半等價化歸思想在數(shù)學解題中的應(yīng)用

摘要：化歸思想作為一種重要的數(shù)學思想，其中包含的半等價化歸思想在提供解題實施路徑方面有不可替代的價值. 本文以三道來自不同省份的2024年高三數(shù)學模擬題為例，研究半等價化歸在數(shù)學解題中的應(yīng)用，旨在幫助學生提高分析問題和解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：

化歸思想；解題應(yīng)用；解題探索

數(shù)學作為一門基礎(chǔ)學科，貫穿了整個學習生涯. 德國數(shù)學家希爾伯特（D. Hilbert）曾說：“問題是數(shù)學的心臟，方法是數(shù)學的行為，思想是數(shù)學的靈魂.”化歸思想是一種基本的數(shù)學思想，也是一種重要的解題方法. 數(shù)學問題解決過程是一個復雜的思維過程，也是一個不斷化歸過程.所謂化歸思想，其內(nèi)涵是將陌生的、復雜的、待解決的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的已解決的問題，從而獲得待解決問題的答案.本文以福州市、長沙市、重慶市三道2024年高考模擬題為例，探索半等價化歸在解題中的應(yīng)用情況，以期培養(yǎng)學生在解決問題時，不斷轉(zhuǎn)化條件，在數(shù)學思想方法的引領(lǐng)下，尋到實施路徑.

1化歸思想研究背景

喻平在著作中將化歸分為等價化歸和半等價化歸，其中半等價化歸又分為弱抽象和強抽象化歸.［1］我們將一個問題轉(zhuǎn)化為另一個問題，如果兩者之間是等價關(guān)系，那么我們稱這種化歸為等價化歸；如果兩者之間是不等價關(guān)系，那么我們稱為半等價化歸.在半等價化歸中，如果問題B是問題A的必要條件，那么從問題A轉(zhuǎn)化為問題B的過程稱為強抽象化歸，從問題B轉(zhuǎn)化為問題A的過程稱為弱抽象化歸. 之后涌現(xiàn)了基于此概念對大學數(shù)學課程的研究，如姬利娜、鄭群珍探討化歸思想在常微分方程教學中方程解法與解唯一性證明的應(yīng)用［2］，謝紅梅探討化歸思想在線性代數(shù)課程中的應(yīng)用［3］. 本文也參照喻平對化歸的概念與分類，關(guān)注中學數(shù)學教學，淺析化歸思想在中學解題的應(yīng)用.

關(guān)于化歸的研究，大多學者把目光集中在等價化歸，這是因為我們常常在解決問題時會追求轉(zhuǎn)化的等價性，保證結(jié)論之間的互通性.有較多學者結(jié)合某一主題進行研究，如蔣蕊蓮、伍雪輝在“立體幾何”主題下談化歸思想在教學中的滲透［4］，李俊麗在“函數(shù)”主題下談化歸思想的重要性等［5］；也有學者從化歸思想應(yīng)用的不同策略進行研究，如高慧明從轉(zhuǎn)化的基本策略分類的角度［6］，結(jié)合例題談化歸思想在高中數(shù)學中的應(yīng)用.

但很少有學者關(guān)注半等價化歸，部分學者從易錯點角度研究不是等價的轉(zhuǎn)化，如李寒從五類常見高中數(shù)學化歸類型出發(fā)談轉(zhuǎn)化不等價帶來的錯誤［7］；也有學者僅從必要性探路這一方法出發(fā)研究，如韓智明

從函數(shù)習題出發(fā)談必要性探路在解決恒成立問題中的策略應(yīng)用［8］.實質(zhì)上半等價化歸在解決某些問題時有“奇效”，達到事半功倍的效果，具有不可替代的價值.因此，本文從強抽象化歸和弱抽象化歸兩個方面，研究半等價化歸思想在中學數(shù)學解題中的應(yīng)用.

2例題解析

高考作為現(xiàn)行公平的選拔方式，大多試題為綜合題，學生在規(guī)定的時間內(nèi)解答，這就需要學生運用靈活的思維梳理題目中的關(guān)系，找到解題思路，也就是我們說的先“猜”題后解題，半等價化歸是在其中起重要作用的思想方法. 本文以2024年各地高三數(shù)學模擬題為例，談?wù)劙氲葍r化歸在中學數(shù)學解題中的應(yīng)用.

例1^^（2024年福州市高三年級第三次質(zhì)檢第14題）&&設(shè)Tn為數(shù)列｛an｝的前n項積，若Tn+an=m，其中常數(shù)m＞0，則a2=（結(jié)果用m表示）；若數(shù)列1Tn為等差數(shù)列，則m=．

分析：由于數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，我們常常有多種等價表示方法，如an-an-1=d（n≥2，n∈N*）或2an=an-1+an+1（n≥2，n∈N*），但如果我們已知數(shù)列｛an｝為等差數(shù)列，可以先讓前三項滿足條件，也就是半等價轉(zhuǎn)化為2a2=a1+a3，最后根據(jù)結(jié)果檢驗其等價性.這樣將問題化難為易，變得簡單明了，從而開闊了解題思路，突出了邏輯推理的數(shù)學核心素養(yǎng).

方法1：常規(guī)法.

易知Tn=m-an，則當n≥2，

Tn-1=m-an-1，an=TnTn-1=

m-anm-an-1，得an=mm-an-1+1，所以

1Tn-1Tn-1=1m-an-

1m-an-1

=1m-mm-an-1+1-

1m-an-1=

1-an-1m2-man-1（n≥2）.

由數(shù)列1Tn為等差數(shù)列，可得1-an-1m2-man-1為常數(shù)，設(shè)為d.若d=0，則an-1=1（n≥2）恒成立，即an=1（n≥1）恒成立，所以m=2；若d≠0，則1-an-1=dm2-dman-1，所以1=dm2，

1=dm，解得m=1，

d=1.

但是這樣的計算會過于復雜，如果從特殊的前三項出發(fā)，將條件“數(shù)列1Tn為等差數(shù)列”強抽象化歸為“前三項滿足

2T2=1T1+1T3”，可以得到第2種解法.

方法2：化歸法.

由T1=m-a1，可得T1=a1=m2，再由T2=m-a2=m-T2T1，T3=m-a3=m-T3T2，用m表示T1、T2、T3，即

2m2m+2=12m+1m3m2+m+2，

解得m=1或2.作為填空題，解決到這里只需再看看這兩種情況是否都滿足，即檢驗其充分性，當m=1時，由Tn+an=1，可得Tn+TnTn-1=1，即1Tn-1Tn-1=1，數(shù)列1Tn為以12首項，公差為1的等差數(shù)列.當m=2時，數(shù)列｛an｝是常數(shù)列1，則數(shù)列1Tn是常數(shù)列.

教師引導學生運用半等價化歸的思想方法解答，靈活變換條件，這樣既降低了計算的難度，也減少了討論不全面的可能性.

例2^^［2024年長沙市高三三校聯(lián)考模擬卷

第19題第（2）問］&&已知函數(shù)f（x）=sinx+ln（1+x）-ax，a∈R．

（1）當a=0時，求f（x）在區(qū)間（-1，2π）內(nèi)極值點的個數(shù).

（2）若f（x）≤0恒成立，求a的值.

（3）求證：

2ni=n+1sin1i-1＜2ln2n-1n-1-ln2，n≥2，n∈N*.

分析：對于恒成立問題，我們常常采用必要性探路法，即通過取定義域內(nèi)某個特殊的值，得到一個必要條件，縮小范圍討論或者驗證其充分性，進而解決問題.第（2）問是典型的必要性探路問題，必要性探路法從本質(zhì)上就是半等價的強抽象化歸，將所要求的問題轉(zhuǎn)化為一個更為簡單的問題，從而達到又快又準找到解決方法的效果.

解析：因為f（0）=0，所以x=0是f（x）的極大值點，則“f（x）≤0恒成立”轉(zhuǎn)化為“f′（0）=0”，得到a=2.下面檢驗其充分性，即證當a=2時，f（x）=sinx+ln（1+x）-2x≤0恒成立.

求導，得f′（x）=cosx+11+x-2，f″（x）=-sinx-1（1+x）2.當x∈（-1，0）時，1（1+x）2＞1，f″（x）＜0，則f′（x）在（-1，0）單調(diào)遞減，f′（x）＞f′（0）=0，f（x）在（-1，0）單調(diào)遞增，f（x）＜f（0）=0.當x∈［0，+∞）時，f′（x）≤0，則f（x）在［0，+∞）單調(diào)遞減，f（x）≤f（0）=0.因此，當f（x）≤0恒成立時，a=2得證.

教師在議題時，應(yīng)加強學生數(shù)學半等價化歸思想的學習與引領(lǐng)，通過潛移默化，使學生逐漸領(lǐng)悟此類題目的突破口，促進數(shù)學思維方法的培養(yǎng)．

例3［重慶市巴蜀中學2024屆高考適應(yīng)性月考卷第18題第（2）①問］已知C1（-2，0），C2（2，0），動點P滿足PC1與PC2的斜率之積為定值14．

（1）求動點P的軌跡Г的方程.

（2）過點M（4，0）的直線l與曲線Г交于A，B兩點，且A，B均在y軸右側(cè)，過點A作直線l′：x=1的垂線，垂足為D．

①求證：直線BD過定點.

②求△MBD面積的最小值．

分析：化歸思想中數(shù)形轉(zhuǎn)化是一種常見的類型，在解題時，有時需要借助數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，即“以數(shù)解形”，有時又需要借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間的某種關(guān)系，即“以形助數(shù)”. 有時數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)化不是等價的，解析幾何中的問題常常從特殊的幾何性質(zhì)入手，從而優(yōu)化解題方法，這背后蘊含了半等價化歸思想.本題就是一道典型例題，如果直接從數(shù)的角度入手，解答過程較為煩瑣，但如果先從形的角度得出對于每一條符合條件的直線BD，其關(guān)于x軸對稱的直線也符合要求，于是直線BD過的定點必為x軸上的點.這實質(zhì)上就是把“直線BD過定點”弱抽象化歸為“直線BD過x軸上的定點”.

解析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），D（1，y1），直線BD為x=my+4，聯(lián)立x24-y2=1，可得（m2-4）·y2+8my+12=0，Δ=16m2+192＞0，y1+y2=-8mm2-4，y1y2=12m2-4.直線BD為y-y1=y2-y1x2-1·（x-1），令y=0，解得

x=-my1y2-4y1+y2y2-y1

=-12mm2-4-4y1-8mm2-4-y1-8mm2-4-2y1=-20mm2-4-5y1-8mm2-4-2y1=52，

即過定點52，0.

從代數(shù)角度用坐標法研究幾何圖形是解析幾何的核心，但是借助幾何性質(zhì)簡化代數(shù)運算卻是解析幾何靈活解題的竅門，這種數(shù)與形之間的半等價化歸往往能使復雜的問題簡單化，幫助學生厘清思路，提高學生分析和解決問題的能力.

3結(jié)語

數(shù)學教育是培養(yǎng)學生智慧的教育，除了關(guān)注知識點本身，還需要在過程中使學生獲得數(shù)學思想方法.半等價化歸作為一類特殊的化歸數(shù)學思想，在解決問題中具有不可替代的價值，如果數(shù)學思想方法不落到實處，高三學生經(jīng)歷了三年的洗禮，必然會在綜合題復習中暴露無遺.半等價化歸思想的落實應(yīng)當成為數(shù)學學習中的持久任務(wù).

參考文獻

［1］喻平.數(shù)學問題化歸理論與方法［M］.桂林：廣西師范大學出版社，1999.

［2］姬利娜，鄭群珍.化歸思想在常微分方程教學中的應(yīng)用［J］.河南教育學院學報（自然科學版），2012（1）：53-54．

［3］謝紅梅.化歸思想方法在線性代數(shù)課程中的體現(xiàn)［J］.高等數(shù)學研究，2012（1）：103-106．

［4］蔣蕊蓮，伍雪輝.化歸思想在中學立體幾何中的教學探究［J］.齊齊哈爾師范高等?？茖W校學報，2021（4）：101-103．

［5］李俊麗.化歸思想在高中數(shù)學函數(shù)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（23）：41-42．

［6］高慧明.高中數(shù)學轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用綜述［J］.廣東教育（高中版），2024（4）：21-26．

［7］李寒.轉(zhuǎn)化是根本 等價是關(guān)鍵——數(shù)學解題轉(zhuǎn)化不等價易錯點剖析［J］.中學生理科應(yīng)試，2021（12）：10-12．

［8］韓智明.讓必要性探路“探”得更明白些［J］.中學數(shù)學研究（華南師范大學版），2019（9）：37-39．