感知﹑抽象﹑推理﹑表達

摘要：提升作業(yè)的質(zhì)量，控制作業(yè)的數(shù)量可以在減輕學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)的同時實現(xiàn)學(xué)科素養(yǎng)的提升.本文以《立體幾何初步》為例，討論單元主題作業(yè)設(shè)計的一般過程，關(guān)注作業(yè)的整體性、探究性、多樣性、開放性、可選擇性特點．

關(guān)鍵詞：立體幾何初步；單元主題；作業(yè)設(shè)計

作業(yè)設(shè)計是教學(xué)設(shè)計的重要環(huán)節(jié)之一，它除了能幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識之外，在培養(yǎng)學(xué)生獨立的學(xué)習(xí)能力、促使學(xué)生養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和心理品質(zhì)等方面也有著重要的作用.［1］《國務(wù)院辦公廳關(guān)于新時代推進普通高中育人方式改革的指導(dǎo)意見》指出，提高作業(yè)設(shè)計質(zhì)量，精心設(shè)計基礎(chǔ)性作業(yè)，適當(dāng)增加探究性、實踐性、綜合性作業(yè).但目前的高中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計，往往存在如下問題：①作業(yè)在形式上大多是以知識點掌握為目的的練習(xí)題，缺少對以數(shù)學(xué)思想方法領(lǐng)悟和應(yīng)用為目的的探索性作業(yè)；②作業(yè)在內(nèi)容上主要針對單課課時教學(xué)中零散知識的鞏固，題目之間缺乏聯(lián)系，不利于能力提升，難以發(fā)揮作業(yè)在核心素養(yǎng)培養(yǎng)中的積極作用.［2］崔允漷教授指出，只有當(dāng)我們著眼于單元進行整體教學(xué)設(shè)計的時候，才能看到指向核心素養(yǎng)的課程改革給我們帶來的變化.可見以單元為整體進行作業(yè)設(shè)計，是挖掘教材本質(zhì)、整體把握知識結(jié)構(gòu)、滲透教學(xué)價值、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)最有效的途徑.［3］因此，優(yōu)化作業(yè)結(jié)構(gòu)，從整體的角度對作業(yè)進行主題化設(shè)計是高中數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)計研究的一個方向．

1高中數(shù)學(xué)單元主題作業(yè)的內(nèi)涵

單元主題作業(yè)是主題教學(xué)的延續(xù).“主題教學(xué)是圍繞一定的主題，充分重視個體經(jīng)驗，通過與多個文本的碰撞交融，在重過程的生成理解中，實現(xiàn)課程主題意義建構(gòu)的一種開放性教學(xué)”［4］

，它可以將零碎散落的，甚至單一的內(nèi)容統(tǒng)整起來.數(shù)學(xué)單元主題作業(yè)將主題教學(xué)的思想融入作業(yè)設(shè)計，在單元視角下，以一個特定的主題統(tǒng)攝整份作業(yè)，將一系列與該主題關(guān)聯(lián)緊密的問題以習(xí)題的形式呈現(xiàn)，再以一定的編排思路對習(xí)題進行整合的作業(yè)設(shè)計模式，一般可分為確定主題、學(xué)情分析、目標(biāo)分析、主題作業(yè)設(shè)計、評價修改五個環(huán)節(jié).單元主題作業(yè)具有整體性、開放性、多樣性、探究性等特征，可以滿足學(xué)生個性化學(xué)習(xí)的需要，能有效促進學(xué)生創(chuàng)造性思維和批判性思維的發(fā)展.下面將以《立體幾何初步》這一單元的主題作業(yè)設(shè)計為例進行闡述．

2高中數(shù)學(xué)單元主題作業(yè)設(shè)計案例

2.1確定主題

立體幾何屬于幾何與代數(shù)主題，該主題突出幾何直觀與代數(shù)運算之間的融合，即通過形與數(shù)的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，加強對數(shù)學(xué)整體性的理解.［5］立體幾何內(nèi)容分為兩個部分，第一部分為必修課程，包括基本立體圖形、基本圖形位置關(guān)系、幾何學(xué)的發(fā)展等內(nèi)容；第二部分為選擇性必修內(nèi)容，主要是用空間向量方法研究線線、線面、面面的夾角及垂直和平行關(guān)系.本文主要討論的是在第一部分立體幾何初步的教學(xué)過程中主題作業(yè)的設(shè)計.

人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊》第八章第3節(jié)例題1和習(xí)題1分別提到正四面體和正八面體這兩種正多面體.［6］蘇教版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊》第13章第1節(jié)介紹了多面體的概念后給出了食鹽、明礬晶體的實物插圖，說明自然界中一些晶體有著規(guī)則的幾何結(jié)構(gòu).［7］所以在尊重教材的基礎(chǔ)上，教師可以充分挖掘教學(xué)中有利于學(xué)生發(fā)展的要素，靈活地對教材內(nèi)容進行拓展、調(diào)整和優(yōu)化.［8］正多面體作為特殊的多面體，是幾何學(xué)從二維空間過渡到三維空間的重要內(nèi)容，對于剛剛接觸空間幾何體的學(xué)生來講，是一個適宜的橋梁.［9］

正多面體有著重要的教育價值，但現(xiàn)在蘇教版、人教A版等教材對此沒有專題研究.作為教材和課堂教學(xué)的補充，以正多面體為主題實施作業(yè)設(shè)計能讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用，豐富學(xué)生對空間幾何圖形的認(rèn)知，促進學(xué)生空間觀念的形成，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)．

2.2學(xué)情分析

學(xué)生已經(jīng)能夠借助實物認(rèn)識長方體、正方體、圓柱、圓錐等立體圖形，能說出這些圖形的特征，能辨認(rèn)這些圖形的展開圖，會計算這些圖形的體積和表面積，初步形成了空間觀念.初中階段的幾何課程主要研究了平面圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似和投影，以及性質(zhì)的證明等問題.因此，高中階段學(xué)生需要借助基本平面圖形展開對立體幾何的學(xué)習(xí)，其所運用的數(shù)學(xué)思想方法與平面幾何沒有本質(zhì)差別，不同的是研究對象，特別是要在一張紙上處理空間圖形，對直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運算等方面都有著更高的要求.［10］根據(jù)多元智能理論，不同的學(xué)生在不同的領(lǐng)域認(rèn)知水平存在差異性.因此，作業(yè)的設(shè)計應(yīng)該體現(xiàn)層次性、多樣性、可選擇性，以滿足不同層次學(xué)生的發(fā)展需要．

2.3目標(biāo)分析

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“課標(biāo)”）在幾何與代數(shù)主題下的學(xué)業(yè)要求中指出，要能夠通過直觀圖理解空間圖形，掌握基本空間圖形及其簡單組合體的概念和基本特征，解決簡單的實際問題；能夠運用圖形的概念描述圖形的基本關(guān)系和基本結(jié)果；能夠證明簡單的幾何命題（平行、垂直的性質(zhì)定理），并會進行簡單應(yīng)用.重點提升直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算和教學(xué)抽象素養(yǎng).［5］據(jù)此，本單元主題性作業(yè)目標(biāo)是以正多面體為研究對象，遵循從具體到抽象的原則，促進學(xué)生對基礎(chǔ)知識的理解和掌握，提升其綜合應(yīng)用能力，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家堅持不懈、追求真理的精神，感悟數(shù)學(xué)之美.具體地說，就是通過尋找生活中的正多面體.教師引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達世界［5］，形成對這一類幾何體的直觀感知；引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖和制作模型作業(yè)，加強“理念作圖”的訓(xùn)練，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)；通過對正多面體點線面數(shù)量的探究，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)變化中的不變量以及正多面體之間的關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng)．

2.4“立體幾何初步”主題作業(yè)的設(shè)計

作業(yè)1人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊》第八章第3節(jié)例題1和習(xí)題1分別提到兩種特殊的多面體，我們稱之為正四面體和正八面體，還有我們熟悉的正方體也可叫作正六面體；蘇教版

《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第二冊》第13章第1節(jié)提到食鹽晶體就是正六面體，明礬晶體是正八面體，我們將這種類型的多面體都稱為正多面體.除了前面提到的3種正多面體，自然中還有其他類型的正多面體嗎？你認(rèn)為什么樣的幾何體能稱之為正多面體？請給正多面體下定義．

【設(shè)計意圖】 學(xué)生在尋找正多面體的過程中感受復(fù)雜多樣的大千世界中存在著千絲萬縷的聯(lián)系.例如，學(xué)生通過查閱資料，可以發(fā)現(xiàn)最小的富勒烯C20分子結(jié)構(gòu)為正十二面體，黃鐵礦礦石晶體也呈現(xiàn)正十二面體形狀，晶體硼（B12）的結(jié)構(gòu)單元是正二十面體，甲肝、乙肝等多種病毒衣殼也是正二十面

體.在此過程中，學(xué)生充分體會到大自然是數(shù)學(xué)寫成的書.在作業(yè)反饋環(huán)節(jié)，學(xué)生相互交流，對大量的案例歸納，可以發(fā)現(xiàn)自然界中存在正四、六、八、十二、二十面體這5種類型的正多面體，從而發(fā)展了學(xué)生邏輯推理的學(xué)科核心素養(yǎng).在課堂學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了棱柱、棱錐等空間幾何體的學(xué)習(xí)過程.本題讓學(xué)生在直觀感知的基礎(chǔ)上，通過抽象圖形的組成元素及其形狀和位置關(guān)系定義正多面體，再次體會定義幾何圖形的一般方法，從而學(xué)會用數(shù)學(xué)的語言進行表達．

作業(yè)2通過作業(yè)1的學(xué)習(xí)，我們發(fā)現(xiàn)了5種類型的正多面體，接下來你打算研究什么問題？

【設(shè)計意圖】本項作業(yè)讓學(xué)生根據(jù)已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗思考正多面體可能的研究方向.在作業(yè)反饋時，師生共同討論評估其可行性，篩選出在學(xué)生“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)的問題，據(jù)此設(shè)計后面的作業(yè).

課標(biāo)提出：“學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，感悟數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián).”［5］問題是解決問題的起點，與解決問題相比，發(fā)現(xiàn)并提出問題顯然要更具有挑戰(zhàn)性，這也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的關(guān)鍵．

作業(yè)3（1）觀察正多面體模型，將相關(guān)數(shù)據(jù)填入表1.

（2）畫出五種正多面體的平面展開圖.

（3）正多面體的表面可能是哪幾種類型的正多邊形？請通過正多邊形的卡片拼湊說明理由？

（4）選擇合適材料，制作一個正多面體．

【設(shè)計意圖】 作業(yè)3（1）、3（2）引導(dǎo)學(xué)生進一步觀察正多面體的結(jié)構(gòu)特征，為制作正多面體做準(zhǔn)備；作業(yè)3（3）引導(dǎo)學(xué)生通過操作確認(rèn)正多面體的每個面正多邊形的邊數(shù)最小為3，最大為5，這是因為正多面體是凸多面體，每個頂點處的面角之和必然小于360°.若每個面都為正三角形，那么每個頂點的正三角形最少為3個，最多為5個；若每個面都為正方形，每個頂點處的正方形只能為3個；若每個面都為正五邊形，每個頂點處的正五邊形只能為3個.通過本題，學(xué)生可以直觀地認(rèn)識到正多面體最多只有5種類型.

作業(yè)4（1）分析作業(yè)3（1）表格中的數(shù)據(jù)，它們之間有什么規(guī)律？一般的凸多面體也滿足這個規(guī)律嗎？請嘗試給出證明．

（2）只有5種類型的正多面體嗎？請嘗試給出證明，并確定每一種正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)．

【設(shè)計意圖】 作業(yè)4（1）引導(dǎo)學(xué)生先歸納猜想，再嚴(yán)格證明，從感性認(rèn)識上升到理性認(rèn)識，經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的一般過程，讓學(xué)生體驗研究數(shù)學(xué)問題的一般方法.

本題的證明過程對學(xué)生而言有一定的挑戰(zhàn)性，適合具有較強思維能力的學(xué)生解答.教師可以根據(jù)學(xué)生實際情況給出適當(dāng)提示，如對歐拉公式的證明，可以提供問題支架，提示學(xué)生可想象將凸多面體想象成用橡皮薄膜做成的中空體，然后將多面體變形，攤成一個平面多邊形，這個多邊形有m個頂點，為m邊形，這個多邊形內(nèi)還有V-m個點，以多面體的面角和為等量關(guān)系可得

（n1-2）×180°+…+（nF-2）×180°＝2×（m-2）×180°+（V-m）×360°，

即（2E-2F）×180°＝（-4+2V）×180°，

所以V+F-E＝2.

對于作業(yè)4（2），設(shè)正多面體每個面都是n邊形，每個頂點處有m個面，而頂點處面角和小于360°，即

m×（n-2）×180°÷n＜360°，

化簡可得m＜2+4（n-2）.

因為m，n為大于等于3的正整數(shù)，可得n，m的整數(shù)解只有n＝3，m＝3；n＝3，m＝4；n＝3，m＝5；n＝4，m＝3；n＝5，m＝3這5種情況.再根據(jù)nF＝2E，mV＝2E，V+F-2＝E，可得5種正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)．

作業(yè)5正多面體的嵌套.如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，連結(jié)B、D、C1、A1這四個頂點，就構(gòu)成一個正四面體，再連結(jié)該正四面體各條棱的中點，就得到一個正八面體，若能在正八面體內(nèi)找到一個正方體，就能構(gòu)成一個循環(huán)，有人認(rèn)為將正八面體各條棱的中點連起來就可以得到正方體，你認(rèn)為對嗎？為什么？

【設(shè)計意圖】 作業(yè)5引導(dǎo)學(xué)生從圖形的嵌套角度探求其相互之間的關(guān)系，需要學(xué)生從圖形直觀感知，從代數(shù)角度計算論證，在此過程中，能很好地培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng).

本題答案并不唯一，連接正八面體各面的中心可以得到正方體，也可以在棱上取點得到正方體，但不是棱的中點，如圖2所示，不妨設(shè)正八面體棱長為2，內(nèi)接正方體棱長為x，TE＝y(tǒng).由x＝2y，x+y＝2，可得x＝4-22，y＝22-2，由此可見，點T并不是中點．

作業(yè)6撰寫數(shù)學(xué)小論文（下面2個主題二選一）．

主題1閱讀關(guān)于正多面體研究的歷史資料，撰寫小論文，論述數(shù)學(xué)家研究正多面體的過程、重要結(jié)果、主要人物、關(guān)鍵事件及其對人類文明的貢獻．

主題2請你圍繞某一種類型的正多面體，從線面的平行垂直關(guān)系、空間角、空間距離、幾何體的表面和體積、與球的內(nèi)切外接、在生活中的應(yīng)用等角度進行全面的研究，撰寫小論文．

【設(shè)計意圖】 在作業(yè)6中，學(xué)生根據(jù)興趣選擇一個主題進行寫作，賦予學(xué)生對作業(yè)的選擇權(quán)可以激發(fā)學(xué)生自我責(zé)任感和對作業(yè)的主動認(rèn)知投入.［1］主題1引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)地梳理人類對正多面體的認(rèn)知過程，在此過程中，學(xué)生不僅需要關(guān)注數(shù)字和符號，而且要考慮數(shù)學(xué)背后的邏輯、思維方式和歷史背景，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)家們研究問題的方法，體會數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)、刻苦、專注等良好的科學(xué)品質(zhì)，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科育人的價值.

主題2中，學(xué)生根據(jù)自己的能力從5種類型的正多面體中選擇一種進行研究，可以系統(tǒng)地梳理本章節(jié)的基礎(chǔ)知識和基本方法，經(jīng)歷系統(tǒng)研究數(shù)學(xué)對象的一般過程.

2.5多元評價、全面發(fā)展

作業(yè)類型的多樣性導(dǎo)致了評價標(biāo)準(zhǔn)和評價方式的多樣性，作業(yè)1和作業(yè)2為實踐類作業(yè)，考慮學(xué)生發(fā)現(xiàn)材料的豐富性、思維的發(fā)散性和深刻性、數(shù)學(xué)語言的科學(xué)性和嚴(yán)謹(jǐn)性等，采用學(xué)生相互評價與教師評價相結(jié)合的方式；作業(yè)3為操作類作業(yè)，主要考慮展開圖的科學(xué)性、說理的全面性、制作正多面體的美觀性等，采用學(xué)生相互評價的方式；作業(yè)4和作業(yè)5為紙筆作業(yè)，主要考慮學(xué)生邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性、思維的全面性計算的準(zhǔn)確性，以教師評價為主；作業(yè)6為閱讀寫作類作業(yè)，考慮論文的科學(xué)性、真實性、數(shù)學(xué)性、新穎性、流暢性等，采用自評與教師評價相結(jié)合的形式，優(yōu)秀的作品張貼供其他同學(xué)賞析.作業(yè)6的評價表見表2.

3結(jié)語

在正多面體這個主題進行整體設(shè)計中，學(xué)生不僅僅是作業(yè)的完成者，還是問題的發(fā)現(xiàn)者和提出者、作業(yè)成果的展示者和評價者，體現(xiàn)了學(xué)生在作業(yè)活動中的主體性地位.學(xué)生經(jīng)歷直觀感知、數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)表達等一系列的過程，能很好地發(fā)展其數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

那些以機械記憶和簡單模仿為目的的作業(yè)已經(jīng)不能適應(yīng)時代的需求，教師提供給學(xué)生的學(xué)習(xí)材料應(yīng)該具有多樣性、探究性、拓展性等特點，要能夠促使知識發(fā)生遷移，使學(xué)生在完成作業(yè)的過程中學(xué)會探究，學(xué)會學(xué)習(xí)，能夠培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和合作交流能力，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和探究欲．

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*基金項目：江蘇省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度課題“高中數(shù)學(xué)單元作業(yè)設(shè)計研究”（項目編號：D/2021/02/463）.