基于數(shù)形結(jié)合思想的高中數(shù)學(xué)解題探索

摘要：數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的轉(zhuǎn)化思想，它通過以數(shù)解形或以形助數(shù)，幫助學(xué)生靈活解答數(shù)學(xué)問題，認(rèn)清數(shù)學(xué)課程實質(zhì)，體會數(shù)學(xué)課程理念.學(xué)生靈活運用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學(xué)問題，提高學(xué)習(xí)效率，需要教師在數(shù)學(xué)問題中逐漸滲透數(shù)形結(jié)合思想方法，使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用技巧，真正認(rèn)識“數(shù)”與“形”的關(guān)系，以正確解題，高效學(xué)習(xí).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；主題單元教學(xué)

數(shù)形結(jié)合是指通過代數(shù)和圖象相互滲透和輔助，解決代數(shù)問題或者圖形問題.數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中具有悠久的歷史，我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》就有關(guān)于“數(shù)”“形”相融合的思想.目前數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，主要在空間立體幾何或空間平面幾何的位置證明或計算，以及平面向量和空間向量計算的應(yīng)用.高考數(shù)學(xué)卷中關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用考查屢見不鮮，教師要注重鍛煉學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用能力，提高學(xué)生解題效率，發(fā)展學(xué)生解題思維，幫助學(xué)生適應(yīng)新高考.

本文旨在通過數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，講解數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用方法和技巧.

1數(shù)形結(jié)合的重要作用

代數(shù)關(guān)系通常表示為數(shù)與數(shù)、數(shù)與算式、數(shù)與方程、方程與方程之間的關(guān)系，主要運用數(shù)進行表示或表達(dá).圖象關(guān)系通常表示為點、線、面之間的位置關(guān)系，主要運用形進行表示或表達(dá).數(shù)形結(jié)合就是將數(shù)與形進行組合，用以解決數(shù)或形的問題.數(shù)形結(jié)合不僅是一種解題方法，更是一種思維轉(zhuǎn)換方式，通過從不同角度審視問題，從而得出解決問題的思路或方法，實現(xiàn)解決問題的目標(biāo).［1］在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有效運用數(shù)形結(jié)合思想方法，可以幫助學(xué)生理解數(shù)和形的關(guān)系，掌握數(shù)學(xué)知識規(guī)律和內(nèi)在關(guān)聯(lián)，提高學(xué)習(xí)效率和解題效率.數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念，加深對數(shù)學(xué)性質(zhì)和理念的理解.同時，數(shù)形結(jié)合思想可以鍛煉學(xué)生的思維能力，使學(xué)生在學(xué)習(xí)和生活中學(xué)會運用轉(zhuǎn)換思想解決問題，從而發(fā)展學(xué)生解決問題的能力.高考和數(shù)學(xué)競賽中經(jīng)常運用數(shù)形結(jié)合思想，旨在考查學(xué)生對數(shù)形結(jié)合思想的掌握和運用，以及轉(zhuǎn)化和計算能力.

高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)滲透數(shù)形結(jié)合思想.教師通過引導(dǎo)學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)，可以加深學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識；通過引導(dǎo)學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想探究數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題，加強學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，提高學(xué)習(xí)效率.［2］

同時，數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，有助于鍛煉學(xué)生的思維能力，加強學(xué)生的轉(zhuǎn)化意識，從而發(fā)展學(xué)生的學(xué)習(xí)思維和學(xué)習(xí)能力.

雖然高中數(shù)學(xué)知識具有抽象性、復(fù)雜性，綜合難度較大，但是學(xué)生沒有學(xué)透、學(xué)會數(shù)學(xué)知識的根本原因是沒有理解數(shù)學(xué)的基本概念，不能靈活運用數(shù)學(xué)思想和方法.

特別是幾何圖形模塊，有難度且抽象，大部分學(xué)生都難以理解相關(guān)概念、性質(zhì)，但數(shù)形結(jié)合思想在空間幾何圖形的應(yīng)用，可以幫助學(xué)生解決圖形位置關(guān)系問題.

數(shù)形結(jié)合思想作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的重要思想方法，貫穿整個高中數(shù)學(xué)課程.隨著課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂，新教材更為注重數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.數(shù)形結(jié)合思想方法的應(yīng)用或滲透，可以解決數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)與形分離的問題.［3］

通過代數(shù)與幾何圖形的完美結(jié)合，詮釋數(shù)學(xué)課程性質(zhì)和理念，直觀地呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識，有助于加強學(xué)生對數(shù)學(xué)知識理解，提升思維能力和解決問題能力，對學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展和學(xué)業(yè)水平提升起到重要作用.

2數(shù)形結(jié)合的常見題型

2.1以數(shù)助形

以數(shù)助形是指利用數(shù)量關(guān)系表示幾何圖形位置關(guān)系，如運用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問題，運用三角函數(shù)解決三角形問題等.

2.1.1利用坐標(biāo)法解決幾何問題

運用坐標(biāo)法解決幾何圖形問題，是指將直角坐標(biāo)系、數(shù)、運算法則進行融合，通過代數(shù)計算的方式解決結(jié)合圖形的位置關(guān)系，實現(xiàn)直觀化研究幾何

問題.運用坐標(biāo)法解決幾何圖形問題主要步驟如下：

①根據(jù)幾何圖形的各個條件，在幾何圖形上建立直角坐標(biāo)系，直角坐標(biāo)系的建立以簡單為基準(zhǔn)；

②運用數(shù)、算式、方程、公式等元素表示幾何圖形；

③通過代數(shù)推理和計算，解決幾何圖形的位置關(guān)系問題；

④運用代數(shù)關(guān)系解釋幾何圖形的位置關(guān)系，從而實現(xiàn)解決圖形問題的目標(biāo).高中幾何圖形模塊知識主要包括空間立體幾何和解析幾何兩部分，雖然坐標(biāo)系能夠解決幾何圖形問題，但是如何在幾何圖形中建立直角坐標(biāo)系和標(biāo)注坐標(biāo)點仍然是重點和難點.

例1如圖1所示，在OBCAD五面體中，四邊形BDAC為等腰梯形，BD∥CA，BC＝AC＝12BD，平面OBC⊥平面OBD，OB⊥OD.

（1）求證：平面OBC⊥平面ODA.

（2）若二面角O-BD-C 的余弦值為33，求直線OC與平面ODA所成角的大小.

（1）證明：因為平面OBC⊥平面OBD，平面OBC∩平面OBD＝OB，OB⊥OD，OD平面OBD，所以O(shè)D⊥平面OBC.又因為OD平面ODA，所以平面OBC⊥平面ODA.

（2）解析：如圖2所示，過點C作CQ⊥OB于Q，CW⊥BD于W，連接WQ.

因為平面OBC⊥平面OBD，平面OBC∩平面OBD＝OB，CQ⊥OB，CQ平面OBC，所以CQ⊥平面OBD.又BD平面OBD，所以CQ⊥BD.

又CW⊥BD，且CW∩CQ＝C，CW、CQ平面CWQ，所以BD⊥平面CQW.因為QW平面CQW，所以BD⊥WQ，則∠CWQ為二面角O-BD-C的角.不妨設(shè)BD＝4，則BC＝AC＝AD＝2，且BW＝1，WC＝3.因為cos∠CWQ＝33，所以WQ＝1，所以∠DBO＝π4.

過點W作WZ⊥平面OBD，以WB，WQ，WZ分別為x軸、y軸、z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則C（0，1，2），O（-1，2，0），D（-3，0，0），A（-2，1，2），

所以O(shè)C＝（1，-1，2）， DO＝（2，2，0），AO＝（1，1，-2）.

設(shè)平面ODA的法向量為n＝（x，y，z），則n·DO＝2x+2y＝0，

n·AO＝x+y-2 z＝0.

令x＝1，則y＝-1，z＝0，所以n＝（1，-1，0）.

設(shè)直線OC與平面ODA所成角為θ，則sinθ＝n·OC ｜n｜｜OC｜＝21+1×1+1+2＝22，所以θ＝π4，所以直線OC與平面ODA所成角的大小為π4.

解讀：空間立體幾何中諸多位置關(guān)系具有隱藏性，在空間立體圖形中畫出空間直角坐標(biāo)系，利用代數(shù)的方法解決空間幾何圖形問題較為簡單，可以簡化空間幾何圖形證明步驟.求解例1的第2問的關(guān)鍵是運用二面角O-BD-C的余弦值為33，以及WB＝WQ＝1，得∠DBO＝π4.空間立體幾何中只能觀

察和求解圖形的位置關(guān)系，難以觀察和求解圖形的數(shù)量關(guān)系，將代數(shù)計算方法運用到空間幾何圖形的位置關(guān)系求解當(dāng)中，充分體現(xiàn)“數(shù)”在圖形位置關(guān)系求解中的輔助作用，即數(shù)形結(jié)合.［4］

2.1.2利用三角函數(shù)解決幾何問題

例2如圖3所示，Q是兩個同心圓圓心，半徑分別為1cm和2cm，等腰三角形CAB中，點C在外圓上，點A和B在內(nèi)圓上.AB與弧AB所圍成的弓形面積為S1，三角形AQC與三角形BQC的面積和為S2，∠AQB＝2α.求當(dāng)S2-S1為最大值時，cosα＝（）.

A. -1+52

B. 52-1

C. 12

D. 22

解析：由題可知，∠AQB＝2α∈（0，π），則α∈0，π2.S△AQB ＝12×QA×QB×sin2α＝12sin2α，S△ABC ＝12×AB×（2+QA×cosα）＝12×2sinα×QA×（2+QA×cosα）＝2sinα+sinαcosα.設(shè)劣弧AB所對扇形面積為S3，則S3＝12×2α×QA×QA＝α，故S1＝S3-S△AQB ＝α-12sin2α.S2＝S△CBA- S△AQB ＝2sinα+sinαcosα-12sin2α＝2×

sinα，則S2-S1＝2sinα+12sin2α-α，α∈0，π2.

令f（α）＝2sinα+12sin2α-α，α∈0，π2，則f′（α）＝2cosα2+2cosα-2.

令f′（α）＝0，得cosα＝-1+52或cosα＝-1-52（舍去）.記cosα0＝-1+52，α0∈0，π2.

當(dāng)θ∈（0，α0）時，f′（α）＞0，函數(shù)f（α）單調(diào)遞增；當(dāng)θ∈α0，π2時，f′（α）＜0，函數(shù)f（α）單調(diào)遞減，故當(dāng)α＝α0，即cosα＝-1+52時，f（α）取得最大值，即S2-S1取得最大值.故選A.

解讀：三角函數(shù)可以解決三角形相關(guān)問題，本題旨在運用三角函數(shù)描述三角形的幾何特征，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，解決該問題.

2.1.3利用向量法解決幾何問題

例3三角形EFG中，角E、F、G的對應(yīng)邊為e、f、g，已知2e-f2＝cosFcosG，g＝2.

（1）求角G.

（2）若H為EF的中點，求GH的最大值.

解析：（1）根據(jù)題意可知，2e-f2＝cosFcosG，對已知條件進行轉(zhuǎn)變，得到（2e-f）cosG＝2cosF.

∵g＝2，∴（2e-f）cosG＝2cosF＝gcosF.

根據(jù)正弦定理，得fsinF＝esinE＝gsinG，

∴（2e-f）cosG＝

gcosF轉(zhuǎn)化為（2sinE-sinF）×cosG＝sinGcosF，得出2sinEcosG＝sinFcosG+sinGcosF＝sin（F+G）＝sinE.

∵0＜E＜π，∴sinE≠0，2cosG＝1，cosG＝12.

∵0＜G＜π，∴G＝π3.

（2）∵H為EF中點，∴GH＝12（GE+GF）.

∵GH2＝14（GE+GF）2＝14（GE2+GF2+2GE·GF）＝e2+f2+ef4，

∵cosπ3＝e2+f2-g22ef＝e2+f2-42ef，∴e2+f2＝4+ef，

GH2＝4+2ef4.

∵e2+f2＝4+ef≥2ef，∴ef≤4，則GH的最大值為3.

解讀：由于向量有方向和大小，可以作為數(shù)和形相互轉(zhuǎn)換的媒介，所以利用向量代表數(shù)和形相互轉(zhuǎn)化的工具，用以解決空間幾何問題，利用代數(shù)解決空間幾何問題叫作以數(shù)助形.雖然利用數(shù)可以解決幾何圖形問題，但是數(shù)學(xué)高考中也會考查純幾何問題，所以教師還要注重純幾何圖形知識講解，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何圖形元素含義，利用純幾何圖形知識解決圖形的位置關(guān)系，促進學(xué)生整體掌握數(shù)學(xué)知識.

2.2以形助數(shù)

以形助數(shù)是指從幾何圖形視角解決數(shù)學(xué)問題.代數(shù)問題存在隱含關(guān)系，難以直觀找出代數(shù)關(guān)系.通過觀察圖形可以找出代數(shù)的隱含關(guān)系，從而確定解決代數(shù)問題的思路和方法.

2.2.1

利用函數(shù)圖象解決問題

例1已知函數(shù)g（x）＝（a+1）x2+（a+2）x·lnx+ln2x有3個不同的零點，求實數(shù)a的取值范圍.

解析：g（x）＝（a+1）x2+（a+2）xlnx+ln2x＝（x+lnx）（ax+x+lnx），函數(shù)有3個不同的零點，令f（x）＝0，

則x+lnx＝0，ax+x+lnx＝0.

令函數(shù)z（x）＝x+lnx，當(dāng)x∈（0，+∞）時，z（x）單調(diào)遞增，且z（1）＝1＞0，z1e＝1e-1＜0，存在x1∈1e，1，使z（x1）＝0，即g（x1）＝0.

∵ax+x+lnx＝0，∴-a-1＝lnxx.

由題可知，直線y＝-a-1與w（x）＝lnxx有兩個交點.

∵w′（x）＝1-lnxx2，令w′（x）＝0，則x＝e，

∴當(dāng)0＜x＜e時，w′（x）＞0，w（x）單調(diào)遞增；當(dāng)e＜x＜+∞時，w′（x）＜0，w（x）單調(diào)遞減，∴w（x）max＝1e.

圖4為函數(shù)w（x）＝lnxx的圖象，要使直線y＝－a－1與w（x）＝lnxx有兩個交點，則0＜-a-1＜1e，即-1e-1＜a＜-1，所以a∈-1e-1，-1.

解讀：零點問題是高考數(shù)學(xué)的重要考點之一，一般在函數(shù)、導(dǎo)數(shù)中出現(xiàn).要求解或判斷函數(shù)的零點，就需要對函數(shù)進行分情況討論，所以零點問題具有一定難度.零點問題通常不會直接考核，

而是通過轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖形與x軸的交點問題，先利用函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)知識判斷零點個數(shù)，再畫出圖象表示零點個數(shù).畫圖法能夠解決代數(shù)問題，但是對于高精準(zhǔn)的數(shù)學(xué)問題，如果圖形出現(xiàn)錯誤，容易導(dǎo)致解題錯誤，所以需要學(xué)生在平時訓(xùn)練過程中，注重畫圖技巧培養(yǎng).

2.2.2利用幾何圖形

解決問題

例2B為橢圓x2a2+y2b2＝1（a＞b＞0）上的點，BD為∠F1BF2的外角平分線，F(xiàn)2C⊥BD于點C，則點C的軌跡為（）.

A. 雙曲線

B. 拋物線

C. 橢圓

D. 圓

解析：延長F2C交F1B于點A，如圖5所示.

∵BD平分∠F2BA，

∴∠F2BC＝∠ABC，|BC|＝|BC|，∠BCF2＝∠BCA.

∴△BCF2≌△BCA，∴|BF2|＝|BA|，|CF2|＝|CA|.

∴點C為AF2的中點.

∵O為F1F2的中點，

∴｜OC｜＝12｜AF1｜＝12（｜BF1｜+｜BA｜）＝12（｜BF1｜+｜BF2｜）＝a，

∴點C的軌跡是圓.

故選D.

解讀：延長F2C交F1B于點A，則|BA|＝|F2B|，|F1A|＝2a，根據(jù)中位線性質(zhì)即可得出結(jié)論，該題為典型的以形助數(shù)數(shù)學(xué)題.

3結(jié)語

數(shù)學(xué)課程教學(xué)不只是講解教材，而應(yīng)當(dāng)通過運用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法和教學(xué)方式，構(gòu)建適合學(xué)生學(xué)習(xí)和發(fā)展的教學(xué)課堂，引導(dǎo)學(xué)生通過參與式學(xué)習(xí)，探究數(shù)學(xué)知識本質(zhì)，理解數(shù)學(xué)知識內(nèi)在規(guī)律和實質(zhì).

目前高中數(shù)學(xué)課程教學(xué)緊密圍繞課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合學(xué)生實際情況開展教學(xué)活動，旨在改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式，注重改變學(xué)生學(xué)習(xí)思維、方法、技巧，使學(xué)生能夠靈活多變的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題.數(shù)形結(jié)合通過“數(shù)”“形”相互轉(zhuǎn)化的方式解決數(shù)學(xué)問題和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識.數(shù)形結(jié)合可以幫助教師構(gòu)建高效教學(xué)課堂，調(diào)動學(xué)生主觀能動性，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生高效學(xué)習(xí).

參考文獻

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