立足“數(shù)量關(guān)系”鏈接學(xué)生“結(jié)構(gòu)思維”的教學(xué)策略

【摘要】單元復(fù)習(xí)課旨在幫助學(xué)生系統(tǒng)梳理知識，內(nèi)化結(jié)構(gòu)，讓學(xué)生理解知識內(nèi)核，形成結(jié)構(gòu)化思維，在知識的關(guān)聯(lián)中感悟思維發(fā)展.小學(xué)階段以“數(shù)量關(guān)系”為核心的知識結(jié)構(gòu)大致可分為三階段：運(yùn)算意義、建立模型和模型拓展應(yīng)用.其中人教版五年級上冊“簡易方程”的內(nèi)容屬于第三階段模型拓展應(yīng)用，這單元的學(xué)習(xí)主要突顯“數(shù)量關(guān)系”的拓展和應(yīng)用，在單元復(fù)習(xí)時，教師應(yīng)確立單元核心內(nèi)容，根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知差異，設(shè)置核心任務(wù)，從“數(shù)”到“數(shù)量關(guān)系”再到“等量關(guān)系”，最后滲透方程思想，形成結(jié)構(gòu)化思維，突顯模型意識.

【關(guān)鍵詞】單元復(fù)習(xí)；數(shù)量關(guān)系；結(jié)構(gòu)思維；核心任務(wù)

單元復(fù)習(xí)課要關(guān)注知識內(nèi)在聯(lián)系，立足領(lǐng)域主題，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，形成知識鏈或知識網(wǎng)，讓知識的結(jié)構(gòu)從“多”到“一”再到“多”，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).單元復(fù)習(xí)課應(yīng)像新課那樣以單元主題為導(dǎo)向，以核心任務(wù)為支架，以學(xué)生的學(xué)習(xí)為中心，設(shè)計(jì)有結(jié)構(gòu)化的練習(xí)，在練習(xí)中感悟知識的關(guān)聯(lián)性，從而實(shí)現(xiàn)知識整體性和認(rèn)知的結(jié)構(gòu)化.那么如何設(shè)計(jì)讓學(xué)生在真實(shí)、有意義的情境中串聯(lián)原有知識，凸顯結(jié)構(gòu)化的單元復(fù)習(xí)課呢？下面以人教版五年級上冊“簡易方程”單元復(fù)習(xí)為例展開探索與實(shí)踐.

一、緊扣單元本質(zhì)，確立核心內(nèi)容

“簡易方程”單元屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，主要內(nèi)容有：用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、計(jì)算公式和運(yùn)算定律以及方程和用方程的知識解決問題等，主要的核心包含兩個方面：一是學(xué)生在計(jì)算類知識學(xué)習(xí)中從算術(shù)思維跨入代數(shù)思維，是數(shù)學(xué)思維拓展中的一次飛躍；二是從數(shù)量關(guān)系跨越到等量關(guān)系，用方程的思想解決生活中的實(shí)際問題.用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系等知識在本單元學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)具備了用字母表示數(shù)、計(jì)算公式、運(yùn)算定律以及求某個未知的數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，但僅僅停留在數(shù)量關(guān)系的層面，如何讓學(xué)生的認(rèn)知從數(shù)量關(guān)系跨越到等量關(guān)系，兩者之間又有何不同，這是本單元要解決的教學(xué)難點(diǎn).

基于以上的分析，本單元復(fù)習(xí)的核心內(nèi)容：

1.回顧梳理從習(xí)慣上用數(shù)和算術(shù)表示日常生活中的一些事物過渡到用字母或字母式來表示數(shù)及數(shù)量關(guān)系，再從數(shù)量關(guān)系到等量關(guān)系，用方程解決問題，形成數(shù)與代數(shù)的知識體系，構(gòu)建學(xué)生的認(rèn)知網(wǎng)絡(luò).

2.用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系到方程構(gòu)建再到用方程解決問題，這一系列知識的復(fù)習(xí)與整理需要重組單元關(guān)鍵要素，突出知識之間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，確定具有關(guān)聯(lián)的復(fù)習(xí)路徑.

二、探尋認(rèn)知差異，注重知識結(jié)構(gòu)

在“簡易方程”學(xué)習(xí)之前，學(xué)生對字母表示數(shù)量關(guān)系和用數(shù)量關(guān)系表示等量關(guān)系存在比較明顯的差異，對這些知識儲備也比較零散、碎片化，缺乏關(guān)聯(lián)性和整體性的認(rèn)知.針對這些問題，教師在課前可組織學(xué)生進(jìn)行前置性檢測練習(xí).

根據(jù)信息編寫字母式：有三個袋子，1號袋子里有彈珠x顆，2號袋子中的彈珠顆數(shù)是1號袋子的2倍，2號袋子里的彈珠有（ ）顆.請你設(shè)計(jì)3號袋子的彈珠，使得與1號袋子或2號袋子產(chǎn)生關(guān)系，編寫一下3號袋子中的彈珠有（ ）顆.

通過復(fù)習(xí)前置性練習(xí)，發(fā)現(xiàn)有些學(xué)生只編寫出比較簡單的字母式，有些學(xué)生表示通過文字表達(dá)后能寫出對應(yīng)的字母式，有些掌握很扎實(shí)的學(xué)生，可以通過字母式猜出所寫的字母式所表示的文字信息，甚至有些學(xué)生編寫出一個字母式，既代表與1號袋子有關(guān)系，又代表與2號袋子有關(guān)系.比如：創(chuàng)編（2x+6）顆，它既可以表示比1號袋子彈珠的2倍多6顆，也可以表示比2號袋子多6顆.關(guān)鍵的問題在于能否將文字信息與字母式相互轉(zhuǎn)換，既能看到文字信息寫出字母式，又能看到字母式會說出文字信息的意義.因此，復(fù)習(xí)課教師還是要關(guān)注學(xué)生的差異性，將用字母表示數(shù)量關(guān)系作為重點(diǎn)復(fù)習(xí)的知識.

三、設(shè)置核心任務(wù)，思維分項(xiàng)進(jìn)階

單元復(fù)習(xí)整理課具有綜合性和實(shí)用性.因此，教師不能將知識“炒冷飯”，只做做練習(xí)講講題目，甚至發(fā)一份練習(xí)讓學(xué)生完成后再進(jìn)行講解，這種方式的教學(xué)目標(biāo)得不到有效落實(shí)，思維得不到有效提升.復(fù)習(xí)課應(yīng)該像上新課那樣以任務(wù)驅(qū)動的形式落實(shí)重要的知識點(diǎn)，既要關(guān)注單元的關(guān)鍵要素，又要凸顯概念本質(zhì)及數(shù)量關(guān)系，構(gòu)建知識結(jié)構(gòu)，形成結(jié)構(gòu)化思維.“簡易方程”的單元復(fù)習(xí)課，教師應(yīng)該借助結(jié)構(gòu)化材料設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)任務(wù)，并將其融入數(shù)量關(guān)系、等量關(guān)系及問題解決等能力目標(biāo)，讓學(xué)生在知識體系的建構(gòu)中提升應(yīng)用意識等核心素養(yǎng).

（一）情境式任務(wù)驅(qū)動，從“數(shù)”到“數(shù)量關(guān)系”

任務(wù)一：情境式任務(wù)驅(qū)動，從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā)，設(shè)計(jì)符合學(xué)生現(xiàn)有學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的任務(wù)，構(gòu)建從數(shù)到數(shù)量關(guān)系的思維結(jié)構(gòu).其環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)如下：教師先帶領(lǐng)學(xué)生觀看一段關(guān)于超級高鐵的視頻，介紹的內(nèi)容為超級高鐵的速度、造價、艙內(nèi)的面積、周長、燈帶及票價等信息，然后定格在超級高鐵的畫面，讓學(xué)生為超級高鐵制作“說明書”，介紹新時代的超級高鐵.（圖1）

這一任務(wù)的設(shè)計(jì)是通過情境教學(xué)，運(yùn)用制作超級高鐵“說明書”這一情境編寫字母式，復(fù)盤用字母表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系、公式、單位等，體現(xiàn)用字母表示的普適性，也體現(xiàn)由復(fù)雜“繁多”的語言描述到用字母表示“一”的簡潔.比如，介紹倉內(nèi)面積：（ac+bc÷2+bc÷2）m2；（ac+bc）m2；c（a+b）m2（字母表示乘法分配律等）.介紹倉內(nèi)周長：（2a+4d）m.介紹造價：單價乘數(shù)量等于總價，150×3=450（億元），總價超過450億元，真空管道造價是k億元/千米，車廂造價超過（450-150k）億元，即超過[150×（3-k）]億元.介紹票價：設(shè)普通高鐵是y元，超級高鐵票價可能為2y元……隨后教師讓學(xué)生將自己的作品呈現(xiàn)在黑板上，提問：你們都看懂了嗎？還有什么補(bǔ)充的？學(xué)生可以和同桌討論自己的想法，然后上臺匯報(bào)自己所看懂的信息或要補(bǔ)充的字母式.

在上述學(xué)習(xí)過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)信息進(jìn)行比較，用最簡潔的方式寫出字母式，寫上相關(guān)的單位和所表示的意義，并且讓學(xué)生判斷這些字母式是否合理，同時將字母式與意義進(jìn)行互譯，讓學(xué)生通過字母式說出具體的含義，或看到意義能說出具體的字母式，從而使學(xué)生構(gòu)建從數(shù)到數(shù)量關(guān)系的代數(shù)思維，助力學(xué)生形成系統(tǒng)化的知識結(jié)構(gòu).

（二）勾連式任務(wù)驅(qū)動，從“數(shù)量關(guān)系”到“方程思想”

數(shù)量關(guān)系的構(gòu)建是方程思想的最基本要素，而方程思想的必要條件是等量關(guān)系.在日常教學(xué)和學(xué)習(xí)中，很多教師沒弄清楚什么是數(shù)量關(guān)系、什么是等量關(guān)系，這樣導(dǎo)致學(xué)生也沒弄明白數(shù)量關(guān)系和等量關(guān)系的聯(lián)系和區(qū)別.其實(shí)，數(shù)量關(guān)系在一年級開始就在學(xué)習(xí)了，比如最基本的數(shù)量關(guān)系是：分量+分量=總量；又如在四年級學(xué)生學(xué)習(xí)了單價×數(shù)量=總價，速度×?xí)r間=路程，等等.數(shù)量關(guān)系講的是一件事情，比如，從甲地到乙地，一輛汽車每小時行100千米，4小時到達(dá).甲、乙兩地之間有多少千米？這里用到的是數(shù)量關(guān)系.而等量關(guān)系是講兩個故事，這兩個故事講的是同一件事情，比如，從甲地到乙地有400千米，一輛汽車每小時行100千米，x小時到達(dá).這里是由數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為等量關(guān)系，即：100x表示甲、乙兩地之間的路程，而400千米也表示甲、乙兩地之間的路程，所以產(chǎn)生等量關(guān)系100x=400，這就是方程，可見方程是由等量關(guān)系產(chǎn)生的.本單元的復(fù)習(xí)關(guān)鍵是方程，方程的產(chǎn)生前提是數(shù)量關(guān)系到等量關(guān)系，最后構(gòu)建為方程.

任務(wù)二：勾連式任務(wù)驅(qū)動，根據(jù)學(xué)生制作的超級高鐵“說明書”，進(jìn)行結(jié)構(gòu)化連接，構(gòu)筑等量關(guān)系，由等量關(guān)系過渡到方程.這一任務(wù)可設(shè)計(jì)為：剛才大家用字母表示出了很多數(shù)量關(guān)系，你能根據(jù)數(shù)量關(guān)系和超級高鐵的視頻找到相等關(guān)系并列出方程嗎？生1：2x+300=1000（普通高鐵時速x千米/時）；生2：ac+bc=108（a，b，c單位為米）；生3：450-150k=225（k的單位為億元）……學(xué)生獨(dú)立探究后，教師追問：這些等式為什么叫方程？說說你的理由.這一環(huán)節(jié)學(xué)生再次復(fù)習(xí)方程的意義和解方程的過程，從而感悟到等量關(guān)系和方程之間的結(jié)構(gòu)化思維.

（三）拓展式任務(wù)驅(qū)動，從“方程思想”到“解決問題”

任務(wù)三：拓展式任務(wù)驅(qū)動，用方程的思維解決生活中的實(shí)際問題.教師可在整個情境鏈中生成拓展式的任務(wù)，再次創(chuàng)造情境，如：甲、乙兩人是好朋友，分別從山西和杭州出發(fā)約好在上海見面，甲從山西出發(fā)坐超級高鐵去上海，乙從杭州開車出發(fā)去上海，兩人同時出發(fā)同時到上海，需要花多少時間？要解決這個問題需要哪些信息？根據(jù)學(xué)生的回答教師出示信息：兩人同時出發(fā)，同時到達(dá)上海，需要多少時間？需要信息資料顯示：①山西—上?！贾菘偮烦碳s1680千米；②“超級高鐵”的速度最高能達(dá)到1000千米/時；③高速開車車速可以達(dá)到120千米/時.讓學(xué)生畫一畫（用線段圖表示數(shù)量關(guān)系）、設(shè)一設(shè)（設(shè)經(jīng)過x小時相遇）、列一列（列出方程并求解）（如圖2）.

解：設(shè)經(jīng)過x小時相遇.

1000x+120x=1680

或（1000+120）x=1680

解得x=1.5

在解決最基本的問題基礎(chǔ)上教師還可以再設(shè)計(jì)兩個子任務(wù).第一個子任務(wù)是由“一”到“多”，變化“？”的位置，在變化“？”的過程中不斷地解決新問題.教師可以做一個示范引導(dǎo)：如果把問題變一變，其他的信息不變，要求汽車的速度，把“？”移到哪？可以怎樣列方程？

解：設(shè)從杭州開車到上海的車速為x千米/時.

1000×1.5+1.5x=1680；

②1.5（1000+x）=1680

這個問號還能再移一移嗎？同桌之間互編互答，一名學(xué)生移問號提問，另一名學(xué)生快速列出方程或式子，然后互換，在規(guī)定時間內(nèi)盡可能地編出更多的方程.教師可以展示學(xué)生所列的方程，讓學(xué)生猜猜這個方程解決的是什么問題？隨著學(xué)生的回答教師進(jìn)行板書，并提問：大家剛才不斷改變“？”的位置編出了各種各樣的數(shù)學(xué)故事，觀察這些方程和式子，什么是一直不變的呢？引導(dǎo)學(xué)生歸納一個量加另一個量等于總量，其中的量可能不知道，需要通過乘一乘得到，即（ ）+（ ）=（ ）或（ ）×（ ）+（ ）×（ ）=（ ）.這一過程體現(xiàn)了散亂“多”的方程到“一”的一個簡單的數(shù)量關(guān)系，這就是結(jié)構(gòu)化的思維.

第二個子任務(wù)是由“一”到“多”的思維結(jié)構(gòu)解決生活中同一類問題.因?yàn)橛梅匠探鉀Q問題是本單元的復(fù)習(xí)重點(diǎn)，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).學(xué)會用方程解決生活問題的關(guān)鍵是找到等量關(guān)系，教師可呈現(xiàn)超級高鐵的其他問題，讓學(xué)生獨(dú)立解決問題，進(jìn)一步鞏固這一類等量關(guān)系.如：這節(jié)課我們用一類等量關(guān)系解決很多問題，那么字母和方程還能解決更多問題嗎？讓我們來研究超級高鐵中的燈帶.（如圖3）

車艙里要鋪上這樣兩種燈帶，如果有很多節(jié)車廂，可以提出用字母和方程解決的什么問題？學(xué)生會提出：總共有多少燈帶？可以把車廂看作n節(jié)，那么共有10n條或（4n+6n）條，教師再引導(dǎo)學(xué)生，還要什么數(shù)據(jù)可以列出方程呢？如果總共有50條燈帶怎么求出車艙數(shù)呢？若把這些車艙進(jìn)行合并呢？你能像剛才那樣編出數(shù)學(xué)故事并解答嗎？可以圈一圈、列一列，并說說自己所編數(shù)學(xué)故事的意義.

通過以上環(huán)節(jié)的教學(xué)，聚焦方程的等量關(guān)系這一本質(zhì)，能真正讓學(xué)生從數(shù)量關(guān)系跨入等量關(guān)系，從算術(shù)思維走向代數(shù)思維.

結(jié) 語

總之，“簡易方程”單元的復(fù)習(xí)課是基于“用字母表示數(shù)和數(shù)量關(guān)系”主題設(shè)置任務(wù)，以數(shù)量關(guān)系、等量關(guān)系和方程之間關(guān)系為核心，突出復(fù)習(xí)材料的整體性和結(jié)構(gòu)性，建立由“多”到“一”，再由“一”到“多”的結(jié)構(gòu)思維，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維和應(yīng)用意識，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

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