一題多思在初中數(shù)學解題中的運用

【摘要】思考是數(shù)學學習的重要環(huán)節(jié)，解題是數(shù)學思考的外在表現(xiàn).學生的解題方法可以很好地反映他們的抽象能力、推理能力、模型觀念、運算能力、幾何直觀、數(shù)據(jù)觀念等數(shù)學核心素養(yǎng).文章從不同的角度對一道以三角形為背景，求線段長度的幾何問題進行了思考和解答，從中分析一題多思在數(shù)學教學中的應用，并提出一題多解在數(shù)學課堂教學中的建議.

【關鍵詞】數(shù)學教學；一題多思；一題多解；思維能力；模型思想

數(shù)學是一門綜合性強、思維靈活、方法多樣的學科.面對同一個問題，不同的人會有不一樣的解題方法.所謂“一題多思”，指的是在解決某一個問題時，學生結合已有的知識儲備和解題經(jīng)驗，從多種角度分析題目的已知條件，靈活選用數(shù)學知識，運用不同的思維方式解決問題.

一題多思是一題多解的前提，一題多解是一題多思的目標.波利亞曾在《怎樣解題》一書中指出，掌握數(shù)學就意味著善于解題.這里的“善于解題”并不是指能夠解決多少道數(shù)學問題.教師要清醒地認識到，解題數(shù)量不等于解題質(zhì)量.“善于解題”的真正內(nèi)涵是指在解題過程中，通過觀察和思考，讓學生聯(lián)想到解題的相關知識點，更全面、更系統(tǒng)、更有條理地去分析問題，綜合性地應用知識解決問題，進而鍛煉學生的解題思維模式，積累數(shù)學活動經(jīng)驗，最終達到觸類旁通，舉一反三的效果.也就是說，數(shù)學教學要注重“一題多思”的鍛煉，進而培養(yǎng)學生一題多解的能力.

一、問題呈現(xiàn)

二、立意分析

本題屬于等腰三角形和直角三角形的綜合應用題.雖然這道題目的題干信息不多，但是巧妙地將數(shù)字、文字、圖形和符號等數(shù)學語言融合在一起.在簡單的圖形結構中，關聯(lián)著豐富的數(shù)學知識，隱藏有多個經(jīng)典的數(shù)學模型，體現(xiàn)了數(shù)學知識的緊密聯(lián)系.本題主要涉及勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、相似三角形的判定和性質(zhì)、軸對稱圖形的性質(zhì)、一元二次方程、定弦對定角的隱圓模型、垂徑定理、圓周角定理等知識點.這道題目的求解既有一定的計算復雜性，又有較強的圖形綜合性.學生審閱題目，從不同的切入點思考，可以得到多種解題方法，有效地提高學生的數(shù)學閱讀理解能力，觸發(fā)信息發(fā)掘能力，鍛煉數(shù)學思維.

三、解法探究

四、解題反思

在解題過程中，一題多思有利于調(diào)動學生對相關知識的提取、整合和運用.通過經(jīng)歷獨立的數(shù)學思考，學生能夠認清數(shù)學知識的內(nèi)涵和外延，更有邏輯地推導出問題的解法，完善數(shù)學知識體系.面對“∠ACB=135°”這一已知條件，出于對數(shù)據(jù)的敏感度，解題者可以很容易聯(lián)想到構造含45°角的直角三角形，也就是解法1.但是，這種解法的優(yōu)缺點都很明顯.它的優(yōu)點是解題思路清晰，輔助線的構造比較簡單，缺點是計算量復雜煩瑣，要求學生具備較強的計算能力.運用這種方法解題，學生容易產(chǎn)生畏難情緒，計算半途而廢.為了更便捷地求出CD的長，解題者需要去換角度思考其他的解題方法.解法2所涉及的知識點與解法1基本相同，但大大降低了計算難度.但是，在較短的時間內(nèi)，學生難以想象構造這樣精巧的輔助線.解法3的核心思想是運用軸對稱的性質(zhì)構造一個新的直角三角形，較為純粹地運用了勾股定理進行求解.而解法4巧妙運用了“定角對定弦”這一條件構造隱圓，利用圓的相關知識求解出直角三角形的三邊長，解法新穎，綜合性強.

本題的解法繁多，但是課堂的教學時間有限.若學生的學習能力較強，教師可以鼓勵學生在課后繼續(xù)對本題的解法進行探索，從多元角度去分析題意，拓展學生的解題思路，發(fā)掘更多的解題方法，激發(fā)學生的學習興趣和學習熱情.此外，由于本題的輔助線構造皆具有一定的難度，為了幫助學生更好地理解本題的解法，教師可將題目中“∠ACB=135°”這一條件改成“120°”“90°”“60°”等特殊角度，在一題多變的基礎上，讓學生及時鞏固新知.

五、教學建議

（一）深入鉆研教材，篩選創(chuàng)新習題素材

一題多思能夠提供給學生充分的自主表達空間，真實全面地反映學生對數(shù)學知識的思考、理解和掌握情況，直觀地反映學生的知識儲備和解題能力.教材是學生學習知識的重要工具.教材里的例題都是由多位教學經(jīng)驗豐富的專家精心設計、反復比較后篩選出來的經(jīng)典案例.為了更好地將一題多思，一題多解的教學環(huán)節(jié)引入課堂教學中，教師要加大對教材的鉆研力度，加深對教材的理解程度，明確每一課時的教學重難點.教師應結合學生的實際情況，合理改編例題或課后習題中的條件或結論，精心設計課堂教學環(huán)節(jié)，引入一題多思.學生經(jīng)歷多思多解的探究過程，能夠更好地掌握一題多解的方法，收獲一題多變、一題多用的新奇體驗，從而提高學生多角度分析、思考、解決問題的能力，增強學生隨機應變的解題能力.在學生提高解題能力的同時，教師也通過對一題多思的深入研究，打破其日益固化、僵化的解題思路，轉(zhuǎn)變教學觀念，提高課堂教學能力，提升教師的專業(yè)素養(yǎng).

（二）充分挖掘圖形模型，滲透基本數(shù)學思想

解題的關鍵是找到解題思路的切入點.如何構造輔助線或挖掘圖形中的基本模型是幾何教學的難點.幾何題的組成元素豐富，圖形特征的隱蔽性較強.如何建立已知條件和所求問題的聯(lián)系，由已知條件推出可用結論，由未知問題尋找所需信息，是課堂教學的重點，也是難點.由本題的4種解法可知，每一種解法都在考查學生對基本幾何圖形的掌握程度和構圖解題能力.因此，在平時的課堂教學中，教師要重視基本圖形的作用，有意識地引導學生發(fā)掘或構造基本圖形，讓學生有效分析、獲取題目中的圖形特征，將殘缺的圖形補充完整，把復雜的圖形轉(zhuǎn)化成多個簡單的基本圖形.教師要引導學生充分利用圖形的基本特點和題目的已知條件，從不同角度用不同方式去分析問題，找到解題的切入點，積累基本的解題經(jīng)驗，歸納幾何模型，并從中滲透數(shù)學建模思想、數(shù)形結合思想、轉(zhuǎn)化思想、方程思想等數(shù)學基本思想.

（三）完善數(shù)學知識體系，鍛煉數(shù)學思維能力

一題多思必須服務于課堂教學目標.教師要清醒地認識到，一題多思的教學要求學生具有較為充裕的數(shù)學知識儲備，它更適合在復習課上使用.在每個章節(jié)的新課授課結束階段，學生已大致掌握各個知識點，但是對知識點的認識比較淺薄零碎，沒有形成完善的知識體系.因此，在教學過程中，教師要引導學生尋找題目中的關鍵信息，結合已有知識儲備，展開適當?shù)穆?lián)想，讓學生將零散的知識聯(lián)系起來，不斷重組、構建更為完善的知識體系，改善解題思路，培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新思維.此外，在教學過程中，教師要注意引導學生積極思考，鼓勵學生大膽猜想，勇于嘗試，找出問題的最優(yōu)解.為了激發(fā)學生的解題積極性，提高學生的主動探索意識，教師在面對學生錯誤的思路和不全面的見解時，要給予及時的肯定和適當?shù)闹刚?教師要及時歸納問題出現(xiàn)的共性，避免學生出現(xiàn)“套路化、模式化”的解題思路，達到“思維發(fā)散有方向，數(shù)學知識再聯(lián)系”的教學效果.

結 語

千題千思，百問百解.教師在教學過程中，要充分認識一題多思的教學優(yōu)勢，掌握一題多解的解題技巧，適時安排一題多思的教學課程，激發(fā)學生的數(shù)學好奇心和求知欲，加深學生對數(shù)學概念的理解，完善學生的數(shù)學知識體系，鍛煉學生的數(shù)學思維，提高學生解決問題的能力，達到“會一題，通一類，精一片”的教學效果.

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