以動馭少引題魂 拾級而上筑題階

摘 要：在注重核心素養(yǎng)的教學(xué)理念下，教師的命題理念應(yīng)當(dāng)隨之改變. 一道題目命制的過程應(yīng)該是教師進行教學(xué)研究的過程，才能讓試題實現(xiàn)其應(yīng)有的價值. 以一道幾何壓軸題的命制過程為例，簡要闡述其命題理念與過程.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；正方形；命題；幾何

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）09-0051-05

引用格式：周煉. 以動馭少引題魂 拾級而上筑題階：談一道幾何題的命制與打磨［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（9）：51-55.

一道好題應(yīng)該是命題者選取一個熟知度高且包容性廣的知識為切入口，將自身視為研究者，用盡可能簡約的元素進行沉浸式探索與開發(fā)，還能以客觀的角度從不同視角進行理性分析，以語言得當(dāng)、邏輯嚴(yán)密、結(jié)構(gòu)完整的表述形態(tài)來呈現(xiàn)，給學(xué)生和教師都留有思考的余地和想象的空間. 下面筆者結(jié)合自己對好題的理解，簡要闡述一道幾何題的命制靈感、過程及個人思考.

一、試題呈現(xiàn)

題目 如圖1，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是邊BC，AB，CD上的點，且FG垂直平分DE，交DE于點H，AB = 3.

（1）求證：FG = DE.

（2）如圖2，取FG的中點O，連接DO，并作DO的延長線交邊AB于點I，連接EI，動點E從點C出發(fā)，沿著CB方向由點C向點B運動，到達點B后立刻停止運動.

① 在點E的運動過程中，IB + BE與CG的比值是否會隨著點E的運動而變化. 若不變，求出這個定值；若改變，說明理由.

② 求點O運動的路徑長.

二、命題的源起、設(shè)想與閱卷預(yù)設(shè)

1. 命題的源起

選擇正方形作為命題背景是因為正方形兼具軸對稱性與中心對稱性，有很大的研究價值與空間，是初中階段發(fā)展學(xué)生幾何直觀、推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的優(yōu)質(zhì)素材. 在明確了選題的大方向后，筆者便開始研究教材，在翻閱蘇科版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊（以下統(tǒng)稱“蘇科版教材”）的過程中，第9章“中心對稱圖形——平行四邊形”單元復(fù)習(xí)鞏固中一個類似“十字形”的圖形吸引了筆者的注意. 這個圖形僅僅是在正方形的基礎(chǔ)上添加了兩條線段，就能在已知兩條線段垂直的位置關(guān)系時，通過推理得到兩條線段相等的數(shù)量關(guān)系，反之亦成立. 證明的過程更是將正方形與全等三角形、矩形、余角等圖形的性質(zhì)完美地融合了起來，綜合性較強，有較大的挖掘空間. 于是確定以此圖形作為命題的基本背景，經(jīng)過一番研究后，讓一個本就不錯的幾何圖形綻放更多的光彩.

2. 命題的設(shè)想

選擇的圖形雖不復(fù)雜，但作為一道立足探究、體現(xiàn)素養(yǎng)的幾何題，需要考查學(xué)生對幾何圖形的分析理解能力，關(guān)注學(xué)生探究動態(tài)幾何問題的方法與策略，以及學(xué)生對數(shù)學(xué)知識之間相互遷移的水平，建構(gòu)幾何與代數(shù)之間的聯(lián)系，用數(shù)形結(jié)合思想從不同維度思考問題. 由于選材本身已經(jīng)在正方形的基礎(chǔ)上有了一定的拓展，所以在增加條件的過程中所添加線段盡量不超過1 ～ 2條，力求在圖形本身的簡約性的基礎(chǔ)上適當(dāng)增添一些變量，通過特殊位置的確定賦予其更多的可研究性，并以此作為命題的主線. 否則，當(dāng)條件過于復(fù)雜時，既容易干擾學(xué)生的思維，又會讓整道題顯得雜亂無章，不成體系.

3. 檢測目標(biāo)的設(shè)定與閱卷預(yù)設(shè)

根據(jù)要求，本次命題的檢測目標(biāo)是在注重基礎(chǔ)知識與基本技能的同時，充分體現(xiàn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)水平與綜合探究能力. 如此看來，整道題的結(jié)構(gòu)設(shè)置應(yīng)該遵循先易后難、層層遞進的原則，讓學(xué)生先邁出一步，解決一些簡單的問題. 隨著探究的深入，再逐漸體現(xiàn)學(xué)生的能力和素養(yǎng). 內(nèi)容的選取要從多個維度出發(fā)，確保學(xué)生盡可能地發(fā)散思維，站在不同的角度看問題，希望在閱卷的過程中能夠看到“遍地開花”的方法與策略，在“條條大路通羅馬”的命題理念下充分展現(xiàn)學(xué)生的核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力.

三、命制與打磨的過程

1. 試題的產(chǎn)生過程

（1）來之不易的兩個“一”.

① 基于原題的一條線.

由于題目想以盡可能簡約的方式考查學(xué)生的探究能力，所以需要讓原圖的一些元素“動”起來. 于是，嘗試將點E設(shè)置為線段BC上的動點，其余構(gòu)成要素不變. 比較有研究價值的是點H在一個圓上運動. 雖然這是一個不錯的研究背景，但是這樣的構(gòu)圖方式學(xué)生已經(jīng)比較熟悉，缺乏新意. 筆者便想到繼續(xù)擴大動態(tài)因素的運動范圍. 試著又增加了一個變量，將點G也設(shè)置為線段上的一個動點（如圖4）. 但這樣設(shè)置后，此題中就存在兩個主動點，使得學(xué)生對探究沒有關(guān)聯(lián)的雙變量有些摸不著頭緒. 最后，決定將變量的運動范圍縮小. 經(jīng)歷這樣的取舍過程還是有收獲的. 在移動FG的過程中，發(fā)現(xiàn)可以取一個更特殊的位置來研究問題，即線段DE的中點. 如圖5，作DE的垂直平分線交AB，CD于點F，G. 這相較于之前的情況既增加了新意和研究難度，又?jǐn)U大了動點的運動范圍，但相對于完全動點又有所約束，這樣的尺度恰到好處.

② 跳出原題的一個點.

有了基本框架后，如何讓它煥然一新，成為一道基于教材原題卻又不失個性色彩與創(chuàng)造力的新題呢？由于將命題的方向定位于動態(tài)幾何，所以幾何畫板軟件是一個有力的輔助工具. 在用幾何畫板軟件畫出整個圖形之后，通過拖動點E，觀察其在運動過程中線段之間是否存在不變的關(guān)系或者存在有研究價值的問題. 在操作中發(fā)現(xiàn)點E在線段BC上從右向左運動時，很多點都在有規(guī)律地運動. 例如，點H一直在與邊BC平行的水平線上移動，點F，G分別沿著豎直方向向上、向下運動，唯獨線段FG的中點位置像過山車一般忽上忽下，這個現(xiàn)象引起了筆者的關(guān)注. 由此，取線段FG的中點O，通過幾何畫板軟件的追蹤點功能重新將點E從點C到點B再次拖動一遍，結(jié)果不出所料，點O經(jīng)歷了先上升（如圖6）到達最高處（如圖7），隨后又下降（如圖8）的過程. 由此看來，這個點的運動路徑屬于“來回型”，既新穎又有研究價值，于是決定以此作為命題的主要研究問題.

（2）數(shù)與形的雙重表述.

① 以數(shù)悟形，直觀形象的理性視角.

從幾何畫板軟件的演示過程可以看出點O的運動情況較為復(fù)雜，只通過幾何畫板軟件的演示或許可以測量出點O的運動路徑長，但對其內(nèi)在的數(shù)學(xué)原理及其軌跡的確定并不能解釋清楚. 由于涉及該點的條件實在過少，僅從幾何角度入手研究并沒有太多的思路，于是想到從代數(shù)角度入手，從而以點B為原點，BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系（如圖9）. 設(shè)AB = a，CE = x，通過相似、中點公式和函數(shù)等知識計算出點O的坐標(biāo)為[a2， a2-x2+ax2a]. 根據(jù)點O的橫坐標(biāo)可以證明點O在直線[x=a2]上移動. 將縱坐標(biāo)配方為[-12ax-a22+5a8]. 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，當(dāng)x從0逐漸增大到a時，點O的縱坐標(biāo)先由[a2]上升到[5a8]，再由[5a8]下降到[a2]. 那么，在整個過程中，點O運動的路徑長為[a4]. 但這僅限于命題者研究問題的一種理性策略，由幾何圖形研究轉(zhuǎn)向代數(shù)建模并非一蹴而就，這中間還有幾何畫板軟件直觀層面的引導(dǎo). 要讓初中生用這種方法研究問題幾乎不太可能，也不符合學(xué)生的認知發(fā)展水平，所以還需要尋求更好的命題方式與條件設(shè)置，同時需要尋求更好的解題方法.

② 以形托數(shù)，聚焦動點的制約關(guān)系.

點O是一條動線段的中點，或許從上述代數(shù)角度可以通過運算探究其軌跡，但單純從幾何層面來看，點O所處的載體與環(huán)境似乎有些“單薄”. 那么，如何才能將研究背景變得充盈、有層次感呢？筆者想到了兩種方案. 第一種是過點O作線段BC的垂線，分別交邊AD，BC于點M，N（如圖10）. 這樣暗中提供了點O的運動路徑. 同時，點O是點E的從動點，找到了一條能用字母表示且能直接研究路徑長的線段ON. 設(shè)CE = x，用含x的式子表示線段ON的長，再用二次函數(shù)的知識來研究便水到渠成. 然而細想后發(fā)現(xiàn)，這樣設(shè)計給學(xué)生直接呈現(xiàn)了軌跡，似乎少了一些探究的樂趣. 于是想到了第二種方案：能否以轉(zhuǎn)化思想為原則將研究點O轉(zhuǎn)化為研究更好操作的點呢？由于點O是線段FG的中點，且AB∥CD，所以聯(lián)想到可以構(gòu)造“X型”全等，即延長DO交邊AB于點I（如圖11），那么點O也是DI的中點，發(fā)現(xiàn)點O與點I不僅同屬于一個運動層級，而且它們在某一時段內(nèi)走過的路徑長始終構(gòu)成中位線關(guān)系. 于是想到將研究點O轉(zhuǎn)化為研究點I. 連接E，I后，設(shè)AB = a，CE = x，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)等幾何知識可以求得IB =[-1ax-a22+][a4]. 再由二次函數(shù)的性質(zhì)可知IB的最大值為[a4]. 連接BD，取BD的中點[O′]，根據(jù)中位線的相關(guān)知識不難得出點O的運動路徑長為[a4].

（3）探索圖形變化中的不變.

一道體現(xiàn)核心素養(yǎng)、綜合性強的幾何題的命制應(yīng)該以凸顯學(xué)生的探究能力、思辨能力及觀察能力為導(dǎo)向，立足幾何直觀、推理能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使學(xué)生形成合乎邏輯的思維方式和有條理的表達能力. 因此，此時題目雖然有了大致框架，但依然值得通過分析邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系找到一個變化中不變的結(jié)論作為第二個研究話題. 繼續(xù)利用幾何畫板軟件研究，但這次是站在全局的高度觀察圖形中的各條線段，發(fā)現(xiàn)隨著點E的運動很多線段長度都隨之改變，這些線段之間一定有值得探索的數(shù)量關(guān)系，于是決定將研究方向聚焦于此. 要探索這些線段之間的關(guān)系，有一條輔助線必不可少，過點G作AB的垂線，交AB于點K（如圖12）. 因為CE = FK，而FK與AF，F(xiàn)I，IB共線，所以能夠起到通路架橋的作用. 經(jīng)分析，發(fā)現(xiàn)AB = AF + IB + FI，CD = DG + GC，且AB = CD，所以AF + IB = CG，即CG - AF = IB. 由于BK + AF = BE，即CG + AF = BE，將CG - AF = IB與CG + AF = BE兩式相加，可得2CG = IB + BE，即[IB+BECG]= 2. 也就是說，無論點E運動到何處，線段IB與線段BE的和恒為線段CG的2倍. 這樣的發(fā)現(xiàn)可謂意料之外又在情理之中. 意料之外是因為在主問題已經(jīng)足夠精彩的情況下，該圖形還能碰撞出這樣的火花；情理之中是因為整個圖形雖然簡約明快，但僅有的幾個基本圖形之間卻嚴(yán)絲合縫，相得益彰.

2. 試題的打磨與優(yōu)化

（1）首問設(shè)置應(yīng)全盤托底.

首問可以視為一道題的標(biāo)桿，既是研究的起點，也應(yīng)滲透研究的方法與策略. 設(shè)置好首問既有利于整個問題的連貫性與可研究性，也可以無形之中將學(xué)生包含在一個主題明確的思維場域中，以此為中心聚合學(xué)生學(xué)過的知識與方法解決問題.

原本第（1）小題是這樣設(shè)置的：在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是邊BC，AB，CD上的點，且FG垂直平分DE，交DE于點H，AB = 3. 若EC = 1，求DG的長.

解決方法是連接EG（如圖13），通過線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理可得DG =[53].

但細細斟酌后發(fā)現(xiàn)該問題與后面要研究的內(nèi)容幾乎毫無關(guān)聯(lián)，而“十字形”作為整個問題的主心骨是第（2）小題第①問及第（2）小題第②問研究路徑的重要前提，若不在首問中體現(xiàn)出來線段間的關(guān)系，會對學(xué)生思維的延續(xù)造成障礙，故將第（1）小題改為證明FG = DE，既為學(xué)生的思維搭建了階梯，又承擔(dān)了全盤托底的重要功能. 此外，由于第（1）小題直接取材于教材，所以正確率應(yīng)該較高. 從題目整體設(shè)計來看，第（1）小題起點較低，問題情境學(xué)生易于理解，學(xué)生能根據(jù)問題較好地調(diào)用已有經(jīng)驗，為后面深入分析問題提供思維基礎(chǔ)，符合學(xué)生的認知發(fā)展規(guī)律.

（2）搭建“腳手架”需要邊界.

① 給出支點讓思路水到渠成.

題目快成型之時，對于有一處是否需要改動，筆者思索許久，即是否需要幫助學(xué)生將IE連好. 連的好處在于有了IE這條線段后“K型”相似躍然紙上，在“K型”相似的背景下構(gòu)造二次函數(shù)模型，并得出點I呈迂回型軌跡，這對于學(xué)生是比較熟悉的，再加上點I與點O的關(guān)系，學(xué)生便能輕松轉(zhuǎn)化. 但這樣是否會失去一些探究的樂趣呢？帶著這樣的疑問，筆者將整個命題思路重新梳理了一遍，發(fā)現(xiàn)該題目設(shè)置的初衷是希望學(xué)生能夠運用轉(zhuǎn)化思想，但如果沒有IE這條線段，學(xué)生可能就察覺不到關(guān)于點I的二次函數(shù)模型. 而當(dāng)失去了對點I的“想象”后，學(xué)生很難再將點O與點I產(chǎn)生思維聯(lián)系. 轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)建模同時出現(xiàn)已經(jīng)增加了難度，若再要學(xué)生尋找這條輔助線就會讓題目變得處處磕碰. 適當(dāng)設(shè)置一個合理的支點并不會讓題目顯得索然無味，反而更能激起學(xué)生進行有邏輯地探究，拾級而上才能站得更高.

② 收回指引讓策略四通八達.

在歷經(jīng)百般思考與打磨之后，最終決定將這道題編制出來. 但在進行難度綜合考量時，發(fā)現(xiàn)該題難度略微大了一些，考慮要不要再給學(xué)生增加一個“腳手架”，讓該題非常濃厚的“代數(shù)味”更容易被接受，讓學(xué)生更輕松地想到用代數(shù)思維去解決幾何問題，以理性駕馭感性. 若幫學(xué)生設(shè)好未知數(shù)，令CE = x，相信學(xué)生在解決第（2）小題時就會計算出BE = 3 - x，BI =[-13x2+x]，CG =[-16x2+32]，BE + BI =[-13x2+3]，BE + BI剛好是CG的2倍. 同時，在有了BI的表達式后，學(xué)生更容易發(fā)現(xiàn)BI的長度是一個二次函數(shù)，點I的運動路徑就直接呈現(xiàn)出來了. 這樣修改無疑可以給予學(xué)生更加明確的方向，也降低了題目的難度，但似乎該題的“探究味”也淡了許多，失去了很多本來應(yīng)有的色彩，更像是一道“計算題”了. 或許有的學(xué)生會像筆者設(shè)計第（2）小題時一樣，站在整體的角度綜合分析各條邊之間的數(shù)量關(guān)系求解，或許有的學(xué)生能夠設(shè)兩個未知數(shù)，如CE = a，CG = b，用更簡單的代數(shù)運算去證明. 但是有了一個明確的指令后，這些“天外來物”都會“煙消云散”，哪怕略有一些難度，也要留給學(xué)生更多想象的空間，營造“條條大路通羅馬”的解題氛圍.

四、兩點思考

1. 以少寓多方可包羅萬象

命制一道幾何綜合題自然需要多包含一些要素讓題目更有層次感與趣味性，但這種“復(fù)雜”不能建立在“煩瑣”的基礎(chǔ)上，而是要以“極簡”的形承載“有層次”的核. 這需要命題人對初中階段的幾何圖形及知識之間相互的關(guān)聯(lián)有較深刻的理解，以少的結(jié)構(gòu)寓多的內(nèi)涵. 該題有這樣幾處遵循了“以少寓多”的命題理念. 首先，是素材的選擇. 該題選擇教材上較為簡單的“十字形”模型為素材，在不添加任何線段的情況下，只是讓圖形“動”了起來，并將“十字形”中的一條線段設(shè)定為另一條線段的垂直平分線，再取該線段的中點，題目的雛形就此完成. 就是在這樣平平無奇的圖形中，卻能探索圖形運動過程中線段之間的數(shù)量關(guān)系與變化中的不變規(guī)律. 第（2）小題第②問涉及的轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)建模思想、軌跡思想都具有一定的綜合性與發(fā)展性. 雖然以簡單的圖形起步，但稍作改編后卻是精彩紛呈的大千世界. 其次，在第（2）小題兩問的設(shè)置上最終沒有繼續(xù)添加條件“設(shè)CE = x”作為“腳手架”，適當(dāng)留白才會給學(xué)生無限的可能. 命題者畢竟只有一個人的想法，而學(xué)生卻有一群人的智慧，以自己的假設(shè)去揣度學(xué)生的思想是主觀的，是具有掠奪性的，反而會限制學(xué)生的思路，使學(xué)生的思路變得狹隘，以少的牽引迸發(fā)多的靈感或許更能從解決問題的層面發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 最后，筆者近期又對該圖形展開了研究，發(fā)現(xiàn)在給定線段垂直平分線的基礎(chǔ)上，嘗試只添加一條輔助線構(gòu)成新的圖形有三種方式，分別是連接BD交FG于點O（如圖14），連接AC交FG于點O，交DE于點I（如圖15），連接EF（如圖16）. 這些圖形都有很多值得研究的地方，在此不一一贅述. 看來一個真正意義上的好圖形是不需要過于復(fù)雜的包裝的. 越是簡單，反而越能給予教師和學(xué)生更多的思考空間與可能性.

2. 循序漸進便能渾然天成

命制試題是一項急不得的慢活，就如泡一杯茶，蓋一座房子，需要按照步驟一步一步進行，最終才能呈現(xiàn)出一道好題. 該題從圖形探索到首問的設(shè)置再到支點的推敲無不循序漸進，從大局出發(fā)，整體與部分相結(jié)合地調(diào)整與打磨. 在圖形探索階段，從靜態(tài)圖形開始，通過增加一個變量讓其“動”起來，經(jīng)歷了從“確定”到“任意”地擴大研究范圍，再從“任意”到“確定”地尋求研究內(nèi)容，以結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的命題方式最終確定了研究對象. 在問題設(shè)置階段，注重首問的鋪墊性，緊緊圍繞該題的基本結(jié)構(gòu)“十字形”展開，設(shè)置證明“十字形”的首問可以在方法與策略上引導(dǎo)學(xué)生完成對后續(xù)問題的深入思考與探究，使得題目更具有連貫性與探究性，更符合初中生現(xiàn)有的認知水平，主線、支線雙線并進使得題目條理分明、主次突出. 在添加“腳手架”階段，發(fā)現(xiàn)在研究動點O與可轉(zhuǎn)化的動點I之間存在著太多的思維難點. 對學(xué)生來說，要想在軌跡探究、主次分析、轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造中位線等方面一步到位是非常困難的. 而給出輔助線IE后便能拉近點I與點O的距離，讓學(xué)生能夠更自然地找到轉(zhuǎn)化的方向，使解題一氣呵成，渾然天成.

參考文獻：

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