深挖題目變式 提升應(yīng)用意識

摘 要：在建立函數(shù)模型解決實際問題的活動中，關(guān)鍵是從現(xiàn)實情境中抽象出核心變量，分析變量之間的數(shù)量關(guān)系. 以一道中考模擬題為例，引導學生分析二次函數(shù)表達式中各項系數(shù)與圖象之間的關(guān)系，通過自編題目構(gòu)建各種變式，幫助學生建立這些系數(shù)與現(xiàn)實問題的聯(lián)系，讓學生理解實際問題背后的數(shù)學本質(zhì)，培養(yǎng)學生的模型觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.

關(guān)鍵詞：二次函數(shù)；系數(shù)與圖象的關(guān)系；模型觀念

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）09-0042-04

引用格式：曹自由，李婷. 深挖題目變式，提升應(yīng)用意識：以一道中考模擬題為例［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2024（9）：42-45.

《義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）》要求以結(jié)構(gòu)化數(shù)學知識主題為載體，發(fā)展學生的空間觀念、幾何直觀、抽象能力和推理能力，在解決問題特別是跨學科問題中發(fā)展學生的模型觀念、數(shù)據(jù)觀念、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識. 因此，在二次函數(shù)應(yīng)用的教學中，教師應(yīng)該引導學生理解二次函數(shù)表達式中各項系數(shù)的幾何意義，進一步在實際情境中解釋各項系數(shù)的現(xiàn)實意義，幫助學生理解實際問題中蘊含的數(shù)學本質(zhì)，提升學生應(yīng)用二次函數(shù)解決實際問題的能力. 下面以北京市朝陽區(qū)一道模擬題為例，對二次函數(shù)應(yīng)用的教學進行思考.

一、原題呈現(xiàn)

題目 某公園在人工湖里建造一道噴泉拱門，工人在垂直于湖面的立柱上安裝噴頭，從噴頭噴出的水柱的形狀可以看作拋物線的一部分. 安裝后，通過測量獲得如表1所示的數(shù)據(jù)，噴頭高出湖面3米，在距離立柱水平距離為d米的地點，水柱距離湖面的高度為h米.

試解決以下問題.

（1）如圖1，在網(wǎng)格中建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，根?jù)已知數(shù)據(jù)描點，并用平滑的曲線連接.

（2）結(jié)合表1中所給數(shù)據(jù)或所畫圖象，直接寫出水柱最高點距離湖面的高度.

（3）求h關(guān)于d的函數(shù)表達式.

（4）公園希望游船能從噴泉拱門下穿過，已知游船的寬度約為2米，游船的平頂棚到湖面的高度約為 1米，從安全的角度考慮，要求游船到立柱的水平距離不小于1米，頂棚到水柱的豎直距離也不小于1米. 工人想通過只調(diào)整噴頭距離湖面的高度（不考慮其他因素）就能滿足上述要求，通過計算說明應(yīng)如何調(diào)整.

二、原題解讀

此題是在已知函數(shù)類型是二次函數(shù)的前提下，根據(jù)實際問題中的數(shù)據(jù)進行描點、畫圖，求出函數(shù)表達式，再放置于現(xiàn)實的情境中，引導學生思考并解決問題. 對于第（1）小題，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標系，描點，用平滑的曲線連接即可；對于第（2）小題，結(jié)合圖象與數(shù)據(jù)，可以得出最高點的坐標為[1，4]，進而得出結(jié)論；對于第（3）小題，可以設(shè)頂點式[h=ad-12+4]，代入點[3，0]，即可求出該二次函數(shù)的表達式；對于第（4）小題，可以設(shè)平移后的函數(shù)表達式，根據(jù)題意，根據(jù)當d = 3時，h ≥ 2，即可求出所需調(diào)整的最小值. 此題考查了二次函數(shù)的三種表達方式及二次函數(shù)的應(yīng)用，考查了學生的模型觀念和運用所學知識解決實際問題的能力.

此題依托教材中的噴泉素材，從噴泉噴水及改造這一生活場景出發(fā)（如圖2），將函數(shù)模型融入其中，展現(xiàn)了數(shù)學與生活的緊密聯(lián)系，綜合考查了學生的推理能力和獲取信息的能力.

三、有關(guān)噴泉問題的變式思考

教師要將課堂上的數(shù)學知識延伸到實際生活中，呈現(xiàn)給學生一個五彩繽紛的數(shù)學世界. 數(shù)學中的函數(shù)模型與現(xiàn)實生活及其他學科都有著十分密切的聯(lián)系. 當利用函數(shù)來建立數(shù)學模型并解決問題時，涉及的變化過程成為了解決問題的關(guān)鍵. 在九年級中考備考沖刺階段，該題的創(chuàng)新點為將二次函數(shù)應(yīng)用于實際問題中. 我們可以將此類函數(shù)模型的題目分成兩大類：第一類是在未知函數(shù)類型的前提下，根據(jù)實驗得出數(shù)據(jù)，繪制圖象，并擬合函數(shù)進行預測；第二類是在已知函數(shù)類型的情況下，對函數(shù)表達式進行求解，并能將其靈活應(yīng)用于實際問題的解決中. 其中，第一類可以通過“剎車距離問題”“茶水的最佳飲用時間問題”等在教學中滲透. 本文主要針對如何把第二類函數(shù)模型問題融入課堂教學中進行思考，結(jié)合該題進行變式，與讀者分享.

該題的第（4）小題具有很大的靈活性，因此在控制難度的情況下，結(jié)合實際對該問進行變式，目的是讓學生體會將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的過程，并能在解決問題的過程中學會如何合理地建立函數(shù)模型. 在二次函數(shù)的應(yīng)用中常常要借助數(shù)形結(jié)合的方法解決問題. 首先明確二次函數(shù)表達式中系數(shù)的幾何意義與現(xiàn)實意義的轉(zhuǎn)化，才能在后續(xù)變式的思考上更加全面，有針對性，有創(chuàng)新性. 對于二次函數(shù)[y=ax2+bx+c][a≠0]，系數(shù)a確定了二次函數(shù)的形狀（拋物線的開口方向與開口大?。?，a和b共同確定了二次函數(shù)的對稱軸，決定了二次函數(shù)圖象的左右移動，c確定了二次函數(shù)與y軸的交點，決定了二次函數(shù)圖象的上下移動. 基于以上，可以從以下幾個視角來思考變式：調(diào)整噴頭的位置，調(diào)整船的規(guī)格，判斷方案是否可行.

變式1：公園希望在立柱的右側(cè)設(shè)立一個觀景臺，已知這個平行于水面放置的長方體觀景臺高度為1米，底部距離水面2米，左邊緣離立柱的水平距離為3米，從安全的角度考慮，要求觀景臺到水柱的水平距離不小于1米（觀景臺在水柱的外側(cè)）. 現(xiàn)將一個支架安裝在立柱的頂部，通過移動支架可以達到移動噴頭的目的，工人想通過調(diào)整噴頭的水平位置（不考慮其他因素）就能滿足上述要求，通過計算說明應(yīng)如何調(diào)整.

變式2：公園希望游船能從噴泉拱門下穿過，已知游船的最大寬度約為2米，游船的平頂棚到湖面的高度約為1米，從安全的角度考慮，要求游船到立柱的水平距離不小于1米，頂棚到水柱的豎直距離也不小于1米. 工人想只通過調(diào)整噴頭噴射的角度（不考慮其他因素），使水柱在距立柱水平距離為1.5米處達到最高點且最大高度不變，則游船此時能否從拱門下穿過？

變式3：公園希望游船能從噴泉拱門下穿過，已知游船的最大寬度約為2米，游船的平頂棚到湖面的高度約為1米，從安全的角度考慮，要求游船到立柱的水平距離不小于1米，頂棚到水柱的豎直距離也不小于1米. 工人想通過調(diào)整噴頭噴射的角度，同時調(diào)整噴頭的位置，使水柱仍然在原位置處達到最高點，并且水柱能在水平方向上比原來多噴射1米，則游船此時能否從拱門下穿過？

變式4：若距離原水柱在湖面落地外1米的位置處有一個高于水面2米的小雕塑，則噴頭應(yīng)該調(diào)整到什么位置（不考慮其他因素），才能使調(diào)整后的水柱恰好可以落在小雕塑的頂部，且噴頭始終保持在小雕塑的左側(cè).

以上四個變式，要先關(guān)注學生對于長段文字的閱讀理解能力. 對于變式1，不用關(guān)注觀景臺是否為懸空的這個細節(jié)，在利用函數(shù)模型解決問題時有些無關(guān)的要素可以舍棄. 教師通過引導學生逐句閱讀和畫圖，啟發(fā)學生用形象化的方法將文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言.“工人想通過調(diào)整噴頭的水平位置（不考慮其他因素）”指的是噴泉水柱的形狀不變，只是形的特征，對應(yīng)二次函數(shù)的表達式就是a不變，c不變. 若轉(zhuǎn)化為頂點式[y=ax-d2+h]，則頂點的縱坐標h不變. 經(jīng)過上述分析，學生就會對二次函數(shù)表達式中系數(shù)的幾何意義和現(xiàn)實意義的聯(lián)系有清晰的認識.

對于變式2，學生可能會認同“只調(diào)整噴頭噴射角度的條件下，拋物線的水柱仍能在原位置達到最高點”這一錯誤的觀點，出現(xiàn)此問題的主要原因是學生的實際生活經(jīng)驗較少，所以可以利用家里的可調(diào)節(jié)角度水龍頭做演示，讓學生體會到“在只調(diào)整噴頭噴射角度的情況下，若噴頭與水平面的角度變大，則達到最高點的水平距離會縮短，水柱的最大高度會增大；若噴頭與水平面的角度變小，則變化方式與上述相反”這一結(jié)論，從而根據(jù)水柱的變化情況建立正確的二次函數(shù)模型.

變式2展現(xiàn)了一個全新的思路，旨在考查學生對二次函數(shù)性質(zhì)的靈活運用. 對于此變式，如果依然是先設(shè)二次函數(shù)的頂點式進行求解，會發(fā)現(xiàn)有3個變量，但是只能列出兩個方程；如果只通過字母之間的關(guān)系來求解，會十分復雜和困難. 所以對題目進行深入分析，嘗試轉(zhuǎn)變思路. 變式2中，如果二次函數(shù)的系數(shù)a不確定，那么就可以用二次函數(shù)的性質(zhì)來解決問題，這里用到了二次函數(shù)圖象的對稱性，由最高點的水平位置可以得出對稱軸，再抓住題目中的關(guān)鍵“噴頭的高度”對應(yīng)的點的坐標為[0，3]，得到對稱后的點的坐標為[3，3]，其意義為當水平距離為3米時，水柱的高度為3米. 由題意可知，當水平距離為3米時，豎直高度只要不小于2米即可，所以得出結(jié)論是游船能夠從拱門下穿過，從而巧妙地解決問題.

變式3中的關(guān)鍵信息是“工人想通過調(diào)整噴頭噴射角度，同時調(diào)整噴頭的位置”和“使水柱仍然在原位置處達到最高點”，明確了拋物線的形狀發(fā)生改變，但頂點仍為[1，4]，可以利用頂點式來表示二次函數(shù)的表達式. 在解決上述問題的過程中，學生也感受到建模不僅僅是先猜想模型再驗證，還有很多時候是要通過理性分析得到模型，這個環(huán)節(jié)是不可或缺的. 同時，教師也要鼓勵學生敢于質(zhì)疑，并能通過各種方法尋求真理.

變式4仍然是拋物線的形狀不變，通過對小雕塑位置的描述得出坐標，調(diào)整噴頭的方式主要有兩種，左、右平移或者上、下平移.

由以上四個變式，從數(shù)形結(jié)合的角度來看，對于一個二次函數(shù)[y=ax2+bx+c][a≠0]：若a確定，可以運用二次函數(shù)圖象的平移解決問題；若a不確定，則可以運用二次函數(shù)的性質(zhì)來突破問題.

綜上，改變噴頭位置的情境已經(jīng)較為全面，本質(zhì)上就是對函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，在此過程中提升學生的抽象能力、運算能力和模型意識. 此情境中有兩個研究對象，分別是噴泉和游船. 前面四個變式都是對噴泉進行調(diào)整，那么如果對游船加以限制，又將如何解決問題呢？嘗試解決變式5.

變式5：游船從噴泉下穿過，游船的平頂棚到湖面的高度為1米，要求游船到立柱和水柱的水平距離均不小于0.5米，頂棚到水柱的垂直距離不小于1米，問游船最寬為多少米？（結(jié)果保留小數(shù)點后一位.）

另外，還可以綜合多種變化方式進行變式，如變式6.

變式6：對于第（4）小題，有如下三種方案，哪種方案是可行的？

甲：噴射角度不變，將噴頭向上移動2米；

乙：噴射角度不變，將噴頭向下移動3米；

丙：將噴頭向下移動3米，改變噴射角度使水柱仍然在原位置處達到最高點.

變式6中，甲、乙方案是保持拋物線的形狀不變（a不變），上下平移拋物線（b不變，c變），丙方案是拋物線的形狀改變（a變），最高點的位置不變（頂點不變）. 變式6引導學生對問題情境進行靈活分析，對二次函數(shù)表達式中系數(shù)的幾何意義和現(xiàn)實意義進行流暢轉(zhuǎn)化，重視數(shù)形結(jié)合思想方法，從而順利解決問題.

解決問題的過程是教師引導學生思考問題的一種思維方式. 在面對實際問題時，應(yīng)該培養(yǎng)學生靈活地處理問題，并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題的綜合能力，深入分析實際問題的情境，并將必要的外界因素作為解題條件，經(jīng)過一系列的數(shù)學運算后得到數(shù)學解答，最終聯(lián)系實際情境將數(shù)學解答重新轉(zhuǎn)換為實際方案應(yīng)用于生活實踐中，使學生在解題思路和解題方法上清晰透徹，在思維上形成閉環(huán).

教師要適應(yīng)時代的發(fā)展，轉(zhuǎn)變教育觀念，創(chuàng)設(shè)能夠啟發(fā)學生學習、掌握和應(yīng)用數(shù)學知識的情境，設(shè)置能夠啟發(fā)學生主動探究和討論，并能在后續(xù)學習中不斷反思的問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新意識和抽象能力，發(fā)展其模型觀念，達到培養(yǎng)創(chuàng)新型人才的目的.

四、結(jié)束語

建立二次函數(shù)模型解決實際問題的過程是：分析模型（文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言）—建立模型（選擇合適的方法）—求解模型（符合實際情況）. 噴泉、投籃、滑雪等是生活中的常見現(xiàn)象. 為了研究其中的運動變化過程，我們需要把握主要因素，忽略次要因素，將其簡化和抽象成數(shù)學問題. 總而言之，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題并求解的過程是復雜的. 一方面，教師應(yīng)該引導學生關(guān)注影響事物發(fā)展的主要因素，并提出合理的猜想建立數(shù)學模型；另一方面，教師要引導學生檢驗反思模型的可行性，并用于正視模型的不足，嘗試提出修改方案. 通過這樣的數(shù)學學習，使學生逐步會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，使數(shù)學模型能夠更好地幫助我們解決實際生活中的問題，真正做到數(shù)學中處處有生活，生活中處處是數(shù)學.

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學出版社，2022.

［2］徐淑輝. 讓生活中的數(shù)學走進課堂［J］. 中國職業(yè)技術(shù)教育，2010（5）：70-72.