溫故建構(gòu)新知 論證生成巧思

摘 要：平行四邊形的對角線互相平分是三角形中位線定理的最近知識生長點，由此引出三角形中位線定理的概念并建構(gòu)模型探討不同視角下的論證方法，最后通過古題新做打破學生固有思維，完成對新知的吸收和內(nèi)化，使學生的探究水平和知識的遷移能力得到穩(wěn)步提升.

關(guān)鍵詞：中位線定理；定理證明；類比探究

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）09-0033-04

引用格式：王玉嬌，鄭林. 溫故建構(gòu)新知 論證生成巧思：三角形中位線定理的探究［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2024（9）：33-36.

數(shù)學是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學. 三角形的中位線定理既體現(xiàn)了線段之間的數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)了線段之間的位置關(guān)系，是銜接三角形和平行四邊形知識的橋梁. 本文主要從三角形中位線定理的生成、論證和知識的鞏固三個部分出發(fā)進行探究. 在人教版《義務教育教科書·數(shù)學》（以下統(tǒng)稱“人教版教材”）中，三角形的中位線定理被安排在八年級下冊第十八章“平行四邊形”中，體現(xiàn)了需要利用平行四邊形的知識來探究三角形中位線定理的設(shè)計意圖. 但是大部分教師在設(shè)計引入三角形中位線定理或概念的生成時均是與平行四邊形分開的，內(nèi)容銜接上不夠自然，且缺少探索發(fā)現(xiàn)該定理的過程. 事實上，三角形和平行四邊形內(nèi)容是相互關(guān)聯(lián)的. 這樣直接切入教學顯得生硬，容易出現(xiàn)知識的斷層. 筆者以平行四邊形的一道習題變式作為引入，利用平行四邊形的性質(zhì)順勢發(fā)現(xiàn)、提出和論證三角形的中位線定理，前后銜接過渡自然. 現(xiàn)將教學過程呈現(xiàn)如下.

一、類比聯(lián)想獲新知：概念的生成過程

在三角形中位線定理的教學中，由平行四邊形的性質(zhì)關(guān)聯(lián)到三角形中位線定理的發(fā)現(xiàn)過程，以此激發(fā)學生的學習潛能和學習數(shù)學的興趣. 若能從學生熟悉的原教材、舊例題中挖掘出具有啟發(fā)性的知識，則更能激發(fā)學生的求知欲. 在概念的生成過程環(huán)節(jié)立足于學生已有的認知，從學生思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)探究新知，這樣的教學設(shè)計有助于激發(fā)學生獨自鉆研的主動性和發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識之間的環(huán)環(huán)相扣之美.

例 如圖1，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O.

（1）點O平分了哪些線段？

（2）如圖2，將線段BD所在的直線繞點O旋轉(zhuǎn)，分別交線段AB，CD于點E，F(xiàn)，則點O平分線段EF嗎？

（3）如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當點E為線段AB的中點時，我們可以得到哪些特殊的結(jié)論？

由第（3）小題，可以得到結(jié)論：F為線段CD的中點，EF∥BC，且[EO=12BC].

將圖3中?ABCD的對角線AC的右側(cè)部分去掉，得到如圖4所示的三角形，則EO是連接△ABC的邊AB，AC的中點的線段. 像EO這樣，連接三角形兩邊中點的線段叫作三角形的中位線.

探究：三角形的中位線有什么性質(zhì)？

由第（3）小題的結(jié)論，得到三角形的中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半.

【教學說明】該例題是學習平行四邊形的性質(zhì)時的經(jīng)典拓展題. 之前學生通過平行四邊形的性質(zhì)易證無論EF所在直線繞點O如何旋轉(zhuǎn)，總有△AOE ≌ △COF. 本節(jié)課繼續(xù)探究當EF所在直線旋轉(zhuǎn)到平行四邊形一邊中點的特殊位置時，可以自然得出三角形的中位線定理. 該例題不但實現(xiàn)了知識點之間的銜接，而且實現(xiàn)了平行四邊形和三角形之間的相互轉(zhuǎn)化，為后面三角形的中位線定理的論證提供了添加輔助線的思路. 同時，讓學生明白對已有知識與已學例題進行深入挖掘往往會有意想不到的收獲.

二、探索碰撞生巧思：定理的論證過程

如何讓知識在思維里生長？學生只有在自我探索、實踐中不斷建構(gòu)、優(yōu)化、類比，才能深刻體會三角形與平行四邊形之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系. 我們借助三角形中位線定理的論證過程來繼續(xù)深化學生的認知. 本環(huán)節(jié)可以遵循“分析思路—添加輔助線—進行論證”三步原則進行. 借助對上述例題的分析，從不同視角得出不同的論證方法.

1. 建構(gòu)平行四邊形

如圖5，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC的中點，連接DE. 求證：DE∥BC，且[DE=12BC].

思路1（倍長中線模型1）：如圖6，延長DE至點F，使EF = DE，連接CF. 易證得△ADE ≌ △CFE. 從而證得四邊形DBCF是平行四邊形，即可得到DE∥BC，且DE =[12BC].

思路2（構(gòu)造平行模型1）：如圖6，過點C作AB的平行線，交DE的延長線于點F. 以下同理思路1，即可證得DE∥BC，且[DE=12BC].

【教學說明】思路1和思路2是學生比較容易想到的. 雖然添加輔助線后的圖形一樣，但是有不一樣的輔助線作法. 通過倍長線段或作平行線將線段倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為線段相等關(guān)系，其本質(zhì)是一樣的，都是最終轉(zhuǎn)化為平行四邊形來解決問題，為學生今后證明線段平行積累了經(jīng)驗，即要證明線段平行，不僅可以依據(jù)角之間的數(shù)量關(guān)系，還可以依據(jù)平行四邊形的性質(zhì).

思路3（倍長中線模型2）：如圖7，延長DE至點F，使EF = DE，連接DC，AF，CF，則四邊形ADCF為平行四邊形，進而得四邊形DBCF為平行四邊形. 以下同理思路1，即可證得DE∥BC，且[DE=12BC].

【教學說明】思路1至思路3都是將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形來解決. 之前研究平行四邊形時是用三角形的知識來解決的，此時我們又利用平行四邊形的知識解決了三角形的問題，讓學生體會到了相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.

思路4（構(gòu)造平行模型2）：如圖8，過點A作AG∥BC，過點E作EF∥AB，直線EF交BC于點F，交AG于點G，則四邊形ABFG是平行四邊形. 易證△AEG ≌ △CEF，則四邊形ADEG和四邊形DBFE分別為平行四邊形，從而可證得DE∥BC，且[DE=12BC].

【教學說明】通過呈現(xiàn)四種論證思路，引導學生對四種論證思路進行比較，從作輔助線、思考問題的方式、證明方法的不同視角出發(fā)，旨在讓學生體會每種證明方法的本質(zhì)都是將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形問題來解決.

2. 汲取古書的精華，體會古人的智慧

在數(shù)學教學過程中，我們可以適當培養(yǎng)學生追本溯源的優(yōu)良數(shù)學品質(zhì)，而考查問題的本源和發(fā)展歷史是最行之有效的方法.《九章算術(shù)注》和《幾何原本》是古代中外數(shù)學史上的兩部重要著作，接下來看看這兩部著作對三角形的中位線定理的論證.

古希臘數(shù)學家歐幾里得在其著作《幾何原本》中證明三角形中位線定理的方法是：先將線段之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為三角形面積之間的關(guān)系，再將三角形面積之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為直線的位置關(guān)系. 具體思路如下.

思路5：如圖9，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，連接BE和DC. 因為AD = BD，AE = CE，所以[S△EAD=S△EDB，S△EAD=S△CED.] 所以[S△EDB=][S△CED.] 所以△EDB和△CED的高相等，則DE∥BC. 因為[S△BCE=S△ABE=2S△BDE]，且△BCE和△BDE的高相等，所以[DE=12BC].

我國魏晉時期的數(shù)學家劉徽在《九章算術(shù)注》中通過“割補法”來推導三角形的中位線定理，其思路如下.

思路6：如圖10，連接△ABC兩邊的中點，即得到中位線DE. 過點A作中位線DE的垂線AH，垂足為點H. 將中位線DE上方的△ADE分割成Rt△AHD和Rt△AHE，分別將它們補到相應的位置，得到矩形BCNM，則矩形BCNM的長為△ABC的底BC，則DE∥BC，且[DE=12BC].

問題1：觀察圖10，你還有其他類似的方法嗎？

生1：如圖11，利用“割補法”構(gòu)造矩形MGHN.

問題2：如果不作中位線DE的高線，而是在DE上任取點H，連接AH，你能借用劉徽的“割補法”來證明三角形中位線定理嗎？

生2：如圖12，利用“割補法”構(gòu)造?BCNM.

【教學說明】在教學中融入歷史上證明三角形中位線定理的方法，使學生在追尋歷史足跡的過程中感受數(shù)學學科深厚的文化底蘊，感受中外數(shù)學家為數(shù)學學科發(fā)展做出的卓越貢獻. 近代教材中還出現(xiàn)了“同一法”“反證法”等，受篇幅限制在此不作拓展. 用多種方法來論證三角形的中位線定理，不僅能讓學生鞏固所學知識，而且能通過一題多解讓學生分析、比較并觀察方法之間的差異性，培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維. 一題多解的精華不在于“多”而在于歸納. 在發(fā)散思維之后，觀察到題目的解法可以分為“同質(zhì)異形”和“異質(zhì)同形”兩類. 例如，在論證中發(fā)現(xiàn)不同的構(gòu)造方法實質(zhì)都是將三角形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形的問題，這就是“同質(zhì)異形”；同樣的構(gòu)造方法不同的思維角度，這就是“異質(zhì)同形”. 教師要引導學生對上述證法進行對比、歸納，讓學生透徹理解不同的證明方法，從而學會舉一反三.

3. 舊題新做固認知：知識的鞏固過程

三角形的中位線定理可用于解決土地分割問題. 例如，某農(nóng)場有四位兄弟幸福和睦地生活著，而父親去世打破了四兄弟平靜的生活，他們?yōu)榉指罡赣H留下的一塊土地而爭論不休，誰都不肯吃虧. 已知土地的形狀為三角形，利用你所學的數(shù)學知識設(shè)計土地分割方案，并給出方案的理論依據(jù)，以此說服四兄弟接受方案. 通過構(gòu)造三角形的中線和中位線可以得到六種不同的分割方案，分別如圖13 ～ 圖18所示.

【教學說明】在構(gòu)造的過程中，可以讓學生辨析三角形的中線與中位線的概念，引導學生從數(shù)量、位置、性質(zhì)和構(gòu)造圖形的角度分別闡述三角形的中線與中位線的不同之處. 如圖19，任何三角形都有三條中線，它們在三角形的內(nèi)部且交于一點，且中線平分三角形的面積. 如圖20，任何三角形都有三條中位線，中位線EF，DE和DF把原三角形分成四個全等的三角形，即△AEF ≌ △EBD ≌ △DFE ≌ △FDC；三條中位線與原三角形可以構(gòu)成?AEDF，?EBDF，?EDCF. 上述“土地分割”問題除了用三角形的中線知識解決，也可以利用三角形的中位線定理解決. 此問題引導學生從多角度思考. 同時，從理論到實際，鍛煉了學生的應用意識和能力，體現(xiàn)了“數(shù)學既來源于生活，又服務于生活”的宗旨.

三、意猶未盡話教學：探究后的幾點思考

1. 思之美——在于精益求精

在證明三角形中位線定理的過程中，通過構(gòu)造平行線和倍長中線的方法把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形來研究，培養(yǎng)了學生的幾何直觀素養(yǎng)，滲透了類比、轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想. 學生之后在解決相關(guān)問題時能通過分析問題聯(lián)想到有關(guān)的知識，從而解決問題，這樣有利于提升學生思維的靈活性.

2. 師之慧——在于俯瞰全局

我們?yōu)槭裁匆獙W習三角形中位線定理？為什么要將三角形中位線定理安排在平行四邊形的性質(zhì)之后學習？這都是教師應該思考的問題. 一切數(shù)學的探索均源自需求. 分土地問題需要用到三角形的中位線定理來解決，且需要利用平行四邊形的性質(zhì)來論證三角形的中位線定理，所以將三角形的中位線定理安排在本章. 教師應該站在一定的知識高度上俯瞰整個教學體系，尋找新知教學的出發(fā)點和落腳點，架構(gòu)貫穿其中的最佳路徑. 基于“四個理解”來設(shè)計教學方案，打破學生的思維定式，在三角形中位線定理的證明中引入多種方法，可以拓展學生的思維，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

3. 史之趣——在于文化傳承

本節(jié)課抓住“概念生成—論證探究—古題新做”的教學主線，并且將古今中外對三角形中位線定理的探究滲透其中. 不論是歐幾里得的“面積法”還是劉徽的“割補法”，都向我們展示了圖形之美、建構(gòu)之妙. 在這樣的教學過程中，師生共同感受到了數(shù)學的博大精深和歷史悠久. 這么優(yōu)秀和多元化的知識需要我們薪火相傳并且發(fā)揚光大.

參考文獻：

［1］吳增生. 三角形中位線定理教材設(shè)計之我見［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2018（12）：3-5，10.

［2］歐幾里得. 幾何原本［M］. 燕曉東，譯. 南京：江蘇人民出版社，2011.