師：平行四邊形的面積為15平方厘米，三角形的面積為16平方厘米，梯形的面積為32平方厘米．

【設計意圖】大概念視角下的單元整體教學要求教學以一組同類素材作為大任務來進行開展.為此，本課時的設計將平行四邊形、三角形、梯形這一組同類素材放在一起.數(shù)一數(shù)這一任務的驅(qū)動，使學生感悟平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積的計算，其實都是在數(shù)面積單位的個數(shù)，以突出“度量”的本質(zhì)是數(shù)面積單位的個數(shù)，并發(fā)展學生的量感．

2.3" 等積變形，提煉面積公式

（1）平行四邊形的面積.

師：除了數(shù)小方格的個數(shù)外，是否還有其他的方法呢？

預設：可以割補成完整且已知的圖形后再用公式進行計算．

師：如圖3所示，你們是怎么將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形的呢？能具體說一說嗎？

圖3

預設：只要把左邊的三角形割下來，補到右邊就形成了一個長方形，通過長方形的面積等于長乘寬，得到

平行四邊形

面積是3×5＝15（平方厘米）．

師：是的，像這樣的方法，我們就叫作割補法．

轉(zhuǎn)化后的長方形和原來的圖形之間有什么關(guān)系？

預設：面積是一樣的．

師：看來求平行四邊形的面積就是求它轉(zhuǎn)化后的長方形的面積.長方形的長就是平行四邊形的底，長方形的寬就是平行四邊形的高.因此，平行四邊形的面積公式就是面積=底×高．

（2）三角形的面積.

師：圖4中四幅作品分別表示什么意思？

圖4

預設1：作品①將不完整的面積單位拼補成完整的面積單位后，通過數(shù)格子數(shù)出來三角形的面積是16個面積單位，也就是16平方厘米．

預設2：作品②將三角形拼補成了一個和三角形等底、等高的長方形，通過觀察發(fā)現(xiàn)它的面積擴大了一倍.通過長×寬即可算出補完后的圖形面積.三角形的面積是整個長方形的一半，三角形的底就是長方形的長，三角形的高就是長方形的寬，因此三角形的面積=底×高÷2．

預設3：作品③也是通過割補的方法把三角形補成一個正方形，通過割補發(fā)現(xiàn)三角形的面積和這個正方形的面積是相等的.正方形的面積是邊長乘邊長，正方形的其中一條邊長正好是三角形的高，三角形的底是正方形另一邊長的兩倍，因此正方形的另一條邊長可以表示成三角形的底除以2，由此也能夠得出三角形的面積=底×高÷2．

預設4：作品④同樣是轉(zhuǎn)化成長方形，長方形的長與三角形的底相等，而長方形的寬是三角形高的一半，得到三角形的面積=底×高÷2．

師：割補和拼補都能推導出圖形的面積公式，它們有什么相同的地方？

預設：不管是割補還是拼補，本質(zhì)上都是把三角形轉(zhuǎn)化成長方形，雖然表示的意思不同，但計算方法是相同的，按照一行有幾個，有幾行數(shù)出面積單位的個數(shù)，最后都可以得到三角形的面積=底×高÷2．

（3）梯形的面積.

師：圖5中三幅圖你們看懂了嗎？

圖5

預設：第一幅圖長方形的長正好是梯形的上底與下底的和，長方形的寬是梯形高的一半；第二幅圖長方形的長正好是上底與下底和的一半，長方形的寬也就是梯形的高，從而可以得到梯形的面積

=（上底＋下底）×高÷2；最后一幅圖則是把梯形轉(zhuǎn)化成擴大了一倍的長方形，這時候長方形的長是上底與下底的和，寬是梯形的高，梯形的面積就是長方形面積的一半．

師：梯形的面積計算公式可以表示為面積=（上底＋下底）×高÷2．

【設計意圖】大概念的教學以學生的反饋作為教學的素材，讓學生做課堂的主人.開放性的課堂要求教師具有較高的素養(yǎng)和靈活的應變能力.因為大任務存在多種可能性，沒有固定的答案，所以教師需提前預設課堂中學生可能會給出的答案.學生在合作探究的過程中不斷思考感悟，運用等積變形的方法將新圖形的面積，即平行四邊形的面積、三角形的面積和梯形的面積轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的長方形或正方形的面積.雖然學生選擇的方法各不相同，但是在總結(jié)提煉的過程中都能夠得到知識的共性，也就是圖形的面積計算公式．

2.4" 拓展延伸，打破思維定式

師：計算不同圖形的面積有不同的公式，如果只選一個，你會選哪個？

預設：留下梯形的面積公式.三角形可以看成上底為0的梯形，三角形的面積計算公式轉(zhuǎn)化成面積=（下底＋0）×高÷2 ，也就是面積=底×高÷2.平行四邊形和長方形的上底和下底是相等的，因此平行四邊形的面積=底×高．

【設計意圖】學習三個圖形的面積公式往往是不夠的，還需要對知識進行拓展延伸.因此在最后一個環(huán)節(jié)依托大概念進行知識整合，將所學的平行四邊形、三角形、梯形的面積公式進行分析比較，發(fā)現(xiàn)相同的地方，即梯形的面積公式可以運用在已經(jīng)學過的所有圖形的面積計算中，因此面積=（上底＋下底）×高÷2亦可理解為一個大概念，這可打破學生原有的思維定式，從而使學生的知識體系或認知結(jié)構(gòu)得以優(yōu)化構(gòu)建．

3" 大概念視角下單元整體教學的優(yōu)化策略

大概念單元教學理念落實到具體教學實踐中需要采取確定單元整體目標、創(chuàng)建深度學習活動、落實教學評的一體化等策略．

3.1" 提煉大概念，確定單元整體目標

單元整體目標中大概念提煉的路徑包括研讀教材、學習專家思維和大概念的深層建構(gòu).首先，提煉大概念以認真研讀教材為基礎(chǔ).教師對整個單元的教學目標進行羅列和提煉，尋找課程目標的相同點，

如圖形的面積是數(shù)面積單位的個數(shù).除此之外，亦可尋找相同領(lǐng)域的縱向知識的相同點，以人教版《義務教育教科書數(shù)學五年級下冊》中“同分母分數(shù)加法”教學為例，教師分別出示3＋6、0.3＋0.6、37＋67，從整數(shù)到小數(shù)再到分數(shù)，知識之間存在關(guān)聯(lián)性，從中可以提煉出大概念“數(shù)計數(shù)單位的個數(shù)”.其次，教師要學習專家思維，靠個人的力量往往不能夠提煉出大概念，因此可以通過聽專家的講座、閱讀文獻、觀看優(yōu)秀教師的課堂實錄等方式，學習專家的思維.最后，將大概念體系逐層分布到表層學習、深度學習以及遷移學習的活動設計中，教師引導學生對大概念的深層次建構(gòu).單元整體目標的確立以數(shù)學大概念為基礎(chǔ)，通過對單元基本問題的思考與凝練，來聚焦以意義理解和學習遷移為內(nèi)核的單元目標.例如，“多邊形的面積”的目標是以大概念數(shù)不完整的面積單位的個數(shù)為基礎(chǔ)，理解并掌握平面圖形的面積計算公式，并通過溝通聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)在數(shù)的過程中可以通過改變圖形的形狀，從而達到對圖形大小的精準刻畫.［11］

3.2" 把握大概念，創(chuàng)建深度學習活動

深度學習是在教師引領(lǐng)下，學生圍繞具有挑戰(zhàn)性的學習主題，積極參與，體驗成功，獲得發(fā)展的、有意義的學習過程.［12］深度學習活動是學生通過親身體驗來感受知識生成的過程，將認知經(jīng)驗和學科實踐相結(jié)合，從而加深對知識的理解.大概念教學要求教師自身構(gòu)建起關(guān)于學科的宏觀視野，并以大概念為核心設計教學過程，引領(lǐng)學生實現(xiàn)感知、思維、情感的全身心投入，從而實現(xiàn)深度學習.［13］具體來說，深度學習活動以大概念為引領(lǐng)，布置少而精的學習任務，并以主題化的形式呈現(xiàn).學生在教師的引導下，通過獨立思考、合作等學習方式深入探究知識本質(zhì)并將知識主動遷移，靈活運用，在任務中滲透大概念，探究中融合大概念，遷移中應用大概念.總而言之，大概念教學是指導教師應該怎么做的過程性概念，深度學習活動則是在大概念教學觀念指導下的結(jié)果性概念，是目標化的指向.［14］大概念教學是創(chuàng)建深度學習活動的基本途徑，它可以實現(xiàn)學生的深度學習．

3.3" 聚焦大概念，落實教學評的一體化

早在20世紀80年代，美國學者斯坦利·科恩（Stanley Cohen）提出“教學評一致性”的概念，它用來指代教學中的某些設計條件與預期的教學過程、教學結(jié)果之間的匹配程度. 教學評一體化的設計強調(diào)圍繞大概念將教師的教、學生的學和學生學習的評價協(xié)調(diào)配合，包含教—學一致性、教—評一致性和學—評一致性三個部分．

（1）教—學一致性.

所學即所教，是指在目標的指引下學生的學習與教師的教學之間的匹配程度.［15］目標是課堂教學的起點和歸宿.教師依據(jù)大概念確立單元整體教學目標，學生在教師的指導下實現(xiàn)大概念學習目標.在這個過程中要保持教和學的一致性，教學目標和學習目標的一致性，教師的大概念教學和學生的大概念知識體系的一致性.因此教和學的一致性是教學評一體化的基石，只有以大概念為基礎(chǔ)確立教學目標，才能保證在大概念的指導下落實教學評一體化．

（2）教—評一致性.

教師的教與對學生學習的評價相一致是教學評一致性的應有之義.教師在教學過程中往往會出現(xiàn)偏差，因此課堂上教師要持續(xù)獲取學生關(guān)于目標達成的信息，通過學生學習評價及時改善教學活動，并檢驗教學活動的效果是否達到預期目標.具體來說，教學過程具有交互性的特點，強調(diào)教師與學生之間的雙邊互動過程.教師靈活地對學生的回答進行加工，讓課堂活動始終圍繞大概念展開，引導學生自己總結(jié)出大概念.

（3）學—評一致性.

學生的學習和學生學習的評價應保持一致，生成性評價是檢驗學生學習成果的重要標準.大概念課堂以學生的學習作品為教學素材，關(guān)注學生學習信息.教師及時反饋，為學生糾偏正向，以評促學，在學生完成任務的過程中展開評價［16］，總結(jié)出學生作品的相同點，從而獲得大概念.因此，教師要加強評價反饋的適切性，選擇典型的學生作品，反饋的內(nèi)容要與大概念相契合，反饋的數(shù)量適中，教學方法要恰當.

參考文獻

［1］［9］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［2］林恩·埃里克森，洛伊斯·蘭寧.以概念為本的課程與教學：培養(yǎng)核心素養(yǎng)的絕佳實踐［M］.上海：華東師范大學出版社，2018．

［3］劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學構(gòu)型——兼論素養(yǎng)導向的課堂變革［J］.教育研究，2020（6）：64-77．

［4］ 張丹，于國文.“觀念統(tǒng)領(lǐng)”的單元教學：促進學生的理解與遷移［J］.課程·教材·教法，2020（5）：112-118．

［5］鐘志賢.如何發(fā)展學習者的高階思維能力？［J］.遠程教育雜志，2005（4）：78．

［6］ 李國強.教師教育課程問題導向式教學（PBL）模式建構(gòu)策略初探［J］.教育教學論壇，2014（6）：170-172．

［7］中華人民共和國教育部.義務教育課程方案（2022年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2022．

［8］張華.論核心素養(yǎng)的內(nèi)涵［J］.全球教育展望，2016（4）：10-24．

［10］高宣揚.結(jié)構(gòu)主義［M］.上海：上海交通大學出版社，2017．

［11］斯苗兒，楊海榮，陳國權(quán).整合與拓展課例精選［M］.上海：文匯出版社，2019.

［12］ 郭華.深度學習及其意義［J］.課程·教材·教法，2016（11）：25-32．

［13］［14］秦嘉龍，周序.深度學習與大概念教學：實踐困惑、邏輯辨析與殊途同歸［J］.湖南第一師范學院學報，2023（1）：30-36．

［15］崔允漷，雷浩.教—學—評一致性三因素理論模型的建構(gòu)［J］.華東師范大學學報（教育科學版），2015（4）：15-22.

［16］熊梅，鄧勇，袁娟.基于教學評一體化的單元學習評價實踐路徑［J］.中小學管理，2023（7）：54-57．