滲透數(shù)學(xué)文化 發(fā)展幾何直觀

摘 要：數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育中起著重要作用. 以一道蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的幾何題為例，從特色解讀、解法賞析、教學(xué)導(dǎo)向分析等方面闡述該題的價(jià)值.

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)文化；幾何直觀；核心素養(yǎng)；基本圖形

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1673-8284（2024）09-0056-04

引用格式：李清強(qiáng). 滲透數(shù)學(xué)文化 發(fā)展幾何直觀：一道幾何題的解法賞析與教學(xué)思考［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（9）：56-58，64.

在以落實(shí)核心素養(yǎng)為教育導(dǎo)向的今天，如何賞析、解讀以數(shù)學(xué)文化為背景的試題，從而更好地調(diào)整教師自身的教學(xué)，是一線教師應(yīng)該做的功課. 下面以一道蘊(yùn)含數(shù)學(xué)文化的幾何題為例，談一些自己的思考.

一、題目呈現(xiàn)

題目 由沈康身教授所著，數(shù)學(xué)家吳文俊作序的《數(shù)學(xué)的魅力》一書中記載了這樣一個(gè)故事：如圖1，三姐妹為了平分一塊邊長(zhǎng)為1的祖?zhèn)髡叫蔚靥?，先將地毯分割成七塊，再拼成三個(gè)小正方形（陰影部分），則圖中AB的長(zhǎng)應(yīng)是________.

二、特色解讀

1. 立足數(shù)學(xué)文化，培育人文情懷

數(shù)學(xué)文化體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的人文價(jià)值和科學(xué)價(jià)值，在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教育中起著重要作用. 該題以數(shù)學(xué)名著中記載的故事為素材，以熟悉的正方形為背景命制，形似于傳統(tǒng)的七巧板問題，讓學(xué)生有種似曾相識(shí)的感覺. 題中巧妙的構(gòu)圖，使學(xué)生既能感受到幾何構(gòu)圖的優(yōu)美與神奇，又能領(lǐng)略到我們祖先的智慧. 這也使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程成為文化傳播的過程和培育人文情懷的過程.

2. 探尋圖形關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)

對(duì)于此題，學(xué)生需要靈活利用這些分割圖形之間所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，提取有用信息進(jìn)行有效重組，然后轉(zhuǎn)化為常見的數(shù)學(xué)解題模型，從而正確解題. 學(xué)生可以從不同角度提煉幾何圖形中的有用信息，得到有效的解答方法. 通過對(duì)基本圖形的靈活運(yùn)用培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí).

3. 聚焦核心素養(yǎng)，發(fā)展幾何直觀

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中逐漸形成和發(fā)展的，它具有整體性、一致性和階段性. 幾何直觀是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的行為表現(xiàn)之一. 此題以類似于傳統(tǒng)七巧板問題的基本幾何圖形為背景，呈現(xiàn)了較多的已知條件. 線段間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系在此題中若隱若現(xiàn). 因此，發(fā)揮幾何直觀能力，提煉有用信息，構(gòu)造基本圖形是解決此題的突破口. 此題的解題過程，不僅有對(duì)常見幾何圖形基礎(chǔ)知識(shí)的積累，而且有方法的掌握和數(shù)學(xué)思想的內(nèi)化，是培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的有效載體.

三、解法賞析

為了便于下文表述，先在圖1上添加關(guān)鍵點(diǎn)的字母，如圖2所示.

解此題的關(guān)鍵一步便是根據(jù)圖形拼接中的等積變形，求出小正方形的邊長(zhǎng). 如圖2，已知AD = DE = 1，故可求得正方形DFHG的面積為[13]，從而可得DG = DF =[33]. 所以CD =[3]. 現(xiàn)提供以下幾種解題方法.

解法1：如圖2，在Rt△ACD中，AD = 1，CD =[3]，由勾股定理可求得AC =[2].

易得BE∥CD，BC∥DE.

所以四邊形BCDE為平行四邊形.

所以BC = DE = 1.

所以AB = AC - BC =[2-1].

解法2：如圖2，由已知易得△EDG ∽ △EMD.

因此[EGED=DGMD].

因?yàn)镈E = 1，DG =[33]，

且在Rt△DEG中，由勾股定理可得EG =[63].

所以[631=33MD].

解得MD =[22].

所以AM = 1 -[22].

由△ABM ∽ △DEM，

可得chY4SnOzp6LAWBhTO0641A==[ABAM=DEMD=2].

所以AB =[2]AM =[2-1].

解法3：如圖2，易得Rt△DEG ∽ Rt△DCA.

因此[EDCD=EGAC].

由解法2，知EG =[63]，

所以[13=63AC].

解得AC =[2].

由圖2可知，△EDG和△BCK均由圖形①②拼成，

因此△BCK ≌ △EDG.

所以BC = ED = 1.

所以AB = AC - BC =[2-1].

解法4：如圖2，易知△EDG ≌ △BCK.

所以EG = BK.

所以EB = GK = CD =[3].

又因?yàn)镋N = AN = AD = 1，

所以在Rt△ENB中，由勾股定理，得NB =[2].

所以AB = NB - AN =[2-1].

此題還有多種解法，但思路均大同小異. 此題作為填空題，應(yīng)用以上四種解法均可以獲得正確答案. 但以上四種解法均存在漏洞. 那就是∠BAD一定是直角嗎？A，B，C三點(diǎn)共線嗎？這兩點(diǎn)在解題中往往是被忽略的. 圖形的直觀感受讓我們默認(rèn)∠BAD是直角，并且A，B，C三點(diǎn)是共線的. 這是該題的深層次考查意圖，但由于題型的設(shè)置，無法體現(xiàn)出區(qū)分度.

下面就證明∠BAD是直角，且A，B，C三點(diǎn)共線.

證法1：如圖3，過點(diǎn)B作BP⊥ED，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P.

由拼圖可知△EDG ≌ △BCK.

所以EG = BK.

所以BE = GK = CD.

又因?yàn)锽E∥CD，

所以四邊形BCDE是平行四邊形.

所以BC∥ED，且S?BCDE = S矩形DCKG = S正方形ADEN.

所以BP = AD，且BP∥AD，∠BPD = 90°，

所以四邊形ADPB為矩形.

所以∠BAD = 90°，且A，B，C三點(diǎn)共線.

證法2：如圖2，陰影部分圖形③與圖形④一直角邊重合，由拼圖可知AM = RQ.

根據(jù)原正方形ADEN的分割，圖形③與圖形⑤⑥的一邊重合，可知CQ = BM.

又因?yàn)椤螦MB = ∠DMG = ∠RQC，

所以△ABM ≌ △RCQ.

所以∠BAM = ∠CRQ = 90°.

又因?yàn)椤螷BC = ∠RCQ = ∠ABM，

所以A，B，C三點(diǎn)共線.

證法3：由解法2可求得DG =[33]，MD =[22]，AM = 1 -[22]，BK = EG =[63].

如圖2，在Rt△DMG中，由勾股定理，得GM =[66].

所以BM = GK - GM - BK =[3]-[66]-[63]=[3]-[62].

所以[AMMD=1-2222=2-1]，

如圖2，在Rt△DME中，由勾股定理，得EM =[62].

[BMEM=3-6262=2-1].

所以[AMMD=BMEM].

又因?yàn)椤螦MB = ∠DME，

所以△AMB ∽ △DME.

所以∠BAM = ∠EDM = 90°，∠ABM = ∠DEM = ∠KBC.

所以A，B，C三點(diǎn)共線.

當(dāng)然解法2也可以不用證明∠BAM為直角，以及A，B，C三點(diǎn)共線，就可以求得AB的長(zhǎng). 解法2中，由△AMB ∽ △DME，可得[ABDE=AMMD=2-1]. 所以AB =[2-1]DE =[2-1].

以上解法與證法，無外乎從圖形分割與拼接中尋找線段之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，從而尋找基本圖形求解線段長(zhǎng)度. 能否靈活利用題中給出的已知條件，既取決于學(xué)生對(duì)基本圖形的熟悉程度，又取決于學(xué)生的幾何直觀和創(chuàng)新意識(shí)等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 因此，該題以類似七巧板的圖形為載體命制，立足傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化，著眼于核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，很好地傳播了數(shù)學(xué)文化，詮釋了題目的價(jià)值.

四、教學(xué)導(dǎo)向分析

1. 滲透數(shù)學(xué)文化，培育人文情懷

中國五千年的文明歷史中，蘊(yùn)含著燦爛的數(shù)學(xué)文化，出現(xiàn)過劉徽、祖沖之等偉大的數(shù)學(xué)家，以及《九章算術(shù)》《周髀算經(jīng)》等經(jīng)典的數(shù)學(xué)傳世之作. 浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》在每章節(jié)都安排了“閱讀材料”欄目. 這些閱讀材料蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)文化價(jià)值，特別是體現(xiàn)了我國古代在數(shù)學(xué)方面取得的成就.

該題實(shí)質(zhì)上是七巧板問題，而七巧板在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中已經(jīng)出現(xiàn)過，很多學(xué)生也拼玩過. 在初中階段，如果教師以七巧板問題為背景設(shè)置綜合與實(shí)踐活動(dòng)課，讓學(xué)生進(jìn)一步探究傳統(tǒng)七巧板問題的內(nèi)涵，并延伸到七巧板相關(guān)問題，如日本七巧板問題、沈康身教授著作中的“地毯分割問題”及四巧板問題等，那么不僅可以讓學(xué)生不再懼怕這類背景的題目，更重要的是可以激發(fā)學(xué)生的探究熱情，發(fā)展學(xué)生的思維能力，陶冶學(xué)生的情操，使學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)文化的價(jià)值，受到深刻的人文教育.

2. 提高識(shí)圖能力，培養(yǎng)幾何直觀

識(shí)圖能力是求解幾何問題的基本功. 幾何直觀是學(xué)生解決幾何問題的必備能力. 文獻(xiàn)［3］指出，幾何直觀是指借助于見到的（或想象出來的）幾何圖形的形象關(guān)系，對(duì)數(shù)學(xué)的研究對(duì)象（空間形式和數(shù)量關(guān)系）進(jìn)行直接感知、整體把握的能力. 例如，該題中蘊(yùn)含的直角三角形、相似三角形、平行四邊形、圖形之間的全等關(guān)系、線段之間的等量關(guān)系及位置關(guān)系等，都需要學(xué)生有直觀的感受和直觀的預(yù)判. 在平時(shí)的教學(xué)中，教師不僅要讓學(xué)生觀察、分析圖形各元素之間的關(guān)系，更要鼓勵(lì)學(xué)生多畫圖，強(qiáng)調(diào)基本圖形和幾何直觀的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的直觀意識(shí)和識(shí)圖能力，多給學(xué)生提供訓(xùn)練和糾錯(cuò)的機(jī)會(huì)，注重總結(jié)和提煉幾何圖形的特征和使用條件，為學(xué)生遷移知識(shí)和后續(xù)發(fā)展奠定認(rèn)知基礎(chǔ)，積累解題經(jīng)驗(yàn).

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］李清強(qiáng). 滲透數(shù)學(xué)文化 活用基本圖形［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2019（11）：45-47.

［3］孔凡哲，史寧中. 關(guān)于幾何直觀的含義與表現(xiàn)形式：對(duì)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》的一點(diǎn)認(rèn)識(shí)［J］. 課程·教材·教法，2012，32（7）：92-97.