巧借最值公理解決最值問題

摘要：最值問題是具有較強(qiáng)綜合性的一類問題，通常涉及代數(shù)計(jì)算，不等式或不等式組，方程或方程組，幾何計(jì)算和證明，函數(shù)單調(diào)性、對(duì)稱性等多種數(shù)學(xué)知識(shí).

本文運(yùn)用最值公理，并結(jié)合有關(guān)聯(lián)的數(shù)學(xué)知識(shí)或方法，優(yōu)化最值問題的解題過程，以使學(xué)生實(shí)現(xiàn)高效解題.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；最值問題；解題過程；優(yōu)化策略

最值問題作為初中數(shù)學(xué)較為常見的一類問題，是中考命題中的重難點(diǎn)與熱點(diǎn)，其涉及了廣泛的知識(shí)面，且知識(shí)與知識(shí)之間存在著密切的關(guān)聯(lián)，題型多種多樣，有著較強(qiáng)的靈活性，這就對(duì)學(xué)生的解題能力提出了較高的要求.因此，數(shù)學(xué)教師在具體教學(xué)時(shí)，需針對(duì)最值問題，設(shè)置一些微專題課程，以促使學(xué)生正確地認(rèn)識(shí)最值問題，并掌握最值問題的有效解決方法，積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，從而使學(xué)生解決最值綜合問題的能力得到有效提高.

1最值公理概述

平面幾何動(dòng)態(tài)類問題中，當(dāng)某個(gè)幾何元素給定相應(yīng)的條件變動(dòng)時(shí)，求取某個(gè)幾何量（圖形面積或周長、線段長度、角的度數(shù)等）的最大值或者最小值，則稱最值問題.［1］解決最值問題常用的幾個(gè)最值公理主要表現(xiàn)在以下方面.

第一，兩點(diǎn)之間線段最短.兩點(diǎn)之間線段最短的最值問題，可通過多種幾何變化，將其轉(zhuǎn)變成同類型的幾何問題，并巧用兩點(diǎn)之間線段最短的定理，求解出對(duì)應(yīng)的最值.［2］

第二，三角形三邊關(guān)系.

它是將“兩點(diǎn)之間的線段最短”作為基礎(chǔ)的最值問題，是通過三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行確定.

這類問題主要表現(xiàn)在以下類型：①是問題中給出了兩個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所形成的三角形三邊關(guān)系的最值；②是依據(jù)問題的背景，形成以“三角形的三邊關(guān)系”求取最值.［3］

第三，點(diǎn)到直線的距離最短.點(diǎn)到直線的距離最短是解決幾何模型最值問題常見的方式，這類問題通常難度比較小，但是題型相對(duì)新穎，主要是和圖形的翻折、運(yùn)動(dòng)以及相似三角形等知識(shí)有效結(jié)合，其解題的方法有效拓寬了最值問題的解題思路，優(yōu)化了最值問題的解決方法.［4］

第四，與圓的知識(shí)相關(guān)的最值問題.與圓相關(guān)的最值問題主要是讓學(xué)生立足幾何圖形，把握相應(yīng)的解題方法，解決相關(guān)的最值問題，以深刻感悟問題本質(zhì)，并積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)，從而有效提高學(xué)生分析、解決最值問題的能力.［5］

2巧借最值公理解決初中最值問題的策略

2.1巧借“兩點(diǎn)之間線段最短”，解決最值問題

例1如圖1所示，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點(diǎn)M位于△ABC的內(nèi)部，且AM平分∠BAC，點(diǎn)E和點(diǎn)M位于AC所在直線兩側(cè)，且AE⊥AB，AE＝BC，點(diǎn)N位于邊AC上，CN＝AM，連接BN、ME.

（1）求ME∶BN的值.

（2）猜想點(diǎn)M在何處BM＋BN取得最小值，并求解BM＋BN的最小值.

分析：（1）在解答本題時(shí)，可先猜測(cè)ME＝BN，以此證明△AME≌△CNB，并延長AM交BC于點(diǎn)D，依據(jù)AB＝AC，AM平分∠BAC，得出∠CAD＝∠BAD，AD⊥BC，再依據(jù)AE⊥AB，可得出∠MAE＋∠BAD＝90°，并得到

∠MAE＝∠ABC＝∠ACB，最后依據(jù)三角形全等得出結(jié)論.（2）依據(jù)（1）的結(jié)論，可將BM＋BN的最值轉(zhuǎn)變成BM＋ME的最值，此時(shí)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)之間線段最短，即當(dāng)

點(diǎn)B、M、E

位于相同直線上時(shí)，最值最小.

解析：（1）延長AM與BC相交于點(diǎn)D.∵AB＝AC，AM是∠BAC的平分線，

∴∠CAD＝∠BAD，

AD⊥BC.

∵AE⊥AB，∴∠MAE＋∠BAD＝90°.

∵AD⊥BC，∴∠C＋∠CAD＝90°，∴∠MAE＝∠C

.在△AME與△CNB中，AM＝CN，

∠MAE＝∠C，

AE＝BC，

∴△AME≌△CNB，∴ME＝BN，ME∶BN＝1.

（2）∵M(jìn)E＝BN，∴BM＋BN＝BM＋ME，

∴當(dāng)點(diǎn)M位于∠BAC平分線上時(shí)，其運(yùn)動(dòng)到AD與BE的相交點(diǎn)處，BM＋BN取得最小值.

∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴AE＝BC＝6，∴BE＝AE2+AB2＝62+52＝61，

∴BM＋BN的最小值是61.

例2如圖2所示，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，點(diǎn)E為AD上的一點(diǎn)，AE＝2，P、Q分別是AB、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，把△APE沿著線段PE翻折得到△FPE，連接FQ、QD，F(xiàn)Q＋QD的最小值是.

分析：通過對(duì)稱轉(zhuǎn)變，把FQ＋QD轉(zhuǎn)變成FQ＋QD′，這是解決最值問題最為常見的方法，本題當(dāng)中，需注意F點(diǎn)并非定點(diǎn)，所以在求解中，需把EF＋FQ＋QD′看作整體.

解析：作出點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D′，連接QD′、ED′，∴QD＝QD′.依據(jù)圖2可知，E、F、Q、D′四個(gè)點(diǎn)位于一條直線上時(shí)，EF＋FQ＋QD′的值是最小的.

∵EF＝AE＝2，QD＝QD′，∴在Rt△EDD′中，依據(jù)勾股定理，可知ED′＝10，即FQ＋QD的最小值為8.

2.2巧借“三角形三邊關(guān)系”，解決最值問題

例1如圖3所示，等邊三角形ABC中，AB＝4，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊BC上的一點(diǎn)，將△BDE沿著線段DE進(jìn)行折疊，得到△B′DE，連接CB′，那么，CB′的最小值是（）.

A. 23-2

B. 1

C. 3-1

D. 2

解析：連接CD，如圖4所示，△ABC為等邊三角形，D為AB邊上的中點(diǎn)，所以CD⊥AB.

∵△B′DE是將△BDE沿著線段DE進(jìn)行折疊得到的，

∴當(dāng)B′位于CD上時(shí)，CB′的長度是最小的.

∵AB＝4，∴DB′＝DB＝2.

∵CD⊥AB，等邊三角形ABC的各邊長是4，∴CD＝23，∴CB′≥CD－DB′＝23-2，即CB′的最小值是23-2，故選A.

例2如圖5所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD依據(jù)圖5的方式進(jìn)行放置，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)D隨之在y軸正半軸運(yùn)動(dòng)，但矩形ABCD形狀是不變的，且AB＝3，BC＝2，在實(shí)際運(yùn)動(dòng)中，點(diǎn)B和點(diǎn)O之間的最大值是.

分析：此類型題可利用三角形的三邊關(guān)系解決最值問題，其圖形較為簡(jiǎn)潔，且難度也比較小，因此，在解例2時(shí)，可取線段AD的中點(diǎn)E，連接OE、BE，即OE＝1，BE＝2，且在運(yùn)動(dòng)過程中均保持不變，則能求得OB的最大值.

解析：取線段AD的中點(diǎn)E，連接OE、BE.

∵E是線段AD的中點(diǎn)，∴AE＝ED.∵

四邊形ABCD是矩形，BC＝AD＝2，AB＝3，∴OE＝1，BE＝2.

∵整個(gè)運(yùn)動(dòng)中，線段的長度是保持不變的，且OB≤OE＋EB，∴OB的最大值是3.

2.3巧借“點(diǎn)到直線距離最短”，解決最值問題

例題如圖6所示，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)F位于邊AC上，且CF＝2，點(diǎn)E是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△CEF沿著線段EF進(jìn)行翻折，點(diǎn)C落于P點(diǎn)處，那么點(diǎn)P到邊AB距離的最小值為.

分析：延長FP與線段AB相交于點(diǎn)M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小，通過△AFM∽△ABC，可得出AFAB＝FMBC，即可求解出FM，從而解決本題.

解析：如圖7所示，延長FP與線段AB相交于點(diǎn)M，當(dāng)FP⊥AB時(shí)，點(diǎn)P到AB的距離最小.∵∠A＝∠A，∠AMF＝∠C＝90°，∴△AFM∽△ABC，∴AFAB＝FMBC.

∵CF＝2，AC＝6，BC＝8，∴AF＝4，AB＝AC2+BC2＝10，∴410＝FM8，即FM＝3.2.

∵PF＝CF＝2，∴PM＝1.2.因此，點(diǎn)P到邊AB距離的最小值為1.2.

2.4巧借“圓”，解決最值問題

例題如圖8所示，AC＝1，∠BAC＝60°，弧BC所對(duì)的圓心角為60°，且AC⊥弦BC，若點(diǎn)P在弧BC上，點(diǎn)E、F分別在AB、AC上，那么PE＋EF＋FP的最小值是.

分析：連接點(diǎn)P、O、A，得線段AP、OP、OA，分別將AB、AC作為對(duì)稱軸，作點(diǎn)P關(guān)于直線AB對(duì)稱的點(diǎn)M，P關(guān)于直線AC對(duì)稱的點(diǎn)N，連接MN，與AB相交于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，連接PE、PF，得AM＝AP＝AN，設(shè)AP＝r，可求得MN＝3r，即PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋FN＝MN＝3r，也就是當(dāng)AP最小時(shí)，PE＋EF＋PF可得最小值.

解析：連接點(diǎn)P、O、A，得線段AP、OP、OA，分別以直線AB、AC作為對(duì)稱軸，作出點(diǎn)P關(guān)于直線AB對(duì)稱的點(diǎn)M，P關(guān)于直線AC對(duì)稱的點(diǎn)N，連接MN，與AB相交于點(diǎn)E，與AC相交于點(diǎn)F，連接PE、PF（如圖9），∴AM＝AP＝AN.

∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，

∠BAC＝∠PAB＋∠PAC＝∠MAB＋∠NAC＝60°，∴∠MAN＝120°，∴M、P、N在將A作為圓心，AP為半徑的圓上.設(shè)AP＝r，可

得MN＝3r.∵PE＝ME，PF＝FN，∴PE＋EF＋PF＝ME＋EF＋FN＝MN＝3r，

∴當(dāng)AP最小時(shí)，PE＋EF＋PF可取得最小值.

∵AP＋OP≥OA，∴AP≥OA-OP，即點(diǎn)P在OA上時(shí)，AP可取得最小值.

在Rt△ABC中，∵AC＝1，∠BAC＝60°，∴BC＝3.

∵∠BOC＝60°，OB＝OC，∴△OBC是等邊三角形，∴OC＝BC＝3.作OH⊥AC與AC相交在延長線的點(diǎn)H，在Rt△OCH中，∵OC＝3，∠OCH＝30°，∴OH＝12OC＝32，CH＝3OH＝32.

在Rt△AOH中，AO＝AH2+OH2＝522+322＝7，即AP＝r≥7－3，∴PE＋EF＋PF的最小值為21-3.

3結(jié)語

在初中數(shù)學(xué)的最值問題解決中，教師需引導(dǎo)學(xué)生深層次思考問題中的內(nèi)在邏輯，并注重問題之間的轉(zhuǎn)化，以找出相應(yīng)的解題技巧與方法，實(shí)現(xiàn)解題效率的提高.因此，數(shù)學(xué)教師在日常的最值問題解題教學(xué)中，需注重觀察和總結(jié)，幫助學(xué)生掌握最值問題存在的解題規(guī)律，從而使學(xué)生的解題速度以及解題能力得到有效提高.

參考文獻(xiàn)

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