基于“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)策略思考

【摘要】數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開數(shù)學(xué)理解，所謂“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”是指學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過程中，從表面理解到深入掌握的六個(gè)不同層次，這六個(gè)層次包括：記憶理解、概念理解、程序理解、方法理解、問題解決理解和探究理解，層層遞進(jìn)，從記憶理解到探究理解，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力也逐級(jí)加深.文章將以初中數(shù)學(xué)教學(xué)為例，對(duì)基于“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)策略展開探討.

【關(guān)鍵詞】“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”；教學(xué)設(shè)計(jì)；策略；初中數(shù)學(xué)

【基金項(xiàng)目】本文系江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十五期課題《意義建構(gòu)：追求理解的初中“數(shù)學(xué)+”教學(xué)設(shè)計(jì)研究》（2023JY15-L117）的階段研究成果

“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”是一個(gè)有層次、有規(guī)律可循的概念，是對(duì)已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行歸納、整理、概括而形成的層次結(jié)構(gòu)（具體劃分如圖1）.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何有效地運(yùn)用已學(xué)知識(shí)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)層次，增進(jìn)中學(xué)階段學(xué)生的數(shù)學(xué)文化水平，成為所有數(shù)學(xué)教育工作者必須深入考慮的課題.

一、基于學(xué)生認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，確定教學(xué)目標(biāo)

在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，教師要理清“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”，明確“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”下的教學(xué)目標(biāo).數(shù)學(xué)教學(xué)過程始于目標(biāo)且終于目標(biāo)，同時(shí)，數(shù)學(xué)教學(xué)的評(píng)估過程也是如此，要堅(jiān)守用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)現(xiàn)其特征和聯(lián)系，進(jìn)行數(shù)與形的描述這一目標(biāo)，積極引導(dǎo)學(xué)生觀察現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)學(xué)問題，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生觀察現(xiàn)實(shí)生活中的幾何、代數(shù)、數(shù)量關(guān)系和空間形式等問題，找到其數(shù)學(xué)特征和規(guī)律.

案例一：如圖2，一座立體的鐵制框架呈現(xiàn)立方體狀，四條棱的中點(diǎn)為I，J，K，L四點(diǎn)，并通過鐵質(zhì)線材串聯(lián)起來.

問題一：假設(shè)有螞蟻意圖順著這些鐵質(zhì)連接從A點(diǎn)移動(dòng)至G點(diǎn)，求出螞蟻抵達(dá)G點(diǎn)的最短路徑有哪些，同時(shí)利用字母標(biāo)記出實(shí)際經(jīng)過的節(jié)點(diǎn)序列（例如螞蟻從A起步，途經(jīng)I，L，H點(diǎn)，終至G點(diǎn)，以字母序列AILHG形式來描述此路徑）.

問題二：螞蟻是否有可能從A點(diǎn)起始，沿著鐵絲經(jīng)過每個(gè)連接點(diǎn)恰好一次，最后到達(dá)G點(diǎn)？假如可行，請(qǐng)展示一種符合條件的路徑.反之，若無法達(dá)成，請(qǐng)解釋不可能的原因.

拿到這個(gè)題目后教師需要引導(dǎo)學(xué)生樹立解題思路和解題目標(biāo)，比如有的學(xué)生的目標(biāo)是第一問路線絕不遺漏等.

解析：第一問中因?yàn)槭钦襟w，所以，求所走的距離最小可以先以某一條邊做開頭以免漏數(shù)；第二問中先假設(shè)如果可能怎么走，最后發(fā)現(xiàn)不可能到達(dá)G點(diǎn).

解：（1）一共有12條：ABCKG，ABJKG，ABJFG，ADCKG，ADLKG，ADLHG，AIJKG，AIJFG，AILKG，AILHG，AIEFG，AIEHG；

（2）不可能.

用反證法證明.假設(shè)可能，將所有連接點(diǎn)染上黑白兩色，凡與黑點(diǎn)相連的都是白點(diǎn)，再通過黑白點(diǎn)的數(shù)量進(jìn)一步得出與假設(shè)矛盾.若A是黑點(diǎn)，則黑白點(diǎn)的分布如下表：

由于A與G全部由黑色點(diǎn)標(biāo)記，因此當(dāng)螞蟻由A點(diǎn)起步，依序通過其他各位置，抵達(dá)G點(diǎn)時(shí)，其所經(jīng)過的路徑順序應(yīng)呈現(xiàn)黑色→白色→黑色→白色→…→白色→黑色.其中黑點(diǎn)應(yīng)有奇數(shù)個(gè)，這與圖中共有6個(gè)黑點(diǎn)矛盾.

∴螞蟻無法從A位置起步，沿著鐵絲經(jīng)過每個(gè)連接點(diǎn)恰好一次，最后到達(dá)G點(diǎn).

二、基于學(xué)生知識(shí)理解，確定教學(xué)方法

課堂教學(xué)是實(shí)施數(shù)學(xué)理解的主陣地，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)要依據(jù)學(xué)生的不同程度和認(rèn)知水平，選擇合適的教學(xué)方法，采用多種評(píng)價(jià)方式，促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)發(fā)展.在教學(xué)中，教師可運(yùn)用以下幾種方法：

（一）情境設(shè)置法

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，營(yíng)造合適的情境，激發(fā)學(xué)生的認(rèn)知矛盾，從而使學(xué)生與數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生共鳴，例如，在“豐富的圖形世界”單元中，可以結(jié)合本單元“三視圖”這一內(nèi)容設(shè)計(jì)如下問題情境：畫出多邊形的三視圖，要求學(xué)生找到生活中的多邊形并畫出三視圖，像粉筆盒、衣柜等，通過這個(gè)情境設(shè)計(jì)可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、思考和探究，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣.

（二）小組合作法

小組合作是一種常見的學(xué)習(xí)方式.在數(shù)學(xué)教學(xué)中，可將小組合作學(xué)習(xí)分為四個(gè)階段：討論階段、預(yù)習(xí)階段、嘗試階段和鞏固階段.在自主學(xué)習(xí)之后進(jìn)行小組討論，形成初步觀點(diǎn)；然后分組嘗試并進(jìn)行初步解答；最后將討論結(jié)果以書面形式呈現(xiàn)，以幫助學(xué)生理解和掌握知識(shí).這種教學(xué)方法能夠有效地促進(jìn)學(xué)生的合作與交流.

案例二：如圖3，將圖（1）長(zhǎng)方形草地里中間寬度為1米的直道調(diào)整為圖（2）中寬度同為1米的彎曲小徑.這兩條小道的面積相等嗎？

在做這道題之前，教師可以先讓學(xué)生自由討論一下兩條小路的面積，討論完后教師進(jìn)行講解.

解析：將圖（2）的草坪連接到一起（如圖4），該長(zhǎng)方形草坪長(zhǎng)度為（a-1）m，面積為h（a-1）m2.

解：曲徑草坪中曲徑的面積為：ah-h（a-1）=ah-ah+h=h（m2），

直道的面積為：1×h=h（m2），

所以兩條小道的面積相等.

（三）活動(dòng)體驗(yàn)法

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中可通過課堂活動(dòng)來提升學(xué)生的“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”，例如在學(xué)習(xí)“勾股定理”時(shí)，讓學(xué)生在動(dòng)手實(shí)踐中體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用：先讓學(xué)生畫出直角三角形或是含有直角的圖形，隨后要求學(xué)生通過小組互換圖案，將直角在圖上標(biāo)出來，逐漸形成自己的數(shù)學(xué)思維方式和解決問題的能力.同時(shí)，教師也可以通過觀察學(xué)生的活動(dòng)狀態(tài)，了解學(xué)生的掌握情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解層次的提升.

案例三：如圖5，∠B=∠ACD=90°，AD=13，CD=12，AB=3，則BC的長(zhǎng)是多少？

拿到題目后，教師可以先讓學(xué)生按照題目條件自己親手畫出圖形，接著進(jìn)行題目講解.

解析：已知AD，CD，根據(jù)∠ACD=90°可以求出AC；已知AB即可求出BC.

三、基于理解水平的教學(xué)設(shè)計(jì)，落實(shí)教學(xué)過程

數(shù)學(xué)理解是建構(gòu)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，也是檢驗(yàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的主要指標(biāo).教師需要根據(jù)學(xué)生的理解層級(jí)，設(shè)計(jì)相應(yīng)的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)可以順利完成任務(wù).因此，教師在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

（一）基于生活情境設(shè)計(jì)教學(xué)過程

學(xué)習(xí)者在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中會(huì)相繼經(jīng)歷經(jīng)驗(yàn)性理解、形式化理解、結(jié)構(gòu)化理解和文化性理解四個(gè)發(fā)展階段，其中生活性教學(xué)設(shè)計(jì)就是經(jīng)驗(yàn)性理解.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從生活實(shí)際出發(fā)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用到具體情境中去，使學(xué)生能夠主動(dòng)參與學(xué)習(xí)過程.例如，在教學(xué)“圖形的相似”這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以先讓學(xué)生找到生活中的相似圖形，有的學(xué)生會(huì)說：國(guó)旗上的五角星、人民幣外形，還有的學(xué)生會(huì)拿三輪電動(dòng)車的車輪舉例子.

案例四：圖6中直角三角形中含有一個(gè)30°角，設(shè)斜邊AB長(zhǎng)度為8cm.△DEF位于△ABC內(nèi)部，其三條邊與△ABC各自相應(yīng)的邊保持著平行狀態(tài)，三條邊與對(duì)應(yīng)邊之間的間隔均為1cm.基于上述條件，求得△DEF的邊長(zhǎng)總和即周長(zhǎng)為（ ）.

解題前學(xué)生可以用手中的直角三角板這個(gè)生活化物品做參照.

解析：△ABC與△DEF相似.

生活是數(shù)學(xué)的來源和土壤，數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活.為此，在中學(xué)的數(shù)學(xué)教育過程中，教師需側(cè)重于將數(shù)學(xué)概念與學(xué)生的日常生活相結(jié)合，站在學(xué)生的立場(chǎng)，構(gòu)建與真實(shí)生活緊密相關(guān)的學(xué)習(xí)情境，讓學(xué)生在解決實(shí)際問題中獲得體驗(yàn)、感悟和發(fā)展.

（二）基于教學(xué)理論融入教學(xué)實(shí)踐落實(shí)教學(xué)過程

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中，教師要注重將“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”的理念融入教學(xué)過程中，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行深入的理解，并在理解的基礎(chǔ)上掌握知識(shí).教師應(yīng)當(dāng)把學(xué)生放在教學(xué)的核心位置，密切關(guān)注學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解和掌握程度，及時(shí)地給予指導(dǎo)和幫助，從而讓學(xué)生能更好地理解和掌握知識(shí).教師在課堂上要充分運(yùn)用情境教學(xué)法、小組合作學(xué)習(xí)法、問題教學(xué)法等多種教學(xué)方法，讓學(xué)生在愉悅的氛圍中進(jìn)行學(xué)習(xí).另外，教師在課堂上還要關(guān)注學(xué)生的實(shí)踐過程，及時(shí)對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況和學(xué)習(xí)態(tài)度進(jìn)行反饋，并根據(jù)反饋結(jié)果對(duì)學(xué)生進(jìn)行指導(dǎo)和幫助.例如，在教學(xué)“統(tǒng)計(jì)和概率的簡(jiǎn)單應(yīng)用”時(shí)，教師需要先將理論知識(shí)描述清楚，像概率的計(jì)算過程、統(tǒng)計(jì)的生活應(yīng)用等，熟練掌握公式法和樹狀圖畫法，學(xué)會(huì)利用簡(jiǎn)單直觀的方式判斷概率問題，接著教師可以向?qū)W生提問生活中有哪些問題可以利用概率知識(shí)進(jìn)行解決，像視力表、工資表、小球概率、拋硬幣等都可以用概率知識(shí)來解決.

案例五：投擲一個(gè)質(zhì)地均勻的六面體骰子，每個(gè)面上分別寫有1～6這6個(gè)數(shù)字，朝上一面的數(shù)字是1有多少可能性？2呢？3呢？4呢？5呢？6呢？

四、基于理解水平的評(píng)價(jià)過程，形成學(xué)習(xí)成果

在評(píng)價(jià)環(huán)節(jié)，教師首先要知道初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不是一個(gè)簡(jiǎn)單的線性過程，而是一個(gè)復(fù)雜、煩瑣的非線性過程.在初中階段，學(xué)生的數(shù)學(xué)理解水平是隨著做題數(shù)量的積累和知識(shí)的堆積不斷發(fā)展和提高的，學(xué)生學(xué)習(xí)的成效也是時(shí)刻變化的.因此，教師要基于學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行真實(shí)的教學(xué)評(píng)價(jià)，以評(píng)價(jià)結(jié)果為依據(jù)對(duì)教學(xué)活動(dòng)進(jìn)行調(diào)整.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中利用評(píng)價(jià)機(jī)制培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力是義務(wù)教育階段的重要目標(biāo).在數(shù)學(xué)教學(xué)中，評(píng)價(jià)機(jī)制的建立是至關(guān)重要的，它不僅能夠及時(shí)反映學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況，還能為教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供有利的參考.教師在設(shè)計(jì)教學(xué)方案時(shí)，需要考慮學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，以促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，基于“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”設(shè)計(jì)評(píng)價(jià)策略：一方面，教師要組織學(xué)生進(jìn)行討論，使學(xué)生在自主思考、主動(dòng)探究的過程中查漏補(bǔ)缺；另一方面，教師要鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，并努力提出有價(jià)值的問題，針對(duì)這些問題教師要做出進(jìn)一步指導(dǎo)，對(duì)于指導(dǎo)效果好的學(xué)生，教師需要給予優(yōu)秀評(píng)級(jí).

結(jié) 語

綜上，基于“數(shù)學(xué)理解層級(jí)”的教學(xué)設(shè)計(jì)策略，旨在幫助學(xué)生逐步深入地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況和需求，有針對(duì)性地設(shè)計(jì)教學(xué)策略，引導(dǎo)學(xué)生逐步達(dá)到更高的理解層次，為學(xué)生未來的發(fā)展打下根基.

【參考文獻(xiàn)】

[1]陸泉萍.求聯(lián)驅(qū)動(dòng)：催化數(shù)學(xué)理解的自然進(jìn)階[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2021（8）：120-122.

[2]荀步章.數(shù)學(xué)理解：發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的教學(xué)策略[J].中小學(xué)教師培訓(xùn)，2022（12）：53-57.

[3]張鶴.初中數(shù)學(xué)理解性教學(xué)實(shí)驗(yàn)研究[D].無錫：江南大學(xué)，2013.