圓錐曲線中最值問(wèn)題的策略探究

摘要：圓錐曲線的題目?jī)?nèi)容豐富，其中求有關(guān)的最大值與最小值問(wèn)題特點(diǎn)明顯，此類問(wèn)題的求解方法雖然有一定難度，但有規(guī)律可循.本文通過(guò)典型問(wèn)題的分析與點(diǎn)評(píng)，旨在探索解題策略，研究最值的通解通法，供

教師參考.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；最值；解題策略

圓錐曲線中的最值問(wèn)題是一類常見(jiàn)的綜合題型，此類問(wèn)題的解決涉及多方面的數(shù)學(xué)知識(shí)，既可以抓住圓錐曲線的定義，運(yùn)用幾何分析直接得到特殊的極限位置，從而判斷出最值點(diǎn)；也可以利用條件建立目標(biāo)函數(shù)，將題目轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)求最值問(wèn)題來(lái)解決；還可以對(duì)建立的相關(guān)式子進(jìn)行整體變換，然后運(yùn)用基本不等式解決最值問(wèn)題.

1抓住曲線定義

圓錐曲線的有關(guān)定義是解決最值問(wèn)題的重要依據(jù)，如果問(wèn)題中還有曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)線段問(wèn)題時(shí)，用定義去思考可能得到重大突破.

例1已知點(diǎn)P是拋物線y2＝4x上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離為d1，到直線l：x+2y-16＝0的距離為d2，求d1+d2的最小值.

解析：從圖形的位置關(guān)系去思考，如圖1所示.

由拋物線定義知，P到拋物線準(zhǔn)線的距離d1等于P到焦點(diǎn)F的距離PF，則當(dāng)P、F、R（設(shè)PR⊥l于R）三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，d1+d2取得最小值，即為點(diǎn)F（1，0）到直線l的距離FN的長(zhǎng)，故（d1+d2）min＝d＝|1+2×0-16|5＝35.

點(diǎn)評(píng)：本題解法是利用幾何圖形的直觀性，將復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了“多動(dòng)腦，少動(dòng)手”的考試要求，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生直覺(jué)思維很有益處.

例2已知A（4，0），B（2，2）是橢圓x225+y29＝1內(nèi)的點(diǎn)，P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求|PA|+|PB|的最大值和最小值.

解析：由于A（4，0）為橢圓的右焦點(diǎn)，則左焦點(diǎn)為A′（-4，0）.

直線AB、A′B交橢圓于點(diǎn)P、P′（如圖2），則P使|PA|+|PB|為最小，P′使|P′A|+|P′B|為最大.

設(shè)M為橢圓上異于P或P′的任一點(diǎn)，則｜MA｜+｜MB｜+｜A′B｜＞｜MA′｜+｜MA｜＝2a（a為半長(zhǎng)軸），而|PA|+|PB|+｜A′B｜＝2a，故|PA|+|PB|＜｜MA｜+｜MB｜，同理可證P′為所求，容易求得最大值為2a+｜A′B｜＝10+210，最小值為2a-｜A′B｜＝10-210.

點(diǎn)評(píng)：由于動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上，故在求點(diǎn)P到焦點(diǎn)距離問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用橢圓的定義解題是一個(gè)比較明智的選擇，而相關(guān)的距離求最大值與最小值時(shí)，就是某個(gè)特殊的幾何位置.

2運(yùn)用二次函數(shù)

圓錐曲線是一類特殊的二次曲線，其中的最值問(wèn)題很可能與二次函數(shù)相關(guān)，這要求學(xué)生要善于觀察，挖掘內(nèi)涵，機(jī)智靈活地

尋找突破口.

例1已知拋物線E：x2＝-2y，過(guò)拋物線上第四象限的點(diǎn)A作拋物線的切線，與x軸交于點(diǎn)M.過(guò)M作OA的垂線，交拋物線于B、C兩點(diǎn)，交OA于點(diǎn)D（如圖3）.若已知MA·MC≥2，求｜AD｜·｜AO｜的最小值.

解析：由題意知，拋物線E：x2＝-2y，即y＝-12x2，求導(dǎo)可得y′＝-x，又點(diǎn)A在拋物線上，可設(shè)A（2t，-2t2）（t＞0），則kAM＝-2t，所以直線AM的方程為y+2t2＝-2t（x-2t），所以可得M（t，0），又kOA＝ -2t22t＝-t，所以kBC＝1t，易得直線BC的方程為y＝1tx-1.將此直線方程與拋物線方程x2＝-2y聯(lián)立，消去y得，x2+2tx-2＝0.設(shè)B（x1，y1），C（x2，y2），則x1+x2＝-2t，x1x2＝-2，

則可得MB·MC＝（x1-t）（x2-t）+y1y2＝x1x2-t·（x1+x2）+t2+14x21x22＝1+t2≥2，所以t2≥1.

又由｜AD｜＝1t×2t+2t2-11+1t2＝t（2t2+1）t2+1，｜AO｜＝（2t）2+（-2t2）2＝2tt2+1，所以｜AD｜·｜AO｜＝t（2t2+1）t2+1·2tt2+1＝2t2+122-14，因?yàn)閠2≥1，所以當(dāng)t2＝1，即t＝1時(shí)，｜AD｜·｜AO｜的最小值是6.

點(diǎn)評(píng)：本題用參數(shù)t表示出拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，激活了整個(gè)解題思路，最后將待求的距離乘積也表示成參數(shù)t的二次函數(shù)，這是一個(gè)成功的關(guān)鍵一步.

例2如圖4所示，點(diǎn)A、B分別是橢圓x236+y220＝1長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且位于x軸上方，PA⊥PF.

（1）求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸AB上的一點(diǎn)，點(diǎn)M到直線AP的距離等于｜MB｜，求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值.

解析：（1）由已知可得點(diǎn)A（-6，0），F(xiàn)（4，0），設(shè)點(diǎn)P（x，y），則AP＝（x+6，y），F(xiàn)P＝（x-4，y），由于PA⊥PF，所以AP·FP＝0，即（x+6）（x-4）+y2＝0，將此方程與橢圓方程x236+y220＝1聯(lián)立，可得x＝32，y＝532，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)是32，532.

（2）由（1）可得直線AP的方程是x-3y+6＝0，點(diǎn)B（6，0）.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（m，0），則點(diǎn)M到直線AP的距離是|m+6|2，于是|m+6|2＝|m-6|，又-6≤m≤6，解得m＝2.

由橢圓上的點(diǎn)（x，y）到點(diǎn)M的距離為d，得d2＝（x-2）2+y2＝x2-4x+4+20-59x2＝49×x-922+15，由于-6≤x≤6，所以當(dāng)x＝92時(shí)，d取最小值，最小值為15.

點(diǎn)評(píng)：本題的求解關(guān)鍵就是將待求的距離d表示出來(lái)，其中求出點(diǎn)M的坐標(biāo)就是解題核心，必須注意到橢圓上點(diǎn)的變化范圍.

3運(yùn)用基本不等式

在一些待求問(wèn)題的表達(dá)式中，會(huì)顯露出可以運(yùn)用基本不等式求最值的機(jī)會(huì)，要及時(shí)地抓住，但必須注意完全滿足“一正、二定、三相等”的條件.

例1如圖5所示，

過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線AB與CD，求

AD·CB的最小值.

解析：易知F（1，0），由題意知直線AB的斜率存在且不為0，

設(shè)為k，則直線AB的方程為

y＝k（x-1），將此方程與拋物線方程

y2＝4x聯(lián)立，消去y得，k2x2-（2k2+4）x+k2＝0，設(shè)A（x1，y1），

B（x2，y2），則x1+x2＝2+4k2，x1·x2＝1.由于AB與CD垂直，則CD

的斜率為-1k，設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），

同理可得x3+x4＝2+4k2，x3·x4＝1.由于AD·CB＝（AF+FD）·（CF+FB）＝AF·CF+AF·FB+FD·CF+FD·FB＝|AF|·|FB|+|FD|·|CF|＝（x1+1）

·

（x2+1）+（x3+1）·（x4+1）＝x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+（x3+x4）+1＝1+2+4k2+1+1+（2+4k2）+1＝8+4k2+1k2≥8+8＝16，當(dāng)且僅當(dāng)k2＝1k2，即k＝±1時(shí)，取等號(hào)，AD·CB取最小值16.

點(diǎn)評(píng)：本解法根據(jù)向量的有關(guān)特點(diǎn)，通過(guò)設(shè)相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量性質(zhì)列式、化簡(jiǎn)，然后整體變形、整體求解，自然順暢.在運(yùn)用基本不等式解題時(shí)，要注意取等號(hào)的條件.

例2

已知雙曲線x2a2-y2b2＝1（a＞0，b＞0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e＝2，點(diǎn)M（5，3）

在雙曲線上.（1）求雙曲線的方程.

（2）如圖6所示，若

直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點(diǎn)Q、P，且OP·OQ＝0，

求｜OP｜2＋｜OQ｜2的最小值.

解析：（1）因?yàn)閑＝ca＝2，所以c＝2a，b2＝c2-a2＝3a2，所以雙曲線的方程為x2a2-y23a2＝1.

因?yàn)辄c(diǎn)M（5，3）在雙曲線上，所以15-3＝3a2，所以a2＝4，所求雙曲線的方程為x24-y212＝1.

（2）設(shè)直線OP的方程為y＝kx（k≠0），則直線OQ的方程為y＝-1kx，將方程y＝kx與雙曲線方程x24-y212＝1聯(lián)立，解得x2＝123-k2，y2＝12k23-k2，所以｜OP｜2＝x2+y2＝12（1+k2）3-k2.同理，用-1k代替式中的k，可得｜OQ｜2＝121k2+13-1k2＝12（k2+1）3k2-1，所以1|OP|2+1|OQ|2＝3-k2+3k2-112（k2+1）＝16.若設(shè)｜OP｜2＋｜OQ｜2＝t，則t1|OP|2+1|OQ|2＝2+|OP|2|OQ|2+|OQ|2|OP|2≥2+2＝4，所以t≥416＝24，即｜OP｜2＋｜OQ｜2≥24，當(dāng)且僅當(dāng)｜OP｜＝｜OQ｜＝23時(shí)，取等號(hào)，即當(dāng)｜OP｜＝｜OQ｜＝23時(shí)，｜OP｜2＋｜OQ｜2取得最小值24.

點(diǎn)評(píng)：用參數(shù)k設(shè)出直線OP的方程后，則直線OQ的方程就出來(lái)了，同樣由｜OP｜2也容易得到｜OQ｜2，這是一個(gè)簡(jiǎn)化解題的技巧，應(yīng)該熟練運(yùn)用.

4換元轉(zhuǎn)化

一些目標(biāo)式子比較煩瑣，需要學(xué)生要觀察其特點(diǎn)，抓住關(guān)鍵式子進(jìn)行換元處理，這樣既能簡(jiǎn)化表達(dá)式，又能顯示其特點(diǎn).

例1已知P、Q、M、N四點(diǎn)都在橢圓x2+y22＝1上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點(diǎn)，已知PF與FQ共線，MF與FN共線，且PF·MF＝0，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.

解析：由PF·MF＝0知PQ⊥MN，則PQ與MN中至少有一條斜率存在，不妨設(shè)PQ的斜率為k，則PQ所在直線的方程為y＝kx+1，將此方程代入橢圓方程x2+y22＝1，消去y化簡(jiǎn)得（2+k2）x2+2kx-1＝0.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則有x1+x2＝-2k2+k2，x1x2＝-12+k2，

所以｜PQ｜＝1+k2·（x1+x2）2-4x1x2＝1+k2·-2k2+k22-4·-12+k2＝22（1+k2）2+k2.

（1）當(dāng)k≠0時(shí)，直線MN的斜率為-1k，將上式中的k換為-1k，則易得｜MN｜＝221+1k22+1k2，故四邊形面積S＝12｜PQ｜·｜MN｜＝42+k2+1k25+2k2+2k2，令u＝k2+1k2，則u≥2，且S＝21-15+2u，易知函數(shù)S是關(guān)于自變量u的遞增函數(shù)，當(dāng)k＝±1時(shí)，u＝2，S＝169，所以169≤S＜2.

（2）當(dāng)k＝0時(shí)，MN為橢圓的長(zhǎng)軸，則｜MN｜＝22，｜PQ｜＝2，此時(shí)S＝2.

綜合（1）（2）可知，四邊形PMQN面積最大值為2，最小值為169.

點(diǎn)評(píng)：在解決本題中面積關(guān)系中，通過(guò)引參換元，簡(jiǎn)化了目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)形式，顯露出目標(biāo)函數(shù)的特殊性質(zhì)，從而可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，這是成功解決函數(shù)最值的重要環(huán)節(jié).

例2已知過(guò)點(diǎn)（0，2）的直線l（直線l不與x軸垂直）與橢圓x22+y2＝1交于不同的兩點(diǎn)M、N，且O為坐標(biāo)原點(diǎn).求△MON的面積的最大值.

解析：因?yàn)橹本€l不與x軸垂直，則l的斜率k存在，所以直線l的方程為y＝kx+2，將此方程與橢圓方程x22+y2＝1聯(lián)立，消去y并整理得（2k2+1）·x2+8kx+6＝0.

又因?yàn)橹本€l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，則有Δ＝（8k）2-4·（2k2+1）·6＝16k2-24＞0，所以k2＞32，則有k＜-62或k＞62.設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），則有x1+x2＝-8k2k2+1，x1x2＝62k2+1，所以｜MN｜＝1+k2|x1-x2|＝1+k2·（x1+x2）2-4x1x2＝1+k2·-8k2k2+12-4·62k2+1＝1+k2·222k2-32k2+1.

原點(diǎn)O到直線l：kx-y+2＝0的距離d＝21+k2，所以△MON的面積S＝12|MN|·d＝ 12·1+k2·222k2-32k2+1·21+k2＝222k2-32k2+1，為了書寫方便，令t＝2k2-3，則2k2＝t2+3（t＞0），所以S＝22tt2+4＝22t+4t，由于t+4t≥4，當(dāng)且僅當(dāng)t＝4t，即t＝2時(shí)取等號(hào)，此時(shí)k2＝72，即k＝±142，符合前面的限制要求，從而有S≤224＝22，所以當(dāng)k＝±142時(shí)，△MON的面積的最大值為22.

點(diǎn)評(píng)：本題也是對(duì)三角形面積表達(dá)式進(jìn)行了換元處理，用一個(gè)新的參數(shù)替換了一個(gè)根式，成功地將原來(lái)的目標(biāo)函數(shù)式中的根號(hào)去掉，這是最常見(jiàn)的換元方法.在用基本不等式求最值時(shí)，還需注意等號(hào)成立的條件，也要符合根的判別式的限制條件.

5結(jié)語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)典型例題的分析求解，歸納了圓錐曲線中求有關(guān)的最大值與最小值的常用方法，同時(shí)展示了解決圓錐曲線問(wèn)題的破題思路，揭示了解決此類題的核心手段.在學(xué)習(xí)和研究具體問(wèn)題的求解時(shí)，學(xué)生要善于歸納方法，揭示解題規(guī)律，這樣就能提高學(xué)習(xí)效率，大幅度地提升分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.