類比與歸納：代數(shù)教學(xué)的主線

摘要：邏輯推理涉及歸納、類比推理和演繹推理.代數(shù)和幾何問題的解決都需要歸納、類比和演繹推理，代數(shù)教學(xué)的主線是歸納與類比，幾何教學(xué)的主線是演繹.本文以《冪的運算性質(zhì)》單元教學(xué)為例，詳細闡述歸納與類比推理在其中是如何發(fā)揮主線作用的.

關(guān)鍵詞：歸納；類比；代數(shù)教學(xué)；冪的運算性質(zhì)

數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動是一個不斷通過合情推理提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論、探索證明思路，通過演繹推理作出證明的過程，合情推理和演繹推理相輔相成，共同推動數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動的順利發(fā)展.本文以《冪的運算性質(zhì)》單元教學(xué)為例，談?wù)勅绾我詺w納與類比為主線進行課堂教學(xué)設(shè)計.

1《冪的運算性質(zhì)》單元教學(xué)流程

1.1溫故知新，抽象出相同因數(shù)的乘法的結(jié)構(gòu)特征

問題能不能用更簡潔的方法表示出算式2×2×2×2？把2換成a呢？

生：24，a4.

追問1在24后面再乘3次2，你會如何計算？還有其他方法計算嗎？

生：24×2×2×2，24×23.

追問2在a4后面再乘3次a，你又會如何計算？還有其他方法計算嗎？

生：a4×a×a×a，a4×a3.

追問3仔細觀察上面兩個算式有什么共同特征？

生：底數(shù)相同，指數(shù)相加.

【設(shè)計意圖】（1）引導(dǎo)學(xué)生回顧乘方的意義，并通過有步驟、有依據(jù)的計算，為探索同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)做好知識和方法的鋪墊.（2）底數(shù)從數(shù)字2變?yōu)樽帜竌，讓學(xué)生感悟數(shù)式通性，感悟由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想方法.（3）發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

1.2類比學(xué)習(xí)，歸納猜想同底數(shù)冪的乘法的運算性質(zhì)

問題類比從24×23到a4×a3的一般化進程，進一步一般化，我們將研究怎樣的算式？

師：既然可以把底數(shù)由數(shù)字一般化為代表數(shù)字的字母，那么指數(shù)也可以由數(shù)字一般化為字母，我們將研究算式am·an（m，n都是正整數(shù)）.

追問1am和an分別表示什么意義？

生：m個a相乘，n個a相乘.

追問2你能猜想出am·an的結(jié)果嗎？說說你是怎么想的？

生：am·an＝am＋n（m，n都是正整數(shù)）.

追問3你能用文字語言描述這個算式的關(guān)鍵特征嗎？

生：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.

追問4你會證明這一歸納猜想嗎？

學(xué)生探索和討論，學(xué)生板演或教師板書證明過程.

追問5更一般地，如果多個同底數(shù)冪相乘，即am·an·ak（m，n，k都是正整數(shù)），結(jié)果會怎樣？

生：am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數(shù)）.

【設(shè)計意圖】（1）讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、比較、抽象的過程，概括得出同底數(shù)冪的乘法運算的本質(zhì)特征，并歸納猜想出其運算性質(zhì)，即am·an＝am＋n，體現(xiàn)歸納的思想.（2）引導(dǎo)學(xué)生用文字語言描述同底數(shù)冪的乘法的運算性質(zhì)的關(guān)鍵特征，從而培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.（3）引導(dǎo)學(xué)生認識到歸納猜想得出的結(jié)論，須通過嚴格的演繹推理加以論證，從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力.（4）學(xué)生進一步感悟數(shù)式通性和不斷推進的一般化（先是底數(shù)的一般化，然后是指數(shù)的一般化，最后是同底數(shù)冪個數(shù)的一般化）的數(shù)學(xué)思想方法.（5）發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

1.3拓展延伸，類比得出冪的乘方的運算性質(zhì)

問題將算式am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數(shù)）中的n，k都換成m，得到怎樣的算式？

生：（am）3＝a3m（m是正整數(shù)）.

追問1類比前面經(jīng)歷兩次一般化得到性質(zhì)am·an＝am＋n（m，n都是正整數(shù)）的推進歷程，你能將算式（am）3＝a3m（m是正整數(shù)）進一步一般化嗎？

生：（am）n＝（an）m（m，n是正整數(shù)）.

追問2你能用文字語言描述這個一般化后算式的關(guān)鍵特征嗎？

生：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

追問3怎樣證明這一歸納猜想？

學(xué)生探索和討論，學(xué)生板演或教師板書證明過程.

追問4類比同底數(shù)冪相乘的運算性質(zhì)，冪的乘方的運算性質(zhì)還可以進一步一般化嗎？即［（am）n］k＝（）（m，n，k都是正整數(shù)）.

生：［（am）n］k＝amnk（m，n，k都是正整數(shù)）.

【設(shè)計意圖】（1）將算式am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數(shù)）中的n，k都換成m，得到（am）3＝a3m，體現(xiàn)了特殊化的數(shù)學(xué)思想方法；類比am·an＝am＋n（m，n都是正整數(shù)）得到（am）n＝（an）m（m，n是正整數(shù)）；類比am·an·ak＝am＋n＋k（m，n，k都是正整數(shù)）得到［（am）n］k＝amnk（m，n，k都是正整數(shù)），學(xué)生繼續(xù)感悟數(shù)式通性和類比的思想和一般化思想.（2）引導(dǎo)學(xué)生用文字語言描述冪的乘方的運算性質(zhì)的關(guān)鍵特征，繼續(xù)培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.（3）繼續(xù)鞏固證明的意識，提升學(xué)生邏輯推理能力.（4）發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

1.4提出問題，歸納發(fā)現(xiàn)積的乘方的運算性質(zhì)

問題我們已經(jīng)知道對于底數(shù)相同的冪am和an相乘，可以用同底數(shù)冪乘法的運算性質(zhì)相乘，那么對于指數(shù)相同的冪an和bn相乘，有對應(yīng)的性質(zhì)嗎？

師：完成以下題目.

（1）a2·b2＝a·a·b·b＝（ab）·（ab）＝（ab）（）.

（2）a3·b3＝a·a·a·b·b·b＝（）·（）·（）＝（）（）.

追問1你能歸納發(fā)現(xiàn)一般化后的算式嗎？

生：an·bn＝（ab）n（n是正整數(shù)）.

追問2如何證明這一歸納發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生板書證明過程.

追問3我們經(jīng)常需要將以上算式逆過來運用，即（ab）n＝an·bn（n是正整數(shù)），你能用文字語言描述這個一般化后的算式的關(guān)鍵特征嗎？

生：積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得冪相乘.

追問4類比同底數(shù)冪相乘和冪的乘方的運算性質(zhì)，積的乘方的運算性質(zhì)還可以進一步一般化嗎？

生：（abc）n＝an·bn·cn（n是正整數(shù)）.

【設(shè)計意圖】（1）從同底數(shù)冪相乘am·an到同指數(shù)冪相乘an·bn，意在培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，分析和解決問題的能力，這里重在提出問題.（2）再次增強學(xué)生由特殊到一般的歸納能力和引導(dǎo)學(xué)生感悟一般化的思想方法.（3）引導(dǎo)學(xué)生用文字語言描述積的乘方的運算性質(zhì)的關(guān)鍵特征，再次培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.（4）再次提升學(xué)生的證明意識.（5）引導(dǎo)學(xué)生把（ab）n＝an·bn（n是正整數(shù)）一般化為（abc）n＝an·bn·cn（n是正整數(shù)），學(xué)生再次感悟類比和一般化思想.（6）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).

1.5鞏固應(yīng)用，通過辨析特征加深對性質(zhì)的理解和運用

例題計算以下式子.

（1）x2·x5.（2）（103）4.（3）（2x）4.

（4）a·a6.（5）（an）3.（6）（－5x）3.

師生共同分析解答，教師板書（1）（2）（3），學(xué)生板書（4）（5）（6）.教師著重讓學(xué)生說明該算式符合哪種運算特征，引導(dǎo)學(xué)生運用合適的運算性質(zhì)進行計算.

【設(shè)計意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生運用性質(zhì)進行計算，在積累解題經(jīng)驗的同時，體會三種冪的運算的特征，并促使學(xué)生能正確選擇合適的運算性質(zhì)解題，發(fā)展其數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

1.6課堂小結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生主動建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)

教師設(shè)置以下兩個問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧知識點，從而幫助學(xué)生主動建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò).

問題1今天我們一起探究了冪的哪些運算性質(zhì)？我們是怎樣探究的？我們進行探究的最根本的依據(jù)是什么？

問題2你認為我們后面還可能會探究哪些運算性質(zhì)？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生從知識內(nèi)容和探究過程兩個方面進行小結(jié)，把握本節(jié)課的核心內(nèi)容，建構(gòu)知識網(wǎng)絡(luò)，并在追問中反思與感悟?qū)W習(xí)冪的運算性質(zhì)的重要性，進一步體會數(shù)與式的通性，以及從具體到抽象、從特殊到一般再到特殊的思想方法在數(shù)學(xué)問題解決中的應(yīng)用.

2教學(xué)立意的進一步闡釋

2.1落實課標理念，踐行單元整體教學(xué)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》倡導(dǎo)單元整體教學(xué).對于冪的性質(zhì)新授課來說，適合開展單元整體教學(xué)，筆者將《冪的運算性質(zhì)》單元教學(xué)的目標構(gòu)思如下.

學(xué)生經(jīng)歷同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方的運算性質(zhì)的探究過程，體驗通過歸納與類比提出猜想、發(fā)現(xiàn)結(jié)論和探索證明思路的思維活動過程，感悟從特殊到一般、從特殊到特殊的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).學(xué)生理解冪的三個運算的性質(zhì)及其結(jié)構(gòu)特征，建構(gòu)冪的運算的知識網(wǎng)絡(luò)，運用冪的運算性質(zhì)進行簡單的冪的運算，體會數(shù)式通性，感悟從一般到特殊的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

2.2預(yù)設(shè)追問互動，發(fā)展學(xué)生推理素養(yǎng)

有研究者在關(guān)于“數(shù)學(xué)意識的培育過程”的研究中曾指出：“在知識維度上，從觀察具體實例進階至建構(gòu)概念內(nèi)涵；在方法維度上，從表述生活經(jīng)驗進階至領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想；在信念維度上，從著意學(xué)習(xí)體驗進階至濡染理性精神.”［1］對于本文中《冪的運算性質(zhì)》教學(xué)來說，筆者在教學(xué)過程中預(yù)設(shè)大量的“追問”，有效促進了師生、生生之間的對話互動，發(fā)展學(xué)生推理素養(yǎng).此外，在這節(jié)課中，筆者特別強調(diào)了合情推理的訓(xùn)練.合情推理又包括歸納與類比推理，歸納是從個別事實中推演出一般性結(jié)論的推理，類比是根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同推演出它們在其他方面也相似或相同的推理.歸納是從特殊到一般的推理，類比是從特殊到特殊的推理，演繹是從一般到特殊的推理.

2.3重視反思回顧，促進學(xué)生深刻理解

涂榮豹教授在關(guān)于“反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)”的研究中曾指出：“要求學(xué)生對活動中有聯(lián)系的問題進行反思，對解題思路、推理的過程、運算的過程、語言的表述進行反思.”［2］在課例最后階段，筆者預(yù)設(shè)了課堂小結(jié)問題，組織學(xué)生對本課所學(xué)內(nèi)容、涉及研究方法等進行了反思與回顧，并且讓學(xué)生展望后續(xù)可能會學(xué)習(xí)哪些內(nèi)容.設(shè)計這類展望式小結(jié)的意圖還在于讓學(xué)生基于研究方法和路徑對后續(xù)所學(xué)內(nèi)容準確預(yù)判.從課堂教學(xué)效果來看，學(xué)生都能基于代數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，展望后續(xù)可能學(xué)習(xí)更多的冪的運算性質(zhì)以及整式乘除等內(nèi)容.

參考文獻

［1］崔皓翔，寧連華.數(shù)學(xué)意識的培育：從直觀感受到理性感悟［J］.課程·教材·教法，2024（2）：119－124.

［2］涂榮豹.試論反思性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2000（4）：17－21.

*基金項目：江蘇省南通市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“基于‘自學(xué)·議論·引導(dǎo)’的初中數(shù)學(xué)板書實踐研究”（項目編號：ZX2021006）.