基于數(shù)形結(jié)合的高中數(shù)學(xué)解題思維培養(yǎng)路徑研究

【摘要】數(shù)學(xué)是高中階段的重要學(xué)科，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過(guò)程中引導(dǎo)學(xué)生掌握一定的解題技巧，提高學(xué)生的解題思維能力.然而，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，高中數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生解題思維的培養(yǎng)并不重視.這就使得高中數(shù)學(xué)教學(xué)效果大打折扣.數(shù)形結(jié)合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中重要的一種解題思維，將數(shù)形結(jié)合應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題思維的培養(yǎng)過(guò)程中，可以有效解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)中存在的問(wèn)題.基于此，文章對(duì)數(shù)形結(jié)合應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)解題思維培養(yǎng)過(guò)程進(jìn)行分析，并提出完善策略，最終促進(jìn)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中形成良好的解題思維，提升學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合；高中數(shù)學(xué)；解題思維；培養(yǎng)路徑

隨著新課改的不斷推進(jìn)，數(shù)學(xué)教學(xué)的難度也在不斷提高，尤其是在高中階段，數(shù)學(xué)知識(shí)具有較強(qiáng)的抽象性，這對(duì)學(xué)生的思維能力提出了更高的要求.數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中具有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，不僅能夠有效地降低學(xué)生解題時(shí)遇到的困難，而且可以提升學(xué)生的解題效率，促使學(xué)生養(yǎng)成良好的解題思維.因此教師要積極地利用數(shù)形結(jié)合思想開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生在思考中建立起數(shù)學(xué)模型，借助數(shù)與形之間的相互關(guān)系解決問(wèn)題.

一、基于數(shù)形結(jié)合的高中數(shù)學(xué)解題思維培養(yǎng)價(jià)值

（一）有利于拓寬解題思路

將數(shù)形結(jié)合的思維模式應(yīng)用于解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題，需要深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí).學(xué)生在學(xué)習(xí)中面臨諸多困難，主要源于對(duì)數(shù)學(xué)理解的不足.多數(shù)學(xué)生僅將數(shù)學(xué)視為提升計(jì)算技巧的學(xué)科，未能從情感、態(tài)度和價(jià)值觀角度理解課程.數(shù)形結(jié)合能促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，使他們從宏觀角度認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)在教育中的重要性，進(jìn)而有效提升教育效果.

一方面，數(shù)學(xué)與日常生活相連，既源于生活，又服務(wù)于生活.許多看似棘手的生活問(wèn)題，都可借助數(shù)學(xué)方法解決.在數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際生活的過(guò)程中，數(shù)形結(jié)合的觀念起到了關(guān)鍵的中介作用.在生活中運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，教師將問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)表達(dá)形式，數(shù)形結(jié)合的思想是實(shí)現(xiàn)這一形式的重要途徑.例如，函數(shù)、方程、不等式為學(xué)生運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題奠定基礎(chǔ).因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入數(shù)形結(jié)合思想，能夠促進(jìn)學(xué)生解題過(guò)程中的數(shù)學(xué)知識(shí)遷移.

另一方面，創(chuàng)造性思維是解題思維中的重要組成部分.數(shù)形結(jié)合的思想在這方面具有明顯效果.它不僅能引導(dǎo)學(xué)生在遇到問(wèn)題時(shí)從數(shù)形結(jié)合的角度思考解決方案，還能幫助學(xué)生根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際需求選擇最適合的解決方法，體現(xiàn)解題的多樣性和差異性.

（二）有利于降低解題難度

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)學(xué)被視為最具挑戰(zhàn)性的學(xué)科，并且在難度層級(jí)上的劃分顯著.所以從數(shù)形結(jié)合的視角出發(fā)，教師能夠運(yùn)用該理念提升學(xué)生的解題能力，降低解題難度.以函數(shù)為例，函數(shù)圖像具備五大基本特性：其一，單調(diào)性.在獨(dú)立變量取值范圍內(nèi)，任意選取兩點(diǎn)x1，x2（x1f（x2），則表明函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增或遞減.其二，奇偶性.涉及奇函數(shù)與偶函數(shù)的概念，若函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），稱其為奇函數(shù)；若滿足f（-x）=f（x），則為偶函數(shù).利用函數(shù)的奇偶性進(jìn)行問(wèn)題轉(zhuǎn)化，是解題的關(guān)鍵策略，能有效提升解題效率.其三，周期性.如果f（x）的定義域?yàn)镈，存在正數(shù)T，使得對(duì)所有x∈D，有f（x+T）=f（x），f（x）為周期函數(shù).其四，“凹凸性”.作為描述函數(shù)在相鄰區(qū)間內(nèi)整體形態(tài)的特性，無(wú)論凸或凹，均可通過(guò)特定不等式來(lái)刻畫.這個(gè)特性能夠應(yīng)用于數(shù)學(xué)問(wèn)題及不等式求解中.其五，可導(dǎo)性.函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)的條件是該點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)存在且相等，進(jìn)而確定函數(shù)在該區(qū)域的可導(dǎo)性.這些特性間存在共通之處，對(duì)學(xué)生在解題中舉一反三具有重要輔助作用.

（三）有利于強(qiáng)化數(shù)學(xué)觀念

數(shù)學(xué)觀念作為對(duì)數(shù)學(xué)事實(shí)與理論歸納后形成的總結(jié)性理解，不僅是提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)成效的有力保障，也是促進(jìn)其思維發(fā)展的主要載體.數(shù)學(xué)觀念具有多元性.第一，高中數(shù)學(xué)問(wèn)題呈現(xiàn)綜合性，涉及函數(shù)與不等式、函數(shù)與方程等多個(gè)方面.單純從量的角度解決這類問(wèn)題既耗時(shí)又易出錯(cuò).數(shù)形結(jié)合能夠?qū)崿F(xiàn)以形化數(shù)，通過(guò)形象表達(dá)難以理解的數(shù)字關(guān)系.對(duì)于某些圖形題目，數(shù)量關(guān)系表達(dá)可能含糊不清，數(shù)字解形將圖形問(wèn)題代數(shù)化，使學(xué)生從運(yùn)算角度解答.將兩大內(nèi)容相聯(lián)系，能夠深化學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)觀念.

第二，分類討論是一種具有代表性的應(yīng)用數(shù)學(xué)思維.在進(jìn)行分類論述時(shí)，其思路具有強(qiáng)烈的邏輯性.這種思路更適用于知識(shí)點(diǎn)多、要求學(xué)生具備較高分析和歸類技能的試題.他們?cè)谶M(jìn)行歸類探討時(shí)能夠具備更高的邏輯思維能力.第三，培養(yǎng)學(xué)生的類推思維.在高中數(shù)學(xué)中，分析幾何是數(shù)形結(jié)合思想的重要應(yīng)用方向.通過(guò)運(yùn)用數(shù)形思維，學(xué)生能夠圍繞定義、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、區(qū)間、頂點(diǎn)坐標(biāo)等進(jìn)行類推，強(qiáng)化在解題中的理解.

（四）有利于深化核心素養(yǎng)

教師以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維方式解決問(wèn)題，對(duì)于提升學(xué)生解決問(wèn)題的能力，深化核心素養(yǎng)具有重要意義.在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成中，數(shù)學(xué)模型起著橋梁作用.教師可以將數(shù)學(xué)模型劃分為以下類型：一是建立函數(shù)關(guān)系.函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容，從一次函數(shù)、二次函數(shù)到指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等.函數(shù)通過(guò)研究數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生解決涉及自變量和因變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題.二是構(gòu)建公式.公式是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的有效方法，在許多問(wèn)題中，利用公式進(jìn)行解答可以提高解題速度和準(zhǔn)確率.三是運(yùn)用統(tǒng)計(jì)學(xué)知識(shí).由于統(tǒng)計(jì)學(xué)應(yīng)用廣泛，采用統(tǒng)計(jì)方法建立數(shù)學(xué)模型已成為一種普遍方法.因此，數(shù)形結(jié)合的思想與數(shù)學(xué)模型關(guān)聯(lián)度較高，教師借助模型構(gòu)建解題思路，促進(jìn)學(xué)生深層核心素養(yǎng)的形成.

二、基于數(shù)形結(jié)合的高中數(shù)學(xué)解題思維培養(yǎng)路徑研究

數(shù)學(xué)是高中教育中的重點(diǎn)內(nèi)容，需要教師在教學(xué)過(guò)程中以學(xué)生的能力提升為根本出發(fā)點(diǎn)，不斷創(chuàng)新教學(xué)方法，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解能力.而數(shù)形結(jié)合作為一種有效的數(shù)學(xué)解題方法，不僅能夠幫助學(xué)生更好地理解所學(xué)知識(shí)，還能培養(yǎng)學(xué)生的解題思維.本部分探究數(shù)形結(jié)合背景下高中數(shù)學(xué)解題思維培養(yǎng)的路徑：

（一）建立知識(shí)體系，奠定解題基礎(chǔ)

擁有扎實(shí)的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)，能使學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)條理清晰.因此，在運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法培養(yǎng)解題思維，提升解題能力之前，教師應(yīng)當(dāng)確保學(xué)生建立自身知識(shí)體系.

首先，高中數(shù)學(xué)中的概念、定理等知識(shí)較為抽象，學(xué)生要深刻理解，必須探索適合自身的學(xué)習(xí)方法.在學(xué)習(xí)新知識(shí)時(shí)，面對(duì)難題，學(xué)生應(yīng)該樹立自信，敢于直面并克服挑戰(zhàn).一方面，對(duì)各類題型進(jìn)行歸納總結(jié)，加強(qiáng)實(shí)踐練習(xí)；另一方面，積極向同學(xué)和老師求教，力求深入理解，精益求精.

其次，教師針對(duì)各章節(jié)難點(diǎn)組織教學(xué)，促進(jìn)學(xué)生掌握新知識(shí).教師在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中扮演引導(dǎo)角色，有序組織課堂教學(xué)，并根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)進(jìn)行個(gè)性化培養(yǎng).針對(duì)不同水平的學(xué)生，教師采用多樣化的教學(xué)方法，促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維的發(fā)展.在設(shè)計(jì)輔助練習(xí)時(shí)，應(yīng)由淺入深，題型全面，合理控制同類題目頻率，使學(xué)生能夠融會(huì)貫通，舉一反三.

最后，教師指導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建完整的知識(shí)體系.在此階段，學(xué)生循序漸進(jìn)，每完成一個(gè)章節(jié)后，繪制思維導(dǎo)圖，以本章核心內(nèi)容為“樹根”，以各重點(diǎn)要點(diǎn)為“枝葉”，層層延伸，逐步構(gòu)建起每個(gè)章節(jié)的知識(shí)框架.最終將所有內(nèi)容串聯(lián)起來(lái)，即可形成一個(gè)完整的高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系，為解題時(shí)提取知識(shí)奠定基礎(chǔ).

（二）滲透數(shù)形觀念，形成解題認(rèn)知

新課改對(duì)師生提出了更高層次的要求，倡導(dǎo)突破傳統(tǒng)形式，共同探索新的教學(xué)路徑.教師單純的知識(shí)灌輸已不符合時(shí)代要求.教師在授課時(shí)，不應(yīng)局限于讓學(xué)生記憶公式和理論，而應(yīng)結(jié)合具體題目，引導(dǎo)學(xué)生深入理解.教師將數(shù)學(xué)思想融入教學(xué)，揭示知識(shí)點(diǎn)背后的代數(shù)與幾何意義，為學(xué)生提供更多實(shí)踐與作圖機(jī)會(huì)，使他們體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美，全面認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí).

數(shù)形結(jié)合作為數(shù)學(xué)思想的重要組成部分，對(duì)解決問(wèn)題具有幫助.教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過(guò)程中滲透數(shù)形結(jié)合思想方法.例如，在講解橢圓標(biāo)準(zhǔn)公式時(shí)，教師給出概念，先闡述其幾何背景.隨后，教師讓學(xué)生參與實(shí)踐，親身體驗(yàn)“數(shù)”與“形”的結(jié)合，激發(fā)其求知欲.通過(guò)自主練習(xí)，學(xué)生用細(xì)繩和筆繪制橢圓，體會(huì)數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢(shì)，并理解數(shù)與形的等價(jià)性.教師將公式與圖像上的點(diǎn)相聯(lián)系，使學(xué)生知其然更知其所以然，掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，享受學(xué)習(xí)樂(lè)趣.教師也應(yīng)持續(xù)提升自身能力，深入挖掘教材，逐步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維習(xí)慣.

（三）提升轉(zhuǎn)化能力，完成解題訓(xùn)練

在現(xiàn)實(shí)教學(xué)中，不乏一些學(xué)生，他們聽(tīng)講時(shí)似乎理解迅速，但實(shí)際解題時(shí)卻顯得力不從心.這往往源于教師在課堂上分配給學(xué)生的練習(xí)時(shí)間有限，導(dǎo)致課堂成了教師的“獨(dú)角戲”舞臺(tái)，而學(xué)生的實(shí)踐能力無(wú)從鍛煉.現(xiàn)代教育理念倡導(dǎo)的是“授人以漁，而非授人以魚”，強(qiáng)調(diào)的是能力培養(yǎng)而非知識(shí)灌輸.相較于死記硬背，更注重的是學(xué)生自身能力的提升.這既需要教師在課堂上有意識(shí)地進(jìn)行引導(dǎo)，也要求學(xué)生具備自主探索的能力，并在提升自我素養(yǎng)的同時(shí)，關(guān)注數(shù)與形之間的轉(zhuǎn)換技巧.在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)換能力的過(guò)程中，教師可以選取學(xué)生已學(xué)過(guò)且能體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想的知識(shí)點(diǎn)作為教學(xué)主題進(jìn)行深入講解.在教學(xué)過(guò)程中，首先要闡明數(shù)學(xué)思想方法的重要性，圍繞數(shù)形結(jié)合思想在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用展開(kāi)主題，詳細(xì)解釋“數(shù)形結(jié)合”的概念，并設(shè)置相關(guān)問(wèn)題引導(dǎo)學(xué)生思考.當(dāng)然，單一的主題課程難以充分提升學(xué)生的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力，教師在日常教學(xué)中還需進(jìn)行針對(duì)性的訓(xùn)練.遇到新知識(shí)時(shí)，應(yīng)從淺顯入手，逐步深入，同時(shí)展現(xiàn)其幾何與代數(shù)的雙重意義.

在講解習(xí)題時(shí)，強(qiáng)調(diào)以形助數(shù)、以數(shù)輔形的教學(xué)策略.如此，可以在學(xué)生心中牢固樹立“數(shù)與形可相互轉(zhuǎn)換”的觀念，促使他們?cè)诮忸}時(shí)自然而然地將數(shù)與形結(jié)合思考.學(xué)生將題目中的文字信息轉(zhuǎn)化為圖表進(jìn)行分析，這一過(guò)程考驗(yàn)著學(xué)生的繪圖能力，因此，繪圖技能的訓(xùn)練同樣重要.教師在遇到需要作圖的題目時(shí)，不應(yīng)輕易跳過(guò)，在黑板上進(jìn)行規(guī)范作圖，為學(xué)生樹立良好示范.

（四）技術(shù)賦能情境，豐富解題體驗(yàn)

教育信息化2.0背景下，教育領(lǐng)域積極采用“幾何圖板”等多樣化的技術(shù)創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境.在傳授新知識(shí)時(shí)，教師結(jié)合動(dòng)畫示范，有助于學(xué)生更好地理解和吸收知識(shí).特別是在學(xué)習(xí)三維幾何的過(guò)程中，對(duì)于某些復(fù)雜的幾何問(wèn)題，借助多媒體手段可以增強(qiáng)學(xué)生的空間思考能力，帶來(lái)良好的學(xué)習(xí)體驗(yàn).教師在教學(xué)過(guò)程中運(yùn)用這些輔助方法，使數(shù)字和形狀直觀呈現(xiàn)，對(duì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解決問(wèn)題大有裨益.

第一，正方體巧拆分的模型.探討正方體的拆分問(wèn)題時(shí)，其巧妙分解作為一大難點(diǎn)，對(duì)學(xué)生的空間思維能力提出了高要求.如果教師僅依賴口頭描述，要求學(xué)生自行想象，難度較大.多媒體演示的引入，既能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能加深其印象.例如，將正方體分割為等體積的兩個(gè)正四棱柱時(shí)，其截面為正方形；若分割成三個(gè)部分，截面則為長(zhǎng)方形.高考題中出現(xiàn)的將一定量水倒入封閉正方體內(nèi)，水體積占正方體體積一半.正方體可任意擺放，其表面形態(tài)可變?yōu)檎叫巍⒕匦?、菱形、正六邊形的情況，便是此類問(wèn)題的具體應(yīng)用.

第二，橢圓和雙曲線離心率教學(xué)的幾何畫板應(yīng)用.與現(xiàn)代教育方式相結(jié)合，多媒體教學(xué)展現(xiàn)出相較于傳統(tǒng)教育的獨(dú)特優(yōu)勢(shì).在訓(xùn)練學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思維解決問(wèn)題的能力時(shí)，多媒體將動(dòng)畫、聲音和視頻有機(jī)結(jié)合，能最大程度激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.在講解橢圓和雙曲線離心率對(duì)形狀的影響時(shí)，如果教師簡(jiǎn)單告訴學(xué)生橢圓的扁平程度與其離心率密切相關(guān)，隨離心率的增大，橢圓變得更扁；或隨離心率的減小，橢圓變得更圓等硬性知識(shí)，可能產(chǎn)生反效果.當(dāng)教師引入現(xiàn)代化教學(xué)方法，使用“幾何圖板”工具，能夠?qū)⒖菰飪?nèi)容轉(zhuǎn)化為動(dòng)畫形式進(jìn)行教學(xué)，更能激發(fā)學(xué)生的興趣.

結(jié) 語(yǔ)

在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思維方式，能夠通過(guò)將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的幾何圖形相結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)概念，提高解題效率.文章通過(guò)分析數(shù)形結(jié)合思想的價(jià)值，結(jié)合高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，提出具體的解題思維培養(yǎng)策略，并通過(guò)教學(xué)案例分析驗(yàn)證其有效性.希望通過(guò)本文的研究，為高中數(shù)學(xué)教育提供新的思路和方法，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力和數(shù)學(xué)思維的全面發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉景濤.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想路徑探究[J].國(guó)家通用語(yǔ)言文字教學(xué)與研究，2023（6）：82-84.

[2]馬艷波.新課程背景下高中數(shù)學(xué)變式題設(shè)計(jì)方法探析：以“數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問(wèn)題中的應(yīng)用”一課教學(xué)為例[J].延邊教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2022，36（3）：143-145.

[3]顧麗鳳.運(yùn)用數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生思維能力：數(shù)形結(jié)合思想例談[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2021（4）：241-242.

[4]楊穎.探析高中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用[J].科學(xué)咨詢（教育科研），2020（10）：139.

[5]劉要玲.數(shù)形結(jié)合思想指導(dǎo)下的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)研究[J].數(shù)理化解題研究，2023（30）：62-64.

[6]劉錦程.數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中的應(yīng)用[J].高考，2023（26）：93-95.

[7]鄭冬.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（25）：14-16.

[8]胡雪東.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2023（21）：14-16.

[9]劉會(huì)志，李麗麗.數(shù)形結(jié)合方法在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用探討[J].求知導(dǎo)刊，2023，（20）：38-40.

[10]魏佳軍.高中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)形結(jié)合法的運(yùn)用策略研究[J].中學(xué)課程輔導(dǎo)，2023（20）：39-41.