高中數(shù)學美育的實踐研究

摘要：隨著全面育人政策的推進，學校美育工作的開展受到越來越多的關注.本文從數(shù)學美的分類出發(fā)，以復數(shù)為例，分析了高中數(shù)學中的數(shù)學美具有簡潔、和諧和奇異等特點，并基于“復數(shù)的概念”的教學實踐，探究了高中數(shù)學美育的實施路徑.

關鍵詞：數(shù)學美育；核心素養(yǎng)；數(shù)學美

中華人民共和國教育部發(fā)布的《教育部關于全面實施學校美育浸潤行動的通知》指出：“將美育融入教育教學活動各環(huán)節(jié)，潛移默化地彰顯育人實效，實現(xiàn)提升審美素養(yǎng)、陶冶情操、溫潤心靈、激發(fā)創(chuàng)新創(chuàng)造活力的功能.”美育的追求是促進個體情感生命的成長，提升個體的審美素養(yǎng)和能力.［1］新時代背景下，學科美育和數(shù)學本身的美學特質(zhì)受到越來越多的關注，數(shù)學教育不再僅僅是智育的手段，更是美育的良好載體.數(shù)學美育本質(zhì)上是一種以數(shù)學中的美為載體的文化教育，旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學審美情趣，提高學生的數(shù)學審美能力和創(chuàng)造能力.數(shù)學美育不僅能增加學生的數(shù)學學習興趣，還能加深學生對數(shù)學內(nèi)容的理解.數(shù)學核心素養(yǎng)與數(shù)學知識密不可分，學生的核心素養(yǎng)是在學習知識、理解知識和應用知識的過程中培育的.從這個意義上說，在數(shù)學教學中滲透美育有利于學生核心素養(yǎng)的發(fā)展.數(shù)學教育家張奠宙以“真、善、美”的視角來研究核心素養(yǎng)，認為學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng)的提升和培育是在欣賞數(shù)學智慧之“美”的過程中完成的.［2］那么如何才能將數(shù)學美育落到實處，引導學生體會、欣賞、品味數(shù)學之美？本文以 “復數(shù)的概念”為例，談談對這個問題的思考.

1高中數(shù)學美的內(nèi)涵分析

無論是從形式還是內(nèi)容來看，數(shù)學美都具有簡潔、統(tǒng)一（和諧）、對稱、整齊、奇異與思辨性等基本特征.［3］為把數(shù)學美育功能真正落實在中小學的數(shù)學課堂上，張奠宙把數(shù)學美育分為美觀、美好、美妙、完美四個層次.［4］彰顯數(shù)學美的復數(shù)概念教學正是體現(xiàn)這四個層次的有效載體，其特性具體表現(xiàn)為簡潔性、和諧性、奇異性.

1.1簡潔性

數(shù)學美的簡潔性是指數(shù)學的抽象性、概括性和統(tǒng)一性.由于數(shù)學具有抽象性和統(tǒng)一性的特點，所以其結構、方法、形式應當是簡潔的、凝練的.［5］高中數(shù)學的簡潔性主要表現(xiàn)為符號美和統(tǒng)一美.

數(shù)學符號之所以美，在于它們的簡潔性和表達力.數(shù)學符號能夠準確地傳達復雜的概念和關系，不需要冗長的文字描述，如復數(shù)的代數(shù)、坐標和三角形式分別從以下三個角度描繪了復數(shù)的特征：①通過z=a+bi可判斷該復數(shù)在復平面中的位置；②通過z=（x，y）的坐標形式可以使學生類比向量坐標來進行復數(shù)的運算；③通過z=r（cosθ+isiNWtW7S44aKxkwxTuW8kxUk5L7syo7lg3gzqtSAOqAk0=nθ）則可以直接看出復數(shù)的輻角.同一個數(shù)學對象在不同的符號表示下能展現(xiàn)出“橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同”的美感.

數(shù)學在各個領域都得到廣泛應用，其原因在于數(shù)學的思想、方法和結論具有“放之四海而皆準”的特點.追求統(tǒng)一是數(shù)學的主要特征，由于數(shù)學具有高度抽象性，所以根據(jù)數(shù)學法則可以邏輯清晰地推出多個結論，但數(shù)學不是全部正確結論的堆砌.事實上，數(shù)學中的等式、法則、定理等所有對象都是統(tǒng)一體.高中數(shù)學的統(tǒng)一美主要體現(xiàn)在知識結構和數(shù)學思想方法的統(tǒng)一，如復數(shù)的引入把自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)和實數(shù)統(tǒng)一起來，也把三角函數(shù)、向量統(tǒng)一起來；坐標法的出現(xiàn)把幾何學、代數(shù)學統(tǒng)一起來；用平面去截一對對頂圓錐的結果是把拋物線、雙曲線和橢圓統(tǒng)一起來.

1.2和諧性

美是和諧的，和諧性也是數(shù)學美的特征之一.高中數(shù)學中的和諧性主要體現(xiàn)在結構與形式上，多以對稱美、和諧美的形式顯現(xiàn).

對稱美是學生最容易感悟到的一種數(shù)學美，數(shù)學中的對稱通常是指數(shù)學符號、代數(shù)式或圖形中某個點、線或平面，在大小、形狀和排列上具有一一對應的關系，如復數(shù)z=a+bi與其共軛復數(shù)z=a-bi不僅在代數(shù)式形式上具有對稱的美感，在復平面中對應的點和向量在“形”上也體現(xiàn)出關于實軸對稱的美感.

數(shù)學的和諧美，指的是數(shù)學的雅致、嚴謹或形式結構的相容性.從數(shù)學的角度看，雅致研究的是數(shù)學中不同部分的協(xié)調(diào)一致，如復數(shù)系對實數(shù)系運算律的“兼容”、歐拉恒等式對自然對數(shù)、圓周率、虛數(shù)、0和1這五個不同領域中的數(shù)的統(tǒng)一等.學生在教師的引導下不僅能夠體會復數(shù)的和諧美，也能從中感受到數(shù)學的雅致.

1.3奇異性

英國科學家培根（R.Bacon）曾經(jīng)說：“美在于奇特而令人驚異.”在數(shù)學中，奇異美意味著發(fā)現(xiàn)一種出乎意料，但又在情理之中的新結構、新關系或新現(xiàn)象，在人們心靈深處產(chǎn)生愉悅，讓人感到新穎、奇特.數(shù)學中的奇異美往往存在于司空見慣而不加注意的地方，如復數(shù)運算中，學生會類比實數(shù)乘法，從代數(shù)的角度去理解復數(shù)的運算法則.但只要從形的角度理解乘法，就能產(chǎn)生新穎的感受.瑞士數(shù)學家阿爾岡（J.Argand）在《幾何作圖中虛數(shù)的表示法》中把實數(shù)乘法看作是數(shù)軸上點的變動［6］，如1×（-1）=-1的結果等同于數(shù)軸上“1”對應的點繞原點逆時針旋轉180°，（-1）×（-1）=1的結果等同于“-1”對應的點繞原點逆時針旋轉180°.既然實數(shù)乘“-1”的結果是數(shù)軸上對應的點逆時針旋轉180°，那么乘以“-1”的平方根i，結果就應該是對應點逆時針旋轉90°，復數(shù)乘法的幾何意義就可以理解為復數(shù)的伸縮、旋轉變換.教學時使用幾何畫板將這個過程動態(tài)展示出來，學生可以體會到奇異美，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).

2彰顯數(shù)學美的教學實踐

復數(shù)理論誕生于解方程的需要，在流體力學、信號分析等領域中有著廣泛的應用.復數(shù)既是學生深入學習其他知識的基礎，也是學生解決數(shù)學問題的重要工具.教學中，教師以邏輯推理、直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展為目標，以幾何畫板為教具，以直觀的幾何圖形為載體，引導學生欣賞點在數(shù)軸上移動或旋轉中所展現(xiàn)出的奇異美、對稱美，在形成虛數(shù)概念的同時提高審美素養(yǎng)，在學習復數(shù)的不同表示形式時欣賞復數(shù)的符號美、簡潔美、統(tǒng)一美，掌握核心概念和關鍵知識點，發(fā)展核心素養(yǎng).

2.1復數(shù)尋蹤，培養(yǎng)理性精神

解方程的歷史最早可以追溯到古希臘時期，但人們在求解二次、三次方程過程中遇到負數(shù)開方時，通常認為方程無解.16世紀意大利數(shù)學家卡爾達諾（G.Cardano）在解三次方程時第一次用到虛數(shù)，但直到18世紀挪威數(shù)學家韋塞爾（C.Wessel）給出復數(shù)的幾何意義后，虛數(shù)才被人們接納.復數(shù)的產(chǎn)生經(jīng)歷了一個漫長而曲折的過程，復數(shù)的發(fā)展史體現(xiàn)出數(shù)學家們不屈不撓、精益求精的探索精神，也呈現(xiàn)出數(shù)學理性、嚴謹?shù)拿?教師在教學中使用數(shù)學史來引入復數(shù)概念，把數(shù)學家曾遇到過的問題呈現(xiàn)給學生.

問題求解x3=15x+4，用一元三次方程的求根公式得到三個根為x=-2±3和x=32+-121+32--121，用因式分解法得到方程的三個根為x=-2±3和x=4，于是32+-121+32--121=4，從而-121應該是有意義的，而我們知道負數(shù)不能開平方，那么-1是什么？

【設計意圖】教師在引入環(huán)節(jié)中簡短回顧復數(shù)發(fā)展史上的幾個關鍵節(jié)點，通過提問引起學生認知沖突，為引入復數(shù)做好鋪墊，讓學生理解引入復數(shù)的必要性和重要性，感悟數(shù)學的嚴謹、和諧之美.

2.2化靜為動，體會奇異之美

在教學中，教師使用幾何畫板展示兩數(shù)相加、相乘時數(shù)軸上對應點的運動變化過程，在展示1×（-1）、2×（-1）的過程中，引導學生關注點運動軌跡的對稱美.

問題1以前我們處理兩個數(shù)相乘時，都是從代數(shù)的角度去觀察、思考的，經(jīng)過剛才的觀察，我們發(fā)現(xiàn)，實數(shù)乘法的幾何意義是數(shù)軸上點的運動，數(shù)學之妙真是讓人驚嘆不已.在1×（-1）的運算中，1在數(shù)軸上對應的點是怎樣運動的？點的運動軌跡有什么特點？你能從這種點的運動中找到實數(shù)1×-1的結果嗎？

【設計意圖】通過幾何畫板展示乘法的幾何意義后，學生會產(chǎn)生驚奇、新穎的感受，體會到數(shù)學的奇異美和點運動軌跡展現(xiàn)出的對稱美.類比實數(shù)乘“-1”是逆時針旋轉180°，學生能想到1×-1的結果是“1”對應的點逆時針旋轉90°，從而發(fā)展了自身的邏輯推理素養(yǎng).

問題2從幾何角度看，實數(shù)乘-1對應一個90°的逆時針旋轉，結果是點離開了數(shù)軸，由于這個構造較奇怪，就說-1是一個虛數(shù)，并稱其為虛數(shù)單位i.你能將2i、3i、-i、-2i表示出來嗎？以此類推，設b為任意實數(shù)，可以將bi表示出來嗎？

【設計意圖】學生通過思考，將抽象的虛數(shù)bi用幾何的方式直觀表示出來，得到虛軸，并與實軸形成復平面.學生借助幾何直觀感知i的存在，利用圖形來理解虛數(shù)i的意義，不僅能發(fā)展直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)，也能增強奇異美的感受.

2.3借助直觀，感受對稱之美

數(shù)軸和虛軸共同構成一個復平面，同平面直角坐標系一樣，復平面中每一個點都對應一個復數(shù)，反之，所有的復數(shù)都定義復平面上的一個點，從而平面上的點全都變成了數(shù).

教師：把實數(shù)軸和虛數(shù)軸構成的平面稱為復平面，復平面中的點可以用實軸上的數(shù)a和虛軸上的數(shù)bi來表示，記作a+bi，把形如a+bi的數(shù)叫作復數(shù)，a與b分別叫作復數(shù)z的實部與虛部.b≠0時，它叫作虛數(shù)；a=0且b≠0時，它叫作純虛數(shù).

問題1復數(shù)z什么時候表示實數(shù)？什么時候z=0？全體實數(shù)R構成的集合叫作實數(shù)集，全體復數(shù)構成的集合C={a+bi|a，b∈R}可以叫作復數(shù)集，復數(shù)集和實數(shù)集有什么關系？你能用文氏圖表示學過的所有數(shù)集之間的關系嗎？

【設計意圖】復數(shù)是中學階段學習的兼容性最好的數(shù)系，自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集和實數(shù)集都是復數(shù)集的真子集，學生思考這些問題不僅能加深對復數(shù)的理解，也能體會到復數(shù)系向下兼容的和諧美，感受到用文氏圖表示數(shù)系間關系展現(xiàn)出的簡潔美、抽象美.

教師：由于表示平面中點的位置需要用到兩個數(shù)，所以說平面是二維的.現(xiàn)在我們學習了復數(shù)，一個數(shù)就能表示點的位置，這多不可思議.

問題2類比平面直角坐標系中的點和坐標的關系，復平面中的點和復數(shù)有什么關系？設復平面內(nèi)的點Z表示復數(shù)z=a+bi，那么連接OZ，向量OZ和復數(shù)集中的數(shù)有什么關系？

教師：復平面內(nèi)的點、平面向量OZ和復數(shù)集中的數(shù)三者之間互為一一對應的關系.因此我們可以用復平面內(nèi)的向量OZ表示復數(shù)，也可以用復平面內(nèi)的點來表示復數(shù).這種一一對應的關系是思維上的對稱，是數(shù)學特有的美麗.

【設計意圖】在教授知識的同時，教師要有意引導學生欣賞隱藏在復數(shù)背后的抽象美、奇異美和對稱美.

問題3實數(shù)有相反數(shù)，它們在數(shù)軸上以原點為對稱中心.復數(shù)中也有類似的概念——共軛復數(shù)，請你在復平面中用向量表示出復數(shù)及其共軛復數(shù)，觀察它們的形狀，你有什么發(fā)現(xiàn)？

【設計意圖】在復平面中，復數(shù)集中的數(shù)與點和向量具有一一對應的關系，經(jīng)過教師引導，學生關注到這種對應關系，體會到數(shù)學的對稱之美，加深對一一對應關系的理解，為復數(shù)的四則運算做準備.

2.4數(shù)學寫作，體會數(shù)學之美

教師：請大家以數(shù)學寫作的形式回答以下問題.我們以何種方式學習了哪些內(nèi)容？你感受到了數(shù)學哪方面的美？經(jīng)過本堂課的學習，你認為數(shù)學這門學科具有什么特點？

【設計意圖】在教學中，教師先借助復數(shù)的發(fā)展史，讓學生認識到復數(shù)引入的必要性，然后用幾何畫板引導學生理解虛數(shù)的幾何意義，最后給出復數(shù)相關的概念.教學過程中顯示出復數(shù)不同方面的美，教師布置數(shù)學寫作的課后作業(yè)，加深學生對數(shù)學美的體會，以及對知識的理解.

3結語

高中數(shù)學中并不缺少美的存在，而是缺少發(fā)現(xiàn)數(shù)學美的眼睛.新時代背景下，數(shù)學教學不僅要強化學生對基本知識和基本技能的掌握，更要不斷地引導學生感知美，為學生提供發(fā)現(xiàn)美、欣賞美的平臺，讓學生體會到數(shù)學的魅力，幫助學生在數(shù)學學習過程中擺脫枯燥，在實現(xiàn)數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展目標的過程中提高數(shù)學審美能力.就復數(shù)而言，牢記其概念和不同的表示形式固然重要，但是揭示復數(shù)背后的理性精神、文化價值和美學價值，會使學生終生受用.總之，在數(shù)學教學中滲透美育的根本目的，是從關注學科向關注人的一種轉變.數(shù)學美育的深入理解，對提高數(shù)學教學質(zhì)量、學生的數(shù)學審美能力都有現(xiàn)實意義.

參考文獻

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