“簡單”問題不“簡單”

摘要：好的題目不但能使學(xué)生獲得知識和能力上的雙向突破，更能激發(fā)他們學(xué)習(xí)的興趣，使他們碰撞出思維的火花.本文嘗試從一道有意義且不太復(fù)雜的 “簡單”問題出發(fā)，通過一題多解、一題多變等多角度的探究活動，幫助學(xué)生鞏固知識，掌握方法，學(xué)會反思，積累解題經(jīng)驗，發(fā)展思維能力和創(chuàng)新意識，充分挖掘出其不“簡單”的價值.

關(guān)鍵詞： 面積最值；多角度探究；教學(xué)與思考

一位專心備課的教師能夠從一道有意義且不太復(fù)雜的題目中，幫助學(xué)生挖掘問題的各個方面，通過這道題就好像通過一道門戶，把學(xué)生引入一個完整的理論領(lǐng)域.筆者嘗試在初三二輪復(fù)習(xí)中，通過解決一道有意義且不復(fù)雜的“簡單”問題，幫助學(xué)生完善知識體系，形成條理化、系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的認知，發(fā)展思維能力.

1問題呈現(xiàn)

問題求斜邊為4的直角三角形面積的最大值.

題目的選取是解題教學(xué)的關(guān)鍵，是培養(yǎng)學(xué)生思維的載體，好的題目不但能使學(xué)生獲得知識和能力上的雙向突破，更能使他們碰撞出思維的火花進而自然生長.［1］本題是背景熟悉、描述簡潔、內(nèi)涵豐富的一道綜合題，研究視角較多，從知識層面看，涉及三角形、四邊形、圓形、方程、函數(shù)、乘法公式等初中階段核心知識；從思想方法層面看，涉及轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、符號意識、模型思想等基本數(shù)學(xué)思想方法，適合復(fù)習(xí)課選用.

2解題視角

2.1視角1：從“圖形”和“面積”入手，構(gòu)造“幾何模型”找出特殊位置求最值

學(xué)生讀題，畫出圖形，初步思考，很快給出了以下兩種方法.

方法1：如圖1所示，過直角頂點C作CD⊥AB，D為垂足，S△ABC＝ 12AB·CD.∵AB＝4，∴當(dāng)CD最大時，S△ABC最大.AB中點記為點E，∴CE＝ 12AB＝2.∵CD≤CE，∴S△ABC＝ 12AB·CD≤4.即當(dāng)點D和點E重合時面積最大，最大值為4.

方法2：如圖2所示，作以AB為直徑的⊙O.∵∠ACB＝90°，AB＝4，∴點C在以AB為直徑的⊙O上運動.過點C作CD⊥AB，D為垂足，當(dāng)點D與圓心O重合時，CD最長，∴S△ABC＝ 12AB·CD≤4.

教學(xué)說明：學(xué)生從三角形的面積公式出發(fā)，以斜邊4為底，面積大小與斜邊上的高相關(guān).可以添加輔助線構(gòu)造圖形找到高最大時所在的特殊位置，通過求出高的最大值，來求出三角形面積的最大值.兩種方法區(qū)別在于第一種構(gòu)造直角三角形斜邊上的中線等于斜邊一半的模型，第二種構(gòu)造定弦對定角模型.兩種方法都是基于對原圖形的直觀聯(lián)想，比較容易得到.

2.2視角2：從“圖形”和“面積”入手，使用“拼圖”對面積進行轉(zhuǎn)化求最值

師：多個這樣的直角三角形可以拼成哪些新的特殊圖形？

能把一個直角三角形的面積問題，轉(zhuǎn)化為新圖形的面積問題嗎？初中階段解決面積問題還有什么方法？

在教師的啟發(fā)引導(dǎo)下，學(xué)生開始嘗試拼圖來解決.兩個學(xué)生分別給出了下面的方法.

方法3：如圖3所示，將4個△ABC拼成一個邊長為4的菱形.∵S菱形ABDE＝4S△ABC，∴當(dāng)菱形ABDE為正方形時面積最大，此時S△ABC面積最大，最大值為4.

方法4：如圖4所示，將4個△ABC圍成一個弦圖.∵4S△ABC＝S大正方形－S小正方形，∴當(dāng)小正方形面積取最小值時，S△ABC最大，即當(dāng)AC＝BC時，小正方形面積為0，S△ABC＝4.

教學(xué)說明：四個直角三角形通過拼圖分別構(gòu)造出菱形和弦圖，可以把直角三角形的面積問題轉(zhuǎn)化為菱形和弦圖的面積問題來解決，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

2.3視角3：從“面積”和“最大值”入手，用函數(shù)表示面積求最值

師：初中階段的最值問題，除了可以利用幾何圖形的特殊性質(zhì)來求，還可以利用什么來求？

三角形的面積可以量化嗎？

學(xué)生聯(lián)想到可以利用函數(shù)來求最值，設(shè)參數(shù)，將S△ABC的面積表示出來，可以嘗試通過函數(shù)來求最值.于是給出了下列兩種解法.

方法5：如圖5所示，設(shè)一條邊BC長為x，則AC＝ 16－x2.

∴S△ABC＝ 12x16－x2＝ 12 16x2－x4＝ 12－（x2－8）2＋64≤4.

方法6：如圖6所示，過C作CD⊥AB，垂足為D.由射影型相似，得CD2＝x（4－x）＝－x2＋4x＝－（x－2）2＋4.

∵CD的最大值為2，∴S△ABC最大值為4.

教學(xué)說明：學(xué)生在初中階段雖然有利用二次函數(shù)求最值的解題經(jīng)驗，但是大多數(shù)學(xué)生還不能有意識的設(shè)參數(shù)將圖形問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)來解決，本解法的設(shè)置目的是強化學(xué)生的函數(shù)主動應(yīng)用意識.

2.4視角4：從“斜邊為4”的數(shù)量關(guān)系入手，利用代數(shù)推理求最值

師：請同學(xué)們設(shè)參數(shù)，把題目中的已知數(shù)量關(guān)系、需要求的數(shù)量表示出來，你會發(fā)現(xiàn)什么？

設(shè)AC＝b，BC＝a，轉(zhuǎn)化為一個代數(shù)推理問題，即已知a2＋b2＝16（a＞0，b＞0），求 12a·b的最大值.

方法7：∵（a－b）2＝a2＋b2－2ab≥0，∴2ab≤a2＋b2，∴12a·b≤4.

方法8：設(shè)a2·b2＝t.∵a2＋b2＝16，∴以a2、 b2為根的一元二次方程為x2－16x＋t＝0.

∵方程定有實數(shù)根，∴Δ ＝（－16）2－4t≥0，∴t≤64，∴a·b≤8， S△ABC＝ 12 a·b≤4.

教學(xué)說明：方法5到方法8都是將圖形中的數(shù)量關(guān)系符號化，構(gòu)造代數(shù)模型，把圖形問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決，解法簡潔自然，讓學(xué)生充分體會到用代數(shù)推理的方法解決幾何問題的優(yōu)越性.

2.5方法總結(jié)

師： 這些解法中有哪些是你沒有想到的？障礙點在哪里？對你以后解決問題有什么啟發(fā)？

這些解法涉及學(xué)過的哪些知識、方法、模型、解題策略？ 你能進行比較、分類、整合嗎？

師生合作：找出不同方法的區(qū)別和聯(lián)系，構(gòu)建出本題中用模型思想解決問題的結(jié)構(gòu)圖，推廣到綜合類問題的一般策略.

教學(xué)說明：本環(huán)節(jié)主要是反思例題的四個視角八種解法，幫助學(xué)生反思解題過程中的障礙點，梳理本節(jié)課的知識點、解決問題的基本思想方法（轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、符號意識、模型思想）等，并用表格的形式歸納模型思想解決問題的一般策略圖（如圖7），讓碎片化的教學(xué)整體化、結(jié)構(gòu)化，幫助學(xué)生形成系統(tǒng)思維.

3教學(xué)反思

3.1精選例題，關(guān)注選題的教學(xué)價值

在設(shè)計或選擇例題時，面對紛繁眾多、良莠混雜的復(fù)習(xí)題，教師應(yīng)始終保持清醒的頭腦，去粗取精，精選細擇.［2］不要好大喜難，不出偏題、怪題，精選具有典型性、示范性、綜合性和探索性的問題，以加深學(xué)生對知識的理解，促進學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的靈活掌握，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性.

3.2多角度探究，關(guān)注學(xué)生思維的發(fā)展

培養(yǎng)思維是發(fā)展核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.教師要善于應(yīng)用習(xí)題一題多解、一題多變、多解歸一等多角度探究活動，構(gòu)筑學(xué)生創(chuàng)新的思考點，激活思維創(chuàng)新的興奮點 ，鼓勵學(xué)生開闊思路，發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新精神.

3.3加強反思，關(guān)注學(xué)生活動經(jīng)驗的積累

學(xué)之道在于悟，反思是對數(shù)學(xué)活動的再感受，感受數(shù)學(xué)的本質(zhì)和力量，這就是悟的過程.教師要引導(dǎo)學(xué)生在問題探究中多問幾個“為什么”“怎么想到的”“有什么收獲”等問題， 及時總結(jié)反思積累活動經(jīng)驗，重建認知結(jié)構(gòu).在本節(jié)課例題教學(xué)后，教師通過引導(dǎo)學(xué)生對多種解法進行歸納反思、關(guān)聯(lián)和比較，構(gòu)建解題策略結(jié)構(gòu)圖，幫助學(xué)生解題，積累活動經(jīng)驗，并對多種解法形成整體的認識.

參考文獻

［1］王秋月.閱讀積累深耕下的解題教學(xué)實踐［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2024（11）：39-42.

［2］嚴杰.淺談數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的選題原則［J］.文理導(dǎo)航（中旬），2019（2）：7+10.