位置變化減難度，思維發(fā)散拓技能

摘要：以2024年高考數(shù)學(xué)新高考Ⅰ卷第16題的平面解析幾何解答題為例，剖析問題的設(shè)置位置、解題的思維方式、運用的技巧方法等，總結(jié)解題技巧與策略，歸納解題的數(shù)學(xué)思維，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與復(fù)習(xí)備考．

關(guān)鍵詞：平面解析幾何；橢圓；平行線；數(shù)形結(jié)合

平面解析幾何，作為高考數(shù)學(xué)中的主干知識之一，一直備受關(guān)注.2021—2023年新高考Ⅰ卷此模塊知識出現(xiàn)在解答題靠后的位置，以第21題或第22題最后兩問的位置來出現(xiàn)，其中2021和2022年出現(xiàn)在第21題，2023年出現(xiàn)在第22題.在2024年的考試試卷中，平面解析幾何的解答題出現(xiàn)在第16題的位置，是解答題的第二題，位置直接靠前，難度有所降低．

1真題呈現(xiàn)

（2024年新高考數(shù)學(xué)Ⅰ卷第16題）&& 已知點A（0，3）和點P3，32分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上的兩點．

（1）求C的離心率.

（2）若過點P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程．

此題以橢圓為問題場景，借助橢圓上兩點的坐標(biāo)信息的給出，可以直接求解對應(yīng)的參數(shù)值，為橢圓方程與對應(yīng)幾何性質(zhì)的求解與應(yīng)用創(chuàng)造條件．

基于此，通過橢圓上兩點以及對應(yīng)三角形面積的信息給出，可以確定橢圓上的第三個點，并借此求解相應(yīng)的直線方程，此時問題的切入思維與技巧方法較多，可以回歸平面解析幾何中“數(shù)”或“形”的兩種不同思維方式來展開，或從“數(shù)”的視角來數(shù)學(xué)運算與邏輯推理，或從“形”的視角來直觀想象與運算推理等，都可以得以突破與求解．

2真題破解

解析：（1）依題，點A（0，3）在橢圓C上，所以b=3．

又點P3，32在橢圓C上，所以9a2+949=1，則有a2=12，即a=23，可得c=a2-b2=3，

所以橢圓C的離心率e=ca=12．

（2）方法1：平行線法.

由（1）可得橢圓C的方程為x212+y29=1．

依題，可得直線AP的方程為y=32-33-0x+3=－12x+3，即x+2y－6=0．

利用兩點間的距離公式可得AP=（3-0）2+32-32=352．

設(shè)過點B平行于直線AP的直線方程為x+2y－m=0，數(shù)形結(jié)合可知m＜0，則兩平行線間的距離就是點B到直線AP的距離d，利用距離公式可得d=｜m-6｜12+22=

｜m-6｜5．

依題知△ABP的面積為9，所以S=12AP·d=9，即12×352×

｜m-6｜5=9，亦即|m－6|=12，解得m=18（舍去）或m=－6，此時對應(yīng)的直線方程為x+2y+6=0．

聯(lián)立x+2y+6=0，

x212+y29=1，解得點B的坐標(biāo)為（0，－3）或－3，－32，所以直線l，即直線PB的方程為y=32+33-0·x－3=32x－3或y+32=32+323+3（x+3）=12（x+3），即3x－2y－6=0或x－2y=0．

點評：回歸平面解析幾何的“數(shù)”與“形”巧妙綜合的一致性，既有“數(shù)”的代數(shù)信息，也有“形”的幾何特征，巧妙融合這兩種特性加以合理綜合與應(yīng)用，經(jīng)常是解決平面解析幾何問題的一種基本技巧方法.這里借助“形”的幾何結(jié)構(gòu)來確定平行線，進而通過直線與橢圓方程的聯(lián)立，以“數(shù)”的方式來推理與運算，實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用．

方法2：設(shè)點法.

由（1）可得橢圓C的方程為x212+y29=1．

依題，可得直線AP的方程為y=32-33-0x+3=－12x+3，即x+2y－6=0．

利用兩點間的距離公式可得AP=（3-0）2+（32-3）2=352．

依題知△ABP的面積為9，所以S=12AP·d=9，所以橢圓C上的點B到直線AP的距離為d=

125．

設(shè)點B（m，n），則利用點到直線的距離公式有d=｜m+2n-6｜12+22=

125，即m+2n=－6或m+2n=18．

當(dāng)m+2n=－6時，此時有m212+n29=1，聯(lián)立消參有2n2+9n+9=0，解得m=0，

n=-3或m=-3，

n=-32，則點B的坐標(biāo)為（0，－3）或－3，－32，所以直線l，即直線PB的方程為y=32+33-0x－3=32x－3或y+32=32+323+3（x+3）=12（x+3），即3x－2y－6=0或x－2y=0.

當(dāng)m+2n=18時，此時有m212+n29=1，聯(lián)立消參有2n2－27n+117=0，Δ=272－8×117＜0，方程無解．

綜上所述，直線l的方程為3x－2y－6=0或x－2y=0．

方法3：設(shè)線法.

由（1）可得橢圓C的方程為x212+y29=1．

依題，可得直線AP的方程為y=32-33-0x+3=－12x+3，即x+2y－6=0．

利用兩點間的距離公式可得AP=（3-0）2+（32-3）2=352．

依題知△ABP的面積為9，所以S=12AP·d=9，所以橢圓C上的點B到直線AP的距離為d=125．

當(dāng)直線AB的斜率不存在時，S△ABP=2S△AOP=2×12×3×3=9，滿足條件，此時點B的坐標(biāo)為（0，－3），則直線l的方程為y=32+33-0x－3=32x－3，即3x－2y－6=0.

當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=kx+3，聯(lián)立y=kx+3，

x212+y29=1，消參有（3+4k2）·x2+24kx=0，解得x=0或x=－24k3+4k2，所以B－24k3+4k2，9-12k23+4k2.

利用點到直線的距離公式有d=－24k3+4k2+2×9-12k23+4k2-612+22=

125，即|4k2+2k|=3+4k2.

當(dāng)4k2+2k=3+4k2時，解得k=32，此時B－3，－32，所以直線l，即直線PB的方程為y+32=32+323+3（x+3）=12（x+3），即x－2y=0.

當(dāng)－4k2－2k=3+4k2時，可得8k2+2k+3=0，此時方程無解.

綜上分析，直線l的方程為3x－2y－6=0或x－2y=0．

點評：回歸平面解析幾何“數(shù)”的基本屬性，依托問題的應(yīng)用場景，借助設(shè)點、設(shè)線等參數(shù)的引入，通過設(shè)點法或設(shè)線法來處理，是解決平面解析幾何問題中最為常用的通性通法.引入?yún)?shù)的方式多樣，其中最為常見的還是設(shè)點思維或設(shè)線思維等，特別要注意對應(yīng)點或線的存在性判斷與應(yīng)用等．

方法4：數(shù)形結(jié)合法.

由（1）可得橢圓C的方程為x212+y29=1．

依題，可得直線AP的方程為y=32-33-0x+3=－12x+3，即x+2y－6=0．

利用兩點間的距離公式可得AP=（3-0）2+32-32=352．

依題知△ABP的面積為9，所以S=12AP·d=9，所以橢圓C上的點B到直線AP的距離為d=125．

如圖1所示，設(shè)點D（0，－3），連接PD，延長PO交橢圓C于點E，連接AE，則E－3，－32．

由于S△AOP=12×3×3=92，那么S△ADP=2S△AOP=9，S△AEP=2S△AOP=9，S△ABP=9，所以當(dāng)點B為點D或點E時，滿足題設(shè)條件，數(shù)形結(jié)合可知滿足條件的點B最多只有兩個．

當(dāng)點B為點D時，此時B（0，－3），則直線l的方程為y=32+33-0x－3=32x－3，即3x－2y－6=0.

當(dāng)點B為點E時，此時B－3，－32，則直線l的方程為y+32=32+323+3（x+3）=12（x+3），即x－2y=0.

綜上分析，直線l的方程為3x－2y－6=0或x－2y=0．

點評：回歸平面解析幾何的平面幾何本質(zhì)，借助“形”的結(jié)構(gòu)特征，可以多一點直觀形象，多一點邏輯推理，少一點數(shù)學(xué)運算，這對有效快速解題是非常有益的.基于平面解析幾何場景和平面幾何知識的融會貫通、合理轉(zhuǎn)化，綜合利用平面幾何與平面解析幾何知識來巧妙推理，實現(xiàn)問題的突破與求解．

3教學(xué)啟示

3.1降低難度，優(yōu)化思維

依托高考試卷中平面解析幾何解答題的位置提前設(shè)置情境，對平面解析幾何知識的考查難度有所降低，特別對于以往高考中此模塊解答題中繁雜的數(shù)學(xué)運算有所減少，這充分說明高考的基本指導(dǎo)精神——少運算，多思維．

這就要求教師在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中，應(yīng)該把教學(xué)重心更多地放在拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，優(yōu)化學(xué)生的解題習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面.對于基本的數(shù)學(xué)運算要繼續(xù)加強，避免繁雜或純數(shù)學(xué)運算的高難要求．

3.2把握常規(guī)，創(chuàng)新應(yīng)用

對解決平面解析幾何問題的常規(guī)技巧與方法，學(xué)生還要進一步充分理解與把握，依托平面解析幾何的問題場景，或從“數(shù)”的思維視角來數(shù)學(xué)運算與邏輯推理，或從“形”的思維視角來直觀想象與運算推理等，這都是解決平面解析幾何問題的常規(guī)技巧方法.同時，學(xué)生還要挖掘平面解析幾何問題的本質(zhì)與內(nèi)涵，合理應(yīng)用創(chuàng)新思維與創(chuàng)新意識，使問題的解決更加直接有效.這是學(xué)生創(chuàng)新意識與創(chuàng)新應(yīng)用不斷培養(yǎng)與提升的過程．