挖掘問(wèn)題內(nèi)涵，發(fā)散思維應(yīng)用

摘要：涉及雙變?cè)鷶?shù)式的最值或取值范圍問(wèn)題，是高考數(shù)學(xué)命題中比較常見(jiàn)的一類基本考查題型，能夠有效考查考生的“四基”與“四能”，具有較高的區(qū)分度與選拔性.

本文借助一道模擬題中雙變?cè)钪档脑O(shè)置，從平面解析幾何思維、函數(shù)與方程思維、三角函數(shù)思維等視角切入來(lái)分析，剖析解題的技巧方法，以期全面發(fā)散學(xué)生數(shù)學(xué)思維，引領(lǐng)并指導(dǎo)數(shù)學(xué)教學(xué)與解題研究.

關(guān)鍵詞：最值問(wèn)題；發(fā)散思維；解題技巧

涉及雙變?cè)鷶?shù)式的最值或取值范圍的問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，難度較大，對(duì)學(xué)生能力要求高，成為高考數(shù)學(xué)試卷中一類比較重要的綜合應(yīng)用題.

正確把握問(wèn)題的切入思維，掌握解決問(wèn)題的技巧方法成為解決此類“雙變?cè)被颉半p參”綜合問(wèn)題的基本技能之一.

1問(wèn)題呈現(xiàn)

問(wèn)題設(shè)正實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y＝1，則x+x2+y2的最小值為（）.

A. 45

B. 25

C. 1

D. 1+23

此題以雙變?cè)鶟M足的代數(shù)式為條件來(lái)創(chuàng)設(shè)場(chǎng)景，結(jié)合雙變?cè)P(guān)系式的取值情況作出一個(gè)正確的分析與判斷，確定對(duì)應(yīng)關(guān)系式的最小值的取值情況.

解決此類問(wèn)題，最為基本的方式是回歸平面解析幾何本質(zhì)，通過(guò)幾何意義來(lái)分析與處理.依托代數(shù)式的本質(zhì)，利用函數(shù)與方程思維來(lái)處理，是處理此類問(wèn)題的“通性通法”，這往往離不開函數(shù)與方程、不等式等相關(guān)知識(shí).抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理進(jìn)行換元處理，特別是三角換元法的運(yùn)用，是解決此類問(wèn)題的“巧技妙法”之一.

2問(wèn)題破解

2.1平面解析幾何思維

方法：幾何意義法.

依題，由正實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y＝1，知x+x2+y2的幾何意義為直線2x+y＝1在第一象限的點(diǎn)P（x，y）到y(tǒng)軸的距離d與到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離|OP|的和的最值

問(wèn)題.

設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)關(guān)于直線2x+y＝1的對(duì)稱點(diǎn)為M（a，b），則有ba＝12，

2×a2+b2＝1，解得a＝45，

b＝25，即M45，25.

如圖1所示，由對(duì)稱性可得|OP|＝|PM|，所以x+x2+y2的幾何意義為|PM|+d，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)PM⊥y軸時(shí)，該代數(shù)式的取值為最小值，即當(dāng)且僅當(dāng)x＝310，y＝25時(shí)，x+x2+y2取得最小值45，故選擇A.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)中雙變?cè)鷶?shù)式的結(jié)構(gòu)特征與形式關(guān)系，挖掘代數(shù)式的幾何意義，回歸平面解析幾何本質(zhì)來(lái)分析與處理，是解決此類問(wèn)題

的一種基本方法.

2.2函數(shù)與方程思維

方法1：判別式法1.

依題，由正實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y＝1，可得y＝1－2x.

設(shè)t＝x+x2+y2＞0，則有t＝x+x2+（1-2x）2＝x+5x2-4x+1，即5x2-4x+1＝t－x.

兩邊平方并整理可得4x2+2（t－2）x+1－t2＝0，根據(jù)題設(shè)知關(guān)于變量t的二次方程有實(shí)根，則有判別式Δ＝4（t－2）2－16（1－t2）≥0，整理有5t2－4t≥0，解得t≥45或t≤0（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)x＝310，y＝25時(shí)，等號(hào)成立，

所以x+x2+y2的最小值為45，故選擇A.

方法2：判別式法2.

依題，由正實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y＝1，由于x＞0，則x+x2+y2＝x+x2+y22x+y＝1+1+y2x22+yx，令t＝y(tǒng)x＞0，設(shè)s＝1+1+t22+t，t＞0.

恒等變形并整理可得（s2－1）t2+（4s2－2s）t+（4s2－4s）＝0，根據(jù)題設(shè)知關(guān)于變量t的二次方程有實(shí)根，則有判別式Δ＝（4s2－2s）2－4（s2－1）（4s2－4s）≥0，整理并解得s≥45或s≤0（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)x＝310，y＝25時(shí)，等號(hào)成立，所以x+x2+y2的最小值為45，故選擇A.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)中雙變?cè)鷶?shù)式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合所求代數(shù)式的形式進(jìn)行合理

換元處理，利用

消元思維并結(jié)合代數(shù)式的恒等變形與轉(zhuǎn)化，合理構(gòu)建關(guān)于相應(yīng)變量的二次方程，為進(jìn)一步利用方程的判別式法處理提供條件.判別式法處理一些代數(shù)式的最值或取值范圍

問(wèn)題時(shí)，整體思維與消參思維是解題的

關(guān)鍵步驟，通過(guò)方程有實(shí)根的信息來(lái)合理構(gòu)建判別式，給問(wèn)題的轉(zhuǎn)化與解決創(chuàng)造條件.

方法3：導(dǎo)數(shù)法.

依題，由正實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y＝1，由于x＞0，x+x2+y2＝x+x2+y22x+y＝1+1+y2x22+yx，令t＝y(tǒng)x＞0，則有函數(shù)s（t）＝1+1+t22+t，t＞0.

求導(dǎo)可得s′（t）＝2t-1-1+t21+t2（2+t）2，令s′（t）＝0，解得t＝43，所以當(dāng)t∈0，43時(shí)，s′（t）＜0，函數(shù)s（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t∈43，+∞時(shí)，s′（t）＞0，函數(shù)s（t）單調(diào)遞增，所以s（t）min＝s43＝45，即x+x2+y2的最小值為45，故選擇A.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)中雙變?cè)鷶?shù)式的巧妙轉(zhuǎn)化，構(gòu)建所要求解的代數(shù)式所對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，回歸函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本質(zhì)，利用函數(shù)的構(gòu)建，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，并結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷

函數(shù)的極值或最值，是處理此類綜合問(wèn)題中的一種“通性通法”.

2.3三角函數(shù)思維

方法：三角換元法.

依題，設(shè)x＝rcosθ，y＝rsinθ，其中r＞0，θ∈0，π2.

由正實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y＝1，代入可得r（2cosθ+sinθ）＝1，即r＝12cosθ+sinθ.

設(shè)t＝x+x2+y2≥0，則有t＝r（cosθ+1）＝1+cosθ2cosθ+sinθ，整理可得1＝tsinθ+（2t－1）cosθ.

結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式，可得tsinθ+（2t－1）cosθ＝t2+（2t-1）2sin（θ+φ）≤t2+（2t-1）2，其中tanφ＝2t-1t.

1≤t2+（2t-1）2，兩邊平方并整理可得5t2－4t≥0，解得t≥45或t≤0（舍去），當(dāng)且僅當(dāng)x＝310，y＝25時(shí)，等號(hào)成立，所以x+x2+y2的最小值為45，故選擇A.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)中雙變?cè)鷶?shù)式的結(jié)構(gòu)特征，合理進(jìn)行三角換元處理，將相應(yīng)的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題來(lái)

處理，也是解決此類復(fù)雜代數(shù)式的最值

或取值范圍

問(wèn)題中比較常用的一種技巧方法.三角換元法就是借助三角換元進(jìn)行代換處理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題，結(jié)合三角函數(shù)中的基本公式與基礎(chǔ)知識(shí)來(lái)分析與求解，往往需要結(jié)合輔助角公式的變形、三角函數(shù)有界性的放縮等知識(shí)點(diǎn).

3變式拓展

變式設(shè)正實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y＝1，則（）.

A. xy的最大值為18

B. 2x+1y的最小值為9

C. 4x2+y2的最小值為1

D. 2x+y的最大值為2

解析：依題，正實(shí)數(shù)x、y滿足2x+y＝1，利用基本不等式，可得1＝2x+y≥22xy，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)，即x＝14，y＝12時(shí)，等號(hào)成立，解得xy≤18，即xy的最大值為18，故選項(xiàng)A正確.

利用基本不等式，可得2x+1y＝4x+2yx+2x+yy＝5+2yx+2xy≥5+22yx×2xy＝9，當(dāng)且僅當(dāng)2yx＝2xy，即x＝y(tǒng)＝13時(shí)，等號(hào)成立，即2x+1y的最小值為9，故選項(xiàng)B正確.

利用基本不等式，可得4x2+y2≥2×2x+y22＝12，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)，即x＝14，y＝12時(shí)，等號(hào)成立，即4x2+y2的最小值為12，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

利用基本不等式，可得2x+y22≤2x+y2＝12，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)，即2x＝y(tǒng)，亦即x＝14，y＝12時(shí)，等號(hào)成立，解得2x+y≤2，即2x+y的最大值為2，故選項(xiàng)D正確.

綜上分析，答案為ABD.

4教學(xué)啟示

涉及“雙變?cè)被颉半p參”的代數(shù)式的最值

或取值范圍

問(wèn)題，問(wèn)題的設(shè)置形式多樣，聯(lián)系的知識(shí)面廣，數(shù)學(xué)思維的層面可以從代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征與形式

入手，或回歸平面解析幾何，或聯(lián)系函數(shù)與方程，抑或借助三角函數(shù)轉(zhuǎn)化等，再

結(jié)合消元、換元、齊次化以及同構(gòu)等方式進(jìn)行

切入，綜合利用基本不等式、函數(shù)與方程、三角函數(shù)、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等來(lái)放縮與變形，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的交匯、方法的融合，成為高考命題考查的一個(gè)基本方向與趨勢(shì).

此類涉及“雙變?cè)被颉半p參”的代數(shù)式的最值或取值范圍

問(wèn)題，可以很好地融合平面解析幾何、函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，其知識(shí)融合度高，能力交匯度強(qiáng)，難度往往都比較大，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維要求高

.這類題基于數(shù)學(xué)“四基”的有效落實(shí)，能夠很好地考查學(xué)生的“四能”情況，給學(xué)生提供更多的機(jī)會(huì)與展示空間，有利于學(xué)生的選拔與區(qū)分，以及培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性與開拓性，全面開拓學(xué)生的視野，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力與數(shù)學(xué)品質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng).