數(shù)學(xué)文化視域下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)研究

摘要：隨著新課改的不斷推進，數(shù)學(xué)文化受到了廣泛關(guān)注.在高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，為了幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)技能，教師應(yīng)對概念教學(xué)予以重視，并將其融入教學(xué)活動中，致力于發(fā)展高中生數(shù)學(xué)學(xué)科綜合能力.本文圍繞數(shù)學(xué)文化背景，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動中融入概念教學(xué)，致力于深度剖析教學(xué)環(huán)節(jié)中運用數(shù)學(xué)概念的有效性作用，為優(yōu)化教學(xué)路徑提供可行性方案.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；概念教學(xué)；提升策略

概念教學(xué)是一線教師在教學(xué)實踐中主要應(yīng)用的方法，對于優(yōu)化高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作起到至關(guān)重要的作用.教師基于數(shù)學(xué)文化背景，通過優(yōu)化概念教學(xué)活動，為學(xué)生提供廣闊的學(xué)習(xí)路徑.然而，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，要想體現(xiàn)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性絕非易事，它需要師生共同努力營造濃厚的學(xué)習(xí)氛圍，并將概念教學(xué)進行合理化應(yīng)用，由此提高高中生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).在教育教學(xué)工作中通過數(shù)學(xué)概念教學(xué)課題研究，提升教學(xué)質(zhì)量、強化學(xué)生數(shù)學(xué)技能，促使高中數(shù)學(xué)教學(xué)取得良好育人成果.

1《指數(shù)函數(shù)的概念》生成環(huán)節(jié)教學(xué)片段

以北師大版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》中《指數(shù)函數(shù)的概念》教學(xué)為例.為了清晰的解釋說明指數(shù)函數(shù)概念的生成過程，在教學(xué)過程中，教師通過引入數(shù)學(xué)概念環(huán)節(jié)，對數(shù)學(xué)知識進行解讀，由此增強學(xué)生實踐學(xué)習(xí)能力.

探究1隨著生活水平的提升，人們的休閑娛樂方式也更加多樣化，越來越多的人選擇旅游作為休閑娛樂方式，這使得近年來旅游數(shù)據(jù)逐年遞增，同時旅游數(shù)據(jù)也成了各景區(qū)制定門票價格的重要參考和依據(jù).在此背景下，A景區(qū)為了增加收入，提升經(jīng)濟效益，自2001年開始上漲景區(qū)門票價格，B景區(qū)為了保障游客數(shù)量，則直接取消了景區(qū)門票.表1為A、B兩景區(qū)的旅游人次統(tǒng)計表.

問題1結(jié)合表1分析A景區(qū)以及B景區(qū)旅游人次的變化，并結(jié)合分析結(jié)果探究兩景區(qū)旅游人次變化體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)規(guī)律？

追問1怎樣通過數(shù)據(jù)處理的方式來直觀分析兩景區(qū)的旅游人數(shù)增長趨勢？

為了有利于觀察規(guī)律，根據(jù)表1，分別畫出A、B兩景區(qū)采取不同措施后的15年游客人次的圖象（如圖1、圖2）.

【設(shè)計意圖】聯(lián)系生活實際創(chuàng)設(shè)情境，結(jié)合旅游景區(qū)人次變化引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)據(jù)并繪制折線統(tǒng)計圖.由此直觀地展示兩個景區(qū)的人次變化規(guī)律，直觀形象地進行數(shù)學(xué)模型思維培養(yǎng)，為后續(xù)深入研究指數(shù)函數(shù)圖象做好鋪墊.［1］

問題2如果站在A景區(qū)負責(zé)人的角度，應(yīng)該如何分析A景區(qū)旅游人次變化情況，怎樣才能科學(xué)預(yù)測A景區(qū)某一年的旅游人次？

問題3如果站在B景區(qū)負責(zé)人的角度，應(yīng)該如何分析B景區(qū)旅游人次變化情況，怎樣才能科學(xué)預(yù)測B景區(qū)某一年的旅游人次？

追問2以B景區(qū)為例，思考如何通過計算對B景區(qū)旅游人次增長規(guī)律進行定量分析？

從2002年起，將B景區(qū)當年旅游人次除以上一年旅游人次的方式便可以得到以下結(jié)果.

2002年人次2001年人次＝309278≈1.11.

2003年人次2002年人次＝344309≈1.11.

……

2015年人次2014年人次＝12441118≈1.11.

【設(shè)計意圖】借助問題引導(dǎo)學(xué)生深入思考，鼓勵學(xué)生結(jié)合數(shù)據(jù)進行分析，由此提高數(shù)學(xué)分析能力.

追問3你可否運用規(guī)范的數(shù)學(xué)語言對B景區(qū)的變化情況進行描述，并用函數(shù)解析式的方式對B景區(qū)的人次變化情況進行表達？

解析：設(shè)x年后游客人次為2001年的y倍，那么得到y(tǒng)＝1.11x（x∈［0，＋∞））.

追問4y＝1.11x（x∈［0，＋∞））是一個函數(shù)嗎？

【設(shè)計意圖】以B景區(qū)為例，引導(dǎo)學(xué)生分析和探索旅游人次增長規(guī)律，在此基礎(chǔ)上再引導(dǎo)學(xué)生借助規(guī)律進行推理，用指數(shù)函數(shù)形式概括數(shù)學(xué)問題，由此借助解析函數(shù)的方式探索其對應(yīng)關(guān)系，進而引出指數(shù)函數(shù)概念，同時通過引導(dǎo)學(xué)生自主探究來鍛煉和發(fā)展學(xué)生對指數(shù)函數(shù)概念的總結(jié)能力.［2］

探究2生物死亡后其體內(nèi)的碳14會按確定的比率衰減，通常情況下，大約每經(jīng)過5730年會衰減至原來的50%.人們將衰減至原來一半的這段時期稱之為“半衰期”.設(shè)剛死亡的動物體內(nèi)碳14含量為1個單位，年衰減率為p.

問題1設(shè)生物體內(nèi)碳14含量為y，結(jié)合所學(xué)知識，并根據(jù)指數(shù)函數(shù)概念，表示出1年后、2年后、3年后、5730年后以及x年后的碳14含量？

解析：一年后：y＝1－p.

二年后：y＝（1－p）2.

三年后：y＝（1－p）3.

……

5730年后：y＝（1－p）5730.

x年后：y＝（1－p）x.

【設(shè)計意圖】通過探究1學(xué)習(xí)指數(shù)增長模型；通過探究2探索指數(shù)衰減模型.通過對這2個探究題的系統(tǒng)性學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生深入分析數(shù)學(xué)概念知識，由此提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力.［3］依托數(shù)學(xué)化過程，幫助學(xué)生歸納和整理指數(shù)函數(shù)模型，以此引導(dǎo)學(xué)生進行問題分析與運算，強化學(xué)生數(shù)學(xué)綜合能力.

問題2試求年衰減率p，并表示出碳14含量y與死亡年數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系.

解析：已知條件（1－p）5730＝12，得p＝1－1215730，所以y＝12x5730（x∈［0，＋∞））.

追問y＝12x5730（x∈［0，＋∞））是一個函數(shù)嗎？為什么？

問題3通過探究和觀察的過程，對下面兩個函數(shù)解析式特征進行分析.

（1）y＝1.11x；（2）y＝12x5730（x∈［0，＋∞））.

問題4若用字母a代替底數(shù)，則兩個函數(shù)關(guān)系式怎樣表示？

問題5通過觀察得出，底數(shù)分別為1.11和12，即a＞0，那么a是負數(shù)或0可以嗎？

問題6在探究分析過程中，這一函數(shù)不屬于我們已學(xué)過的函數(shù).如何為這類函數(shù)下定義？

【設(shè)計意圖】教學(xué)中利用函數(shù)模型激發(fā)學(xué)生的探究興趣，引導(dǎo)學(xué)生通過探究了解指數(shù)函數(shù)概念，增強學(xué)生對函數(shù)概念分析能力和規(guī)律總結(jié)能力.

2《函數(shù)概念》深化環(huán)節(jié)教學(xué)片段

以北師大版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》中《函數(shù)概念》教學(xué)為例.在函數(shù)概念引入和生成的教學(xué)環(huán)節(jié)，學(xué)生能夠結(jié)合數(shù)學(xué)對應(yīng)關(guān)系，建構(gòu)函數(shù)概念思維，從而在函數(shù)概念表達形式中探索主要問題，以此進行辯證思維培養(yǎng)活動.問題探究活動能夠幫助學(xué)生清晰、直觀地理順函數(shù)概念知識，提高對函數(shù)教學(xué)活動的認同感和參與度.

問題尋找函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞，簡明概括.

追問1同學(xué)們找到了函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞，接下來請同學(xué)們分析總結(jié)以下函數(shù)概念的構(gòu)成要素有哪些？

通過追問引導(dǎo)學(xué)生進一步深入探究，加深理解.

探究活動：將小球從左側(cè)盒子移到右側(cè)盒子（如圖3）.

追問2將圖3兩個盒子看成兩個非空集合A、B，f：A→B是函數(shù)嗎？若是，值域怎樣表示？

學(xué)生活動：教師組織學(xué)生進行分組學(xué)習(xí)活動，將前后桌四人分為一個小組.通過組內(nèi)討論和組間交流學(xué)習(xí)，總結(jié)出函數(shù)構(gòu)成的三要素，并與全班學(xué)生進行分享.與此同時，教師在教學(xué)過程中借助集合圖示的方式將抽象的知識轉(zhuǎn)化為更加直觀和具體的圖形，幫助學(xué)生降低學(xué)習(xí)的難度，加深其對所學(xué)概念的理解.

學(xué)生可能得到的結(jié)論：如果將小球的號碼與格子的號碼相對應(yīng)，即1號球放入1號格子……此時，值域為｛1，2，3，4｝.

師生總結(jié)為在f：A→B函數(shù)關(guān)系中，可以以一對多，不可以以多對一.

【設(shè)計意圖】在函數(shù)概念學(xué)習(xí)過程中，教師通過對概念知識的總結(jié)與歸納，提高學(xué)生辯證思維能力，促使學(xué)生在探究實踐中發(fā)展數(shù)學(xué)技能，由此提高本節(jié)課知識學(xué)習(xí)效果.與此同時，教師通過設(shè)置實踐環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生推導(dǎo)理論知識，增強學(xué)生動腦思考與動手學(xué)習(xí)的技能，為學(xué)生強化數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)能力做好鋪墊.另外，在優(yōu)化教學(xué)實踐中，教師通過發(fā)散性思維能力和批判性思維能力的拓展，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，為學(xué)生全面發(fā)展搭建有利平臺.

3《條件概率》深化環(huán)節(jié)教學(xué)片段

以北師大版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》中《條件概率的概念》教學(xué)片段為例.結(jié)合實例開展教學(xué)能拉近數(shù)學(xué)概念與現(xiàn)實生活之間的距離，增強二者之間的聯(lián)系，教師通過引導(dǎo)學(xué)生分析條件、概率與事件相互獨立性關(guān)系，使學(xué)生掌握解決問題的方法與技巧.

問題設(shè)A、B為兩個隨機事件，一般地，P（B|A）與P（B）不一定相等.如果P（B|A）與P（B）相等，那么事件A和B應(yīng)滿足什么條件？

事件A與B相互獨立.

追問1如何證明呢？

請同學(xué)們通過合作探究的方式來證明自己的猜想.

當A與B相互獨立時，有P（AB）＝P（A）·P（B）成立，

有P（B｜A）＝P（AB）P（A）＝P（A）P（B）P（A）＝P（B）.

追問2如果已知P（A）與P（B|A），如何計算P（AB）？

∵P（B｜A）＝P（AB）P（A），∴P（AB）＝P（A）·P（B｜A）.

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學(xué)生探究與思考，并在此過程中讓學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)概率知識，同時鍛煉學(xué)生的探究能力，使其能夠從直觀的視角出發(fā)，剖析事件之間的關(guān)系，由此進行數(shù)學(xué)邏輯思維培養(yǎng)活動.與此同時，在這一環(huán)節(jié)教學(xué)過程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生圍繞具體問題進行數(shù)學(xué)分析，從而開展主動思考與實踐活動，為學(xué)生綜合發(fā)展數(shù)學(xué)能力，提供可行性學(xué)習(xí)方案.

4《雙曲線及其標準方程》概念應(yīng)用環(huán)節(jié)片段

以北師大版《普通高中教科書數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊》中《雙曲線及其標準方程》教學(xué)片段為例.

例1已知雙曲線兩個焦點坐標為F1（－5，0），F(xiàn)2（5，0），雙曲線上一點P到F1、F2的距離之差的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程.

變式 平面內(nèi)，點P（x，y）滿足下列條件，求點P的軌跡.

（1）｜PF1｜－｜PF2｜＝6.

（2）｜PF1｜－｜PF2｜＝10.

（3）｜PF1｜－｜PF2｜＝0.

【設(shè)計意圖】概念應(yīng)用主要以問題變化而進行變化，能夠?qū)崿F(xiàn)理性教學(xué)和感性教學(xué)的融合目標，促使學(xué)生

形成舉一反三的能力，助力學(xué)生對數(shù)學(xué)概念知識的解讀與應(yīng)用技能.教師借助例題引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)數(shù)學(xué)概念解決問題，幫助學(xué)生進一步加深對數(shù)學(xué)概念的理解，同時構(gòu)建更加完善的知識體系，促進學(xué)生邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)抽象能力等方面的發(fā)展.

例2甲、乙兩地距離為10000m，炸彈爆炸時甲聽到炮聲比乙聽到炮聲晚了30017s，聲音以340m/s的速度傳播.爆炸點應(yīng)在什么曲線上？并求其軌跡方程.

思考1在兩地同時聽到爆炸聲的情況下，則炸彈爆點處于怎樣的軌跡狀態(tài)？

思考2現(xiàn)實中怎樣確定爆炸點的位置才能更好地保障安全？

【設(shè)計意圖】通過數(shù)學(xué)文化內(nèi)涵引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)數(shù)學(xué)抽象思維，以此激發(fā)學(xué)生的探索欲和求知欲，培養(yǎng)學(xué)生主動探究與實踐學(xué)習(xí)能力.例2體現(xiàn)了化歸以及轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生將數(shù)學(xué)抽象問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)具象問題，以此進行數(shù)學(xué)解題活動，從而掌握數(shù)學(xué)解題的方法和技巧.在生活化問題的導(dǎo)入下，教師增強學(xué)生對知識點的系統(tǒng)解讀能力，為學(xué)生全面發(fā)展數(shù)學(xué)思想開辟全新路徑.同時，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合案例進行探究，并從現(xiàn)實角度考慮和分析問題，促進了知識的遷移，同時也鍛煉了學(xué)生的思維能力.

5結(jié)語

數(shù)學(xué)文化作為整個教育體系的重要組成部分，在教學(xué)實踐中起到重要的育人作用.在高中數(shù)學(xué)理論和實踐教學(xué)活動中，教師根據(jù)學(xué)生學(xué)情制定有效性教學(xué)方案，并在此基礎(chǔ)上引入數(shù)學(xué)文化，以此開發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)智力，為學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣做好鋪墊.結(jié)合當前高中數(shù)學(xué)教學(xué)現(xiàn)狀及教學(xué)問題，本研究圍繞數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法提出相應(yīng)的教學(xué)策略.數(shù)學(xué)教師應(yīng)在概念教學(xué)過程中引入數(shù)學(xué)文化，幫助學(xué)生深度解讀數(shù)學(xué)概念知識，拓寬學(xué)生獲取知識的路徑，增強學(xué)生實踐學(xué)習(xí)技能，為學(xué)生綜合性、全面性發(fā)展奠定堅實基礎(chǔ).

參考文獻

［1］劉永琳.數(shù)學(xué)文化視域下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究［J］.數(shù)理天地（高中版），2023（11）：53－55.

［2］孫波.數(shù)學(xué)文化視域下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究［J］.高考，2022（16）：48－50.

［3］范海濤.數(shù)學(xué)文化視域下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)大世界（下旬），2021（6）：39.

*基金項目：

甘肅省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2023年度專項課題“高中數(shù)學(xué)‘函數(shù)的概念與性質(zhì)、冪指對函數(shù)’單元教學(xué)設(shè)計與實施研究”（項目編號：GS［2023］GHBZX0047）.