構造直角三角形 破解中考壓軸題

摘要：與正方形有關的幾何計算問題，根據(jù)圖形結構，通過構造某些關鍵線段的平行線或垂線，由此得到相似三角形、全等三角形等基本圖形，然后利用其性質探尋已知線段與所求線段之間的數(shù)量關系，從而為問題解決創(chuàng)造條件.“一題多解”不僅可以培養(yǎng)學生的邏輯思維能力，而且能夠有效培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)．

關鍵詞：構造；相似三角形；正方形

正方形具有矩形、菱形的所有性質，是最特殊的平行四邊形.以正方形為基本圖形的中考試題形式靈活多樣，解法不拘一格，倍受命題者的青睞.筆者對2024年天津市中考數(shù)學第17題進行了深入研究，從不同角度構建已知條件與所求結論之間的邏輯關系，給出了多種解法，供讀者參考．

1問題呈現(xiàn)

如圖，正方形ABCD的邊長為32，對角線AC，BD相交于點O，點E在CA的延長線上，OE=5，連接DE．

（1）線段AE的長為．

（2）若點F為DE的中點，則線段AF的長為．

2試題分析

從已知條件入手，因為四邊形ABCD是正方形，則AB=BC=CD=DA，OA=OB=OC=OD，AC⊥BD，∠DAC=45°.因為正方形ABCD的邊長為32，由勾股定理或直角三角形的邊角關系可得AC=BD=6，所以OA=OC=3.從所求問題入手，對于問題（1）而言，因為OE=5，所以AE=2.對于問題（2）而言，點F為DE的中點，線段DE可以看作△ADE的邊，也可以看作△DOE的邊.在△ADE中，AE=2，AD=32，∠DAE=135°，F(xiàn)為DE的中點.顯然，在此三角形中無法直接求得線段AF的長.在△DOE中，∠DOE=90°，OD=3，OE=5，由勾股定理易得DE=34，據(jù)此易求得線段DF或EF的長.顯然，△DOE是直角三角形，其三邊是可求的，點F是斜邊DE的中點，點A是直角邊OE上的定點.顯然，在此三角形中也無法直接求得線段AF的長.解決本題的關鍵是根據(jù)已知條件及圖形的基本結構，構造全等三角形、相似三角形等基本圖形，以此建立已知線段與所求線段之間的數(shù)量關系，從而厘清問題解決的基本思路．

3解法探究

基于以上分析，筆者從不同角度出發(fā)，通過添加輔助線，構造全等三角形、相似三角形等基本圖形，然后利用基本圖形的性質探尋已知線段與所求線段之間的關系，由此得到問題（2）的多種解法．

思路1：構造相似三角形.

解法1：如圖1所示，過點D作DG∥AF，交CE于點G．

因為F為DE的中點，所以DE=2EF.因為正方形ABCD的邊長為32，所以OD=OA=3.又因為OE=5，所以AE=2．

由DG∥AF，得∠EAF=∠EGD，∠EFA=∠EDG，所以△EAF∽△EGD，所以AEEG=AFGD=EFED=12，所以EG=2AE=4，所以OG=OE-EG=1.在Rt△DOG中，由勾股定理，得DG=OD2+OG2=10，則AF=12DG=102．

點評：這種解法涉及平行線的性質、正方形的性質、勾股定理、相似三角形的判定與性質等知識，是初中數(shù)學最核心的基礎知識.根據(jù)圖形結構，構造DG∥AF，從而得到△EAF∽△EGD，這是典型的“A型”相似三角形.由此可得到已知線段與所求線段之間的數(shù)量關系，從而厘清問題解決的基本思路.由此可以看出，根據(jù)圖形結構，構造某些關鍵線段的平行線，能夠得到解決問題所需的相似三角形，從而為問題解決創(chuàng)造條件．

解法2：如圖2所示，過點F作FI⊥CE，垂足為I．

易知EF=DF，OA=OD=3，AE=2.因為四邊形ABCD是正方形，所以OD⊥CE，從而可知FI∥OD，所以∠EIF=∠EOD，∠EFI=∠EDO，所以△EIF∽△EOD，所以EIEO=FIDO=EFED=12，所以EI=12EO=52，F(xiàn)I=12DO=32，所以AI=EI-AE=12.在Rt△AFI中，由勾股定理，得AF=AI2+FI2=102．

點評：這種解法通過作FI⊥CE，得到了一組“A型”相似三角形，即△EIF∽△EOD.顯然，在直角三角形、矩形或正方形等幾何圖形中，通過構造某些線段的垂線可得到相似三角形，從而可借助相似三角形的性質及勾股定理解決問題．

解法3：如圖3所示，延長BA，交直線DE于點G.過點F作FH⊥AD，垂足為H．

易知AE=2，OA=OC=OD=3，CE=8，CD=32，DE=34.因為點F為DE的中點，所以DF=12DE=342.易知AG∥CD，∠EAG=∠ECD，∠AGE=∠CDE，從而可知△EAG∽△ECD.由相似三角形的性質，易知AGCD=AECE=EGDE，即AG32=28，由此可知AG=324.在Rt△ADG中，由勾股定理，得DG=AG2+AD2=3344.易知△DHF∽△DAG，從而可得DHDA=DFDG=FHGA，即3344DH=32×342，解得DH=22，從而可得AH=AD-DH=2，F(xiàn)H=23AG=22.在Rt△AFH中，由勾股定理，得AF=AH2+FH2=102．

點評：這種解法通過構造AG∥CD，F(xiàn)H⊥AD，得到△EAG∽△ECD，△DHF∽△DAG，這兩組相似三角形均是“A型”相似三角形，然后利用其性質即可得到某些關鍵線段的長，為問題解決創(chuàng)造了便利條件.這種解法蘊含基本的解題思路，是常見的解題方法，不足之處是這種解法計算量較大，對學生而言是一個巨大的挑戰(zhàn)，但也是解決問題的一種有效方法．

解法4：如圖4所示，過點A作AG⊥DE，垂足為G．

易知AE=2，OA=OD=3，DE=34.因為F是線段DE的中點，所以EF=12DE=342.因為∠AEG=∠DEO，∠AGE=∠DOE=90°，從而易得△EAG∽△EDO，由此可得AGDO=AEDE，即AG3=234，從而AG=33417，故EG=53417，則FG=EF-EG=73434.所以在Rt△AFG中，AF=AG2+FG2=102．

點評：這種解法通過構造垂線，得到了一組“A型”相似三角形，即△EAG∽△EDO，然后利用“相似三角形的對應邊成比例”這一性質解決問題.這種解法計算量小，求解過程非常簡潔.由此可以發(fā)現(xiàn)，構造垂線，可得到直角三角形和相似三角形，然后利用其性質即可解決問題，這也是解決幾何計算問題的常見方法．

解法5：如圖5所示，過點E作EG∥AF，交DA的延長線于點G.過點E作EH⊥DG，垂足為H．

易知AE=2，AD=32，∠EAH=∠DAC=45°，從而易得AH=EH=2.因為F是線段DE的中點，所以DE=2DF.因為EG∥AF，所以∠FAD=∠EGD，∠AFD=∠GED，從而可知△DAF∽△DGE，由此可得DADG=AFGE=DFDE=12，從而易求得DG=2AD=62，所以GH=DG-AD-AH=22.在Rt△EGH中，由勾股定理，得EG=GH2+EH2=10.由此可知AF=12EG=102．

點評：該解法通過構造EG∥AF，得到△DAF∽△DGE，這也是“A型”相似三角形，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例可得到已知線段與所求線段之間的比例關系.由此可以發(fā)現(xiàn)，平行線、垂線、直角三角形、相似三角形等基本圖形的性質在解決幾何計算問題中發(fā)揮著重要作用，是學生必須掌握的基礎知識與基本技能，是培養(yǎng)學生數(shù)學核心素養(yǎng)的基礎．

思路2：構造全等三角形.

解法6：如圖6所示，過點D作DG∥CE，交AF的延長線于點G.過點G作GI⊥CE，垂足為I．

易知AE=2，DG=IO，GI=OD=OA=3.在△AEF和△GDF中，易知∠EAF=∠DGF，∠AEF=∠GDF，EF=DF，所以△AEF≌△GDF，所以IO=DG=AE=2，所以AI=OA-IO=1.在Rt△AGI中，由勾股定理，得AG=AI2+GI2=10.由此可知AF=12AG=102．

點評：這種解法通過構造DG∥CE，得到了一組“X型”全等三角形，即△AEF≌△GDF，從而為問題解決創(chuàng)造了有利條件.這種解法涉及直角三角形的性質、矩形的性質、直角梯形的性質、全等三角形的判定與性質等基礎知識，是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》規(guī)定的最核心的基礎知識.與其他求解方法相比，這種求解方法思路清晰自然，求解過程通俗易懂，計算量特別小，是一種非常簡潔的求解方法.由此可以發(fā)現(xiàn)，全等三角形的性質也是解決幾何計算問題的有效工具．

4結語

幾何計算問題是初中數(shù)學教學的重要組成部分，其形式靈活多樣，解法千變萬化.解決幾何計算問題的基本思想是不變的，即根據(jù)圖形結構，構造圖形中某些關鍵線段的平行線或垂線，從而得到全等三角形、相似三角形等基本圖形，然后利用其性質厘清已知線段與所求線段之間較為隱蔽的數(shù)量關系，從而為問題解決創(chuàng)造有利條件.“一題多解”是培養(yǎng)學生邏輯推理能力的有效途徑，也是提升學生核心素養(yǎng)的有效方法.在初中數(shù)學教學中，通過“一題多解”訓練，可以幫助學生更好地理解數(shù)學問題的本質，提高其思維靈活性和發(fā)散思維能力．