激活已有知識經(jīng)驗，構(gòu)建問題解決策略

摘要：本文以人教版八年級教科書中“課題學(xué)習(xí)選擇方案”為例，探討在“綜合與實踐”領(lǐng)域中，如何通過激活學(xué)生已有知識經(jīng)驗，探索問題解決的著力點，構(gòu)建指向核心內(nèi)容的整體教學(xué)樣例，從而推動學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的發(fā)展.通過重點研究學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律，從解決問題的心理機(jī)制中尋找對策，關(guān)注教學(xué)評價方式和效果，優(yōu)化教學(xué)策略和方法，可以實現(xiàn)關(guān)鍵能力的培育，并落實“雙減”精神．

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)；關(guān)鍵能力；問題解決；思維發(fā)展規(guī)律

《中國高考評價體系》指出：“學(xué)科素養(yǎng)是指即將進(jìn)入高等學(xué)校的學(xué)習(xí)者在面對生活實踐或?qū)W習(xí)探索問題情境時，能夠在正確的思想價值觀念指導(dǎo)下，合理運(yùn)用科學(xué)的思維方法，有效整合學(xué)科相關(guān)知識，運(yùn)用學(xué)科相關(guān)能力，高質(zhì)量地認(rèn)識問題、分析問題、解決問題的綜合品質(zhì).”［1］以問題解決為導(dǎo)向的課題學(xué)習(xí)是培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)的載體.人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊》中《一次函數(shù)》單元的“課題學(xué)習(xí)選擇方案”，以現(xiàn)實生活中的費(fèi)用最少問題，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用，經(jīng)歷從數(shù)學(xué)的角度觀察與分析、思考與表達(dá)、分析與解決問題的過程，發(fā)展應(yīng)用意識.

課題學(xué)習(xí)和項目學(xué)習(xí)等新型教學(xué)方法，通常需要采用一種整體性的教學(xué)方法，精制教學(xué)理論，就是這樣一種方法，它對問題進(jìn)行簡化，靠的是識別問題較簡單版本，而不是將其分解為系列小片段.筆者嘗試?yán)镁陆虒W(xué)理論，基于問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)，通過激活學(xué)生的已有知識經(jīng)驗，構(gòu)建教學(xué)的著力點，在教學(xué)中獲得了良好效果．

1教學(xué)分析

1.1內(nèi)容分析

人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊》《一次函數(shù)》單元中“課題學(xué)習(xí)選擇方案”的總問題是選擇最省錢的方案問題，由以下兩個問題組成.［2］

（1）上網(wǎng)收費(fèi)問題：下表給出A，B，C三種上寬帶網(wǎng)的收費(fèi)方式．

選取哪種方式能節(jié)省上網(wǎng)費(fèi)？

（2）租車問題：某學(xué)校計劃在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學(xué)生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有1名教師.現(xiàn)有甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如下表.

這兩個問題的背景雖然不同，但其實質(zhì)是一致的，表面是研究不同方案的總費(fèi)用最少，其實質(zhì)是比較大小，可以將“租車問題”轉(zhuǎn)化為“比較大小”的數(shù)學(xué)問題.對問題的感知和識別是構(gòu)建思路的第一步，它幫助我們抓住問題的核心，并確定了解題的方向.接著就是思考如何解決“大小比較”，一般情況下，學(xué)生無法想到與該問題相關(guān)的解題經(jīng)驗，所以教學(xué)時教師要注意引導(dǎo)學(xué)生對已有相關(guān)知識和經(jīng)驗的調(diào)取.比較大小包括數(shù)的大小比較、量的比較，以及變量的大小比較等.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，學(xué)生就已經(jīng)接觸到了比較大小的基礎(chǔ)知識.初中比較變量的大小，可以通過不等式或者建立一次函數(shù)模型來解決.用一次函數(shù)解決，主要利用函數(shù)的增減性，借助圖象來完成大小比較.圖象是對函數(shù)整體的表達(dá)，與通過解析式求值相比，更加直觀易懂.因此，識別問題并把握其實質(zhì)，是進(jìn)行教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的起點，也是構(gòu)建教學(xué)整體思路，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)經(jīng)驗結(jié)構(gòu)化的基礎(chǔ).遷移已有知識和經(jīng)驗來學(xué)習(xí)具有重要意義，它不僅是學(xué)生認(rèn)知和解決新問題的基礎(chǔ)，還能夠幫助學(xué)生更快地理解新問題的性質(zhì)和特點，減少探索的時間和成本．

1.2素養(yǎng)分析

教材中兩個問題解決需要學(xué)生具備較多學(xué)科素養(yǎng)，具體如下（見表1）.

2教學(xué)設(shè)計

2.1上網(wǎng)收費(fèi)問題：借助生活經(jīng)驗激活思路

從小學(xué)生一年級開始，比較大小就成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ).隨著學(xué)習(xí)的深入，比較的對象從整數(shù)擴(kuò)展到分?jǐn)?shù)，涉及的量包括時間、長度、面積等，這些本質(zhì)上都是比較大小的問題.同時，小學(xué)數(shù)學(xué)中也學(xué)習(xí)了量之間的關(guān)系，如總價是單價與數(shù)量的乘積.網(wǎng)費(fèi)方案選擇問題雖然復(fù)雜一些，其實質(zhì)仍然是總費(fèi)用等于單價乘以時間，這與小學(xué)階段的數(shù)量關(guān)系學(xué)習(xí)一脈相承.雖然每個年級學(xué)習(xí)的數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)形式不同，但其本質(zhì)始終如一．

例如，人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊》第79頁的練習(xí)中，呈現(xiàn)某一天北京與上海的氣溫隨時間變化的圖象（如圖1），通過觀察某一天北京與上海的氣溫隨時間變化的圖象，得到這一天內(nèi)，上海與北京何時氣溫相同，上海在哪段時間比北京氣溫高，在哪段時間比北京氣溫低．

圖1

筆者在課前讓學(xué)生重溫以上練習(xí)，通過氣溫的比較，喚醒學(xué)生比較大小經(jīng)驗基礎(chǔ)，感悟“圖象是函數(shù)的整體和直觀的表達(dá)”，借用圖形比較分段函數(shù)值的大小，體會圖象角度解決問題的優(yōu)點，為本課時“上網(wǎng)收費(fèi)問題”的“費(fèi)用大小比較”的研究方法打下知識基礎(chǔ)，做好方法遷移的準(zhǔn)備，給學(xué)生做了一個思維的定向.

其實，類似氣溫的比較，學(xué)生生活經(jīng)驗也很豐富，這些經(jīng)驗同樣可以被巧妙地運(yùn)用在教學(xué)中.例如，學(xué)生能夠觀察到十一二歲的女生身高往往突然超過男生，到了十五六歲，男生的身高又普遍超過女生，這樣的生活實例比比皆是.只要教師適當(dāng)?shù)匾龑?dǎo)和激活這些經(jīng)驗，學(xué)生便能夠自然而然地形成研究思路.筆者收集蘇科版教材，也有類似的引例.

引例根據(jù)如下某地學(xué)生平均身高變化圖，回答下列問題．

（1）哪個年齡段學(xué)生的身高增長較快？哪個年齡段學(xué)生的身高變化較緩？

（2）男、女生身高差異，哪個年齡段較小？哪個年齡段較大？

（3）為什么圖中男、女生身高的平均數(shù)曲線有兩個交叉點？你認(rèn)為這符合青少年身體發(fā)育的特點嗎？

通過引用學(xué)生熟悉的身高變化（男女身高比較）和氣溫比較等生活經(jīng)驗，我們可以將分段函數(shù)的比較轉(zhuǎn)化為直觀的圖象理解，讓學(xué)生體會“圖象是函數(shù)的整體表達(dá)”.在后續(xù)研究上網(wǎng)收費(fèi)問題時，學(xué)生可以自然地運(yùn)用這種思路，通過圖象比較來判定函數(shù)值的大小.圖象展示的函數(shù)整體規(guī)律更易于把握，解析式則側(cè)重局部表達(dá)，需要具體求值才能進(jìn)行比較，這相對復(fù)雜.因此，借助圖象，學(xué)生能夠獲得全局視角，更清晰地理解整個問題規(guī)律．

2.2租車問題：借助已有知識激活思路

租車問題提供數(shù)據(jù)較多，涉及的數(shù)量關(guān)系也較多，對于大部分學(xué)生存在困難，如何引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建思路成為當(dāng)前的教學(xué)研究需求.

不論是哪種類型的任務(wù)，在使用簡化條件法時都要做兩件事：一是確定任務(wù)最簡單的版本；二是基于整體性的概念，將簡化條件一個個去掉，產(chǎn)生一個個完整的、更加復(fù)雜的任務(wù)版本.根據(jù)精致教學(xué)理論，對于復(fù)雜的租車問題，教師需要識別出其較簡單的完整版本進(jìn)行簡化，然后按照具體性遞增的方式，逐級設(shè)置問題.筆者梳理小學(xué)和初中相關(guān)教材內(nèi)容，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化分析，整體教學(xué)思路是以舊引新，漸次精致．［3］

2.2.1溯源：定位思考的起點人教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)四年級下冊》中有如下租車問題.［4］

實驗小學(xué)四年級同學(xué)到城郊開展踏青活動.大客車每輛可乘坐45人，租金360元/輛，中巴車每輛可乘坐22人，租金200元/輛.四年級共有師生224人，怎樣租車最省錢？最少需要多少錢？

通過對四年級師生的調(diào)查，發(fā)現(xiàn)小學(xué)生解決此類問題的思考方式如下.

（1）計算每人乘坐大客車和中巴車的成本.

大客車：360÷ 45=8（元/人）.

中巴車：200÷ 22≈ 9.09（元/人）.

從成本上看，大客車每人費(fèi)用更低．

（2）確定最省錢的租車方案.盡量多租大客車，因為大客車的單人成本更低.四年級共有224人，如果全部乘坐大客車，需要的車輛數(shù)為 224÷ 45≈ 4.98（輛）.由于不能租用部分車輛，我們需要考慮整數(shù)車輛．

（3）計算不同租車組合的費(fèi)用.租用5輛大客車的費(fèi)用為5×360=1800（元），但會有空座，因為5輛大客車可以載225人，超過了224人.租用4輛大客車和1輛中巴車的費(fèi)用為4× 360+1× 200=1640（元），正好可以載224人（4輛大客車載180人，1輛中巴車載44人）．

（4）得出結(jié)論.

最省錢的租車方案是租用4輛大客車和1輛中巴車，總費(fèi)用為1640元．

通過解決小學(xué)中的租車問題，學(xué)生學(xué)會了如何通過比較單價、計算總成本來做出最優(yōu)選擇，這種策略在解決更復(fù)雜的初中問題時仍然適用.

所以教師思考的問題就是怎么引導(dǎo)學(xué)生的思路，打開學(xué)生的思維，給學(xué)生一個比較寬泛思維空間.從方法引導(dǎo)上，面對更復(fù)雜的問題時，學(xué)生可能也會嘗試將其簡化，利用在小學(xué)階段學(xué)到的基本原理來找到解決方案．

2.2.2拆解：分析難點，鋪墊臺階

租車問題涉及主要因素與次要因素.要找到幾對數(shù)量關(guān)系中的核心變量，租車費(fèi)用與甲乙車輛數(shù)相關(guān)是主要因素，甲乙車輛數(shù)又與乘客數(shù)相關(guān)，故乘客數(shù)是次要因素，對于學(xué)生而言有一定難度，直接實現(xiàn)思維水平要求較高.筆者采用拆解難點方式，通過設(shè)計三個有關(guān)聯(lián)的問題，為學(xué)生鋪墊三層臺階，讓他們拾級而上突破卡點．

問題1甲種客車每輛租金400元，乙種客車每輛租金280元，在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，若租7輛客車，可以有幾種租車方案？哪種方案費(fèi)用最少？

【設(shè)計意圖】原租車問題中涉及的變量較多，學(xué)生對于處理多變量問題有一定困難，一方面前面課本練習(xí)題安排上也缺少相關(guān)此類問題的深入研究；另一方面學(xué)生對于找到“費(fèi)用大小的主要因素與次要因素”經(jīng)驗也不足.故本問題是在原租車問題上做了從多變量到雙變量的調(diào)整，降低難度的同時，突出了影響租車費(fèi)用的主要因素，為

問題2 做好鋪墊．

問題2某學(xué)校計劃在總費(fèi)用2 300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學(xué)生和6名教師集體外出活動，每輛汽車上至少要有1名教師.現(xiàn)在甲、乙兩種大客車，它們的載客量和租金如下表.

教師引導(dǎo)學(xué)生思考，要最節(jié)省費(fèi)用的租車方案，需要做什么？

（1）費(fèi)用的構(gòu)成要素及其關(guān)系.

總費(fèi)用=租用甲車的費(fèi)用+租用乙車的費(fèi)用.

租用甲車的費(fèi)用=租用甲車的數(shù)量×租金，租用乙車的費(fèi)用=租用乙車的數(shù)量×租金.

（2）當(dāng)租金確定的情況下，租車費(fèi)用與甲、乙車輛數(shù)相關(guān)（主要因素），

費(fèi)用是租用甲車的數(shù)量（或乙車數(shù)量）的函數(shù)．

（3）若車輛總數(shù)固定，甲、乙車輛數(shù)與乘客數(shù)相關(guān)，乘客數(shù)是次要因素，它決定了甲、乙車輛數(shù)．

【設(shè)計意圖】學(xué)生在問題1的分析與求解基礎(chǔ)上，能夠初步感知本題中費(fèi)用隨租甲車數(shù)量的變化而變化，并把這兩個變量作為研究的對象，從而實現(xiàn)對問題的解決方案的整體感知.面對問題2，很自然會進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)與問題1的不同，未給出租客車的數(shù)量，同時在問題1的解決經(jīng)驗指引下進(jìn)行分析，明確先確定租幾輛車，一旦租車總數(shù)確定后，就變成問題1，從而問題得以解決.這樣的活動設(shè)計做到有層次性地分散難點，先解決一個整體思路，再解決一個說不過去的點，然后整個問題解決思路就構(gòu)建完成.教學(xué)設(shè)計的發(fā)力點是去思考怎樣塑造學(xué)生的思維空間，既給學(xué)生定向思路，還能讓他們盡量多地去自主思考，保有學(xué)習(xí)的主動性．

問題3甲種客車每輛租金400元，乙種客車每輛租金280元；甲種客車最大載客量45人，乙種客車最大載客量30人.在總費(fèi)用2300元的限額內(nèi)，租用汽車送234名學(xué)生與8名教師集體外出參加活動，每輛汽車上至少有1名教師.可以有幾種租車方案？哪種方案費(fèi)用最少？

【設(shè)計意圖】對于租車問題的研究，到問題2還不太夠，這是因為與上網(wǎng)費(fèi)用方案選擇問題對照，租車問題的圖象只表現(xiàn)為一條完整的折線圖象，為了回應(yīng)上網(wǎng)費(fèi)用方案選擇問題，突出選擇方案問題借助函數(shù)圖象來解決問題，需涉及不同函數(shù)的大小比較問題，從這個角度設(shè)計問題3.問題3是在滿足問題2一樣的條件，只改變了租車總數(shù)從6變到8，就實現(xiàn)是三個函數(shù)間比較大小，問題的圖象在結(jié)構(gòu)上與網(wǎng)費(fèi)方案選擇問題一致.該問題學(xué)生就可以綜合網(wǎng)費(fèi)方案選擇的經(jīng)驗，通過分析三個一次函數(shù)，求函數(shù)在定義域內(nèi)的最小值得到答案．

2.3學(xué)以致用，點燃創(chuàng)新

問題解決不以訓(xùn)練技巧為目標(biāo)，而是以聯(lián)系實際，發(fā)展提出問題、分析問題、解決問題能力發(fā)展為目標(biāo)，學(xué)生除了課堂上在教師的引導(dǎo)下經(jīng)歷費(fèi)用構(gòu)成要素分析、各要素的可變性分析、變量的確定、變量之間關(guān)系的確定及數(shù)量表示等過程，還需要在課后生活情境下的探索與實踐，這樣所學(xué)的知識與方法就“活了”，創(chuàng)新意識才能有機(jī)會萌芽．

因此，本課需安排實踐性作業(yè)，如“雙十一”，某公司需要購置若干臺空調(diào)，請調(diào)查市場上不同節(jié)能級別的空調(diào)的價格、耗電量，了解當(dāng)?shù)氐碾娰M(fèi)價格，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行分析，給公司提一個購買建議，并把你的調(diào)查分析及建議寫成書面報告形式.建議采用“項目式學(xué)習(xí)”方式組織學(xué)生進(jìn)行小組合作學(xué)習(xí)方式解決問題，同時教師對學(xué)生的活動要提供一定的幫助與指導(dǎo)，設(shè)計評價量表，把實踐問題解決的過程和結(jié)果作為評價學(xué)生利用一次函數(shù)模型解決方案選擇問題的水平．

3教學(xué)啟示

數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)培育的重點任務(wù)就是加強(qiáng)對數(shù)學(xué)課程內(nèi)容本質(zhì)的理解，研究學(xué)生認(rèn)知規(guī)律，在此基礎(chǔ)上做好教學(xué)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，充分發(fā)揮數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價值.問題解決整體思路就是激活知識經(jīng)驗的過程，它需要學(xué)生將那些零散的記憶和理解進(jìn)行系統(tǒng)歸納和分析，從而在面對新的選擇方案時，能夠迅速調(diào)動這些信息.這種方法不僅促進(jìn)了知識的結(jié)構(gòu)化，也促進(jìn)了方法的結(jié)構(gòu)化，從而真正實現(xiàn)了大單元教學(xué)的整體性，在數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)培育方面，做到學(xué)生能夠在不同情境下綜合利用所學(xué)知識和技能處理復(fù)雜任務(wù)的目標(biāo)，培育學(xué)生“泛化”與“可遷移”的能力，與真實社會中所需的人才相匹配．

參考文獻(xiàn)

［1］教育部考試中心.中國高考評價體系［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級下冊［M］.北京：人民教育出版社，2013.

［3］黃淑欽.基于精致理論的導(dǎo)數(shù)單元教學(xué)設(shè)計［D］.福州：福建師范大學(xué)，2020.

［4］人民教育出版社課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)四年級下冊［M］.北京：人民教育出版社，2022.

*基金項目：福建省教育科學(xué)規(guī)劃2023年教育考試招生重點專項課題“中考綜合改革背景下數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的培育研究”（項目編號：FJJYKS23-59）.