有序開展數(shù)學實驗，發(fā)展幾何直觀能力

摘 要：數(shù)學實驗教學可以有效改變學生學習數(shù)學的方式，與幾何直觀這一關鍵能力的發(fā)展緊密相關. 在“最短路徑之造橋選址問題”的教學中，通過幾何畫板軟件、折紙操作、動手作圖開展不同形式的數(shù)學實驗教學，發(fā)現(xiàn)實驗教學對提高學生基于幾何直觀的感性認識、理性思考和表達應用具有積極的促進作用. 由此受到啟示，依據(jù)學生的認知發(fā)展規(guī)律，有序開展數(shù)學實驗教學能有效促進學生幾何直觀能力的發(fā)展.

關鍵詞：數(shù)學實驗；幾何直觀；造橋選址

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）09-0037-05

引用格式：章源，劉永東. 有序開展數(shù)學實驗，發(fā)展幾何直觀能力：以“最短路徑之造橋選址問題”的教學為例［J］. 中國數(shù)學教育（初中版），2024（9）：37-41.

一、問題提出

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準》）指出，數(shù)學課程要培養(yǎng)的核心素養(yǎng)，主要包括會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界、會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界三個方面，體現(xiàn)出對學生正確價值觀、必備品格和關鍵能力的培養(yǎng)要求. 關鍵能力是學生通過學習數(shù)學獲得的，是支撐學生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展的必備能力，是數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)實踐落地的抓手. 從數(shù)學核心素養(yǎng)組成要素的角度看關鍵能力，在初中階段，數(shù)學核心素養(yǎng)具體表現(xiàn)為抽象能力、運算能力、幾何直觀、空間觀念、推理能力、數(shù)據(jù)觀念、模型觀念、應用意識和創(chuàng)新意識. 其中，幾何直觀是一種形成對圖形的認識并利用圖形描述和分析數(shù)學問題的能力，與學生學習的自主性和探究性密切相關，需要通過主動參與、樂于研究、勤于動手的學習方式得以獲得和發(fā)展. 數(shù)學實驗是運用有關工具（如紙張、剪刀、模型、直尺、圓規(guī)、計算機等），在數(shù)學思維參與下進行的一種以學生人人參與的實際操作為特征的數(shù)學驗證或探究活動. 由此可見，數(shù)學實驗教學是培養(yǎng)幾何直觀關鍵能力的有效手段和途徑. 對此，筆者以人教版《義務教育教科書·數(shù)學》八年級上冊“13.4 課題學習 最短路徑問題”的第2課時“造橋選址問題”為例開展數(shù)學實驗教學，并進行教學過程簡析，揭示有序開展數(shù)學實驗教學能有效發(fā)展學生幾何直觀關鍵能力的三個視角.

二、教學過程簡析

1. 復習回顧，類比遷移

活動1：回顧上節(jié)課學習的“將軍飲馬”問題，其中最主要的解決問題的方法是什么？

師生活動：教師引導學生回顧“將軍飲馬”問題的解決過程與方法，讓學生再次感悟解決問題時“化折為直”的轉(zhuǎn)化思想.

【設計意圖】通過類比解決“造橋選址”問題，幫助學生整合已有的認知結構，不僅簡單易行，而且符合學生的認知發(fā)展規(guī)律.

2. 小組交流，提出猜想

活動背景（造橋選址）：如圖1，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN. 橋造在何處可以使從A地到B地的路徑AM + MN + NB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直，且測量時人正面對著河的兩岸.）

活動2：呈現(xiàn)對“造橋選址”問題的猜想和發(fā)現(xiàn)，并在小組內(nèi)交流與思考猜想的合理性.

師生活動：學生先自己繪圖，然后與其他學生的繪圖進行比較，小組內(nèi)交流，猜想最短路徑. 教師巡視指導.

下面為部分學生給出的作圖方案.

方案1：如圖2（a），連接AB，交直線a于點M，過點M作MN垂直于直線b，垂足為點N，連接BN.

方案2：如圖2（b），連接AB，交直線b于點N，過點N作MN垂直于直線a，垂足為點M，連接AM.

方案3：如圖2（c），過點A作直線a的垂線，分別交直線a，b于點M，N，連接BN.

方案4：如圖2（d），過點B作直線b的垂線，分別交直線a，b于點M，N，連接AM.

【設計意圖】很多情況下，知識的提煉可以借助圖形或圖式進行. 學生自行繪圖并對比不同圖形的過程，能有效促進學生認識各種因素間的聯(lián)系，不斷糾正自我理解認知偏差，初步辨析應該選擇哪些因素來加以表現(xiàn).

實際上，幾何直觀的培養(yǎng)不是一蹴而就的，是需要按照層次，從易到難有序進行的. 若參照《標準》中了解、理解、掌握、應用的四個目標層次來區(qū)分幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展水平，則對比屬于從“了解”層次發(fā)展幾何直觀.

3. 畫板助力，直觀實驗

活動3：利用幾何畫板軟件檢驗以上方案，看看哪個方案符合要求.

師生活動：教師和學生一起操作幾何畫板軟件，變換點M和點N的位置，記錄不同方案中AM，MN，NB三條線段的和.

師：在同學們提出的4種方案中（如圖3），方案2中的三條線段和最小，它是最短路徑嗎？為什么？

生1：我認為方案2不是最短路徑. 連接AB，因為“兩點之間線段最短”，所以此時點A，B之間的距離是最短的. 但是方案2中AM，MN，NB三條線段的和并不等于點A，B之間的距離.

師：生1講解得很有道理. 圖3（b）的確不是最短路徑. 在比對了4種方案后，你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：我發(fā)現(xiàn)橋長MN其實是不變的，因為平行線間的距離處處相等.

生3：我發(fā)現(xiàn)求三條線段和的最小值，其實只需要求線段AM和BN的和的最小值即可.

師：生2和生3分析得非常好. 他們發(fā)現(xiàn)了解決選址造橋問題的重要突破口，實現(xiàn)了問題的轉(zhuǎn)換.

【設計意圖】若直接用數(shù)學原理解釋學生的猜想是否具備合理性，則無法發(fā)展學生的幾何直觀，學生也會因其抽象性而難以理解數(shù)學問題. 利用幾何畫板軟件精準作圖，設置動點，對不同方案進行動態(tài)展示，能讓學生在度量和數(shù)據(jù)比較中驗證猜想的可行性.

實質(zhì)上，這是把一個未知事件和已知事件的事實進行比較，具有直觀性和可操作性. 利用學生可以參與、操作、觀察及隨時調(diào)整的數(shù)學實驗，不僅能有效激發(fā)學生的學習熱情，而且能在動態(tài)演示中增強學生的幾何直觀，從而讓學生發(fā)現(xiàn)問題中的變量和不變量，找到解決問題的突破口. 此處借助圖形在實驗中尋求得到解決問題的方法，屬于從“理解”層次發(fā)展幾何直觀.

4. 折紙操作，啟發(fā)誘導

活動4：類比“將軍飲馬”問題，通過折紙?zhí)骄咳绾谓鉀Q“造橋選址”問題.

問題1：“將軍飲馬”和“造橋選址”兩個問題的區(qū)別和聯(lián)系是什么？

問題2：小組合作，思考如何通過折紙將“造橋選址”問題轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬”問題？

問題3：如圖4，在折紙的過程中有什么變化，如何用數(shù)學知識進行解釋？

師生活動：在小組合作中，學生經(jīng)歷了觀察、動手操作、討論交流的過程. 教師巡視，在學生遇到困難時給予啟發(fā)性引導.

【設計意圖】問題1旨在引導學生通過類比學習，發(fā)現(xiàn)“造橋選址”問題也可以“化折為直”，但需要突破學生對模型特征的異同認知. 問題2旨在啟發(fā)學生通過折紙使得兩條直線重合從而成功轉(zhuǎn)化問題. 問題3旨在進一步引發(fā)學生深度思考，發(fā)現(xiàn)折紙的本質(zhì)是平移，利用平移的數(shù)學知識解釋折紙的過程，并發(fā)現(xiàn)不同的解法. 小組合作折紙活動提升了學生的幾何直觀能力，讓學生在數(shù)學交流中產(chǎn)生了頓悟，找到了解決問題的辦法.

數(shù)學實驗教學強調(diào)學生動手操作的真實感受，強調(diào)在交流中參與并生成知識的過程，即強調(diào)在操作發(fā)現(xiàn)和交流的全過程中充分理解為什么要平移及怎樣平移的教學關鍵點，使得學生的認知從感性層面上升到理性層面，不僅激發(fā)了學生的探索欲望，啟迪了學生的思維，而且提升了學生解決問題的能力. 模型是一種思維輔助工具. 折紙這一實物模型是學生容易理解的. 引導學生分析研究模型并和已有認知聯(lián)系起來，從直觀折紙到認識數(shù)學對象之間的聯(lián)系，屬于從“掌握”層次發(fā)展幾何直觀.

5. 格點作圖，提升思維

活動5：在格點中作圖，完成下列問題.

（1）如圖5（a），從[A]地到[B]地要經(jīng)過一條小河（河岸平行），今欲在河上建一座與兩岸垂直的橋[MN]，在格點紙中作圖找到點[M，N]的位置，使得此時從[A]地到[B]地的路徑最短.

（2）如圖5（b），從[A]地到[B]地要經(jīng)過兩條小河（河岸平行），今欲在兩條河上分別建一座與兩岸垂直的橋[MN]和[PQ]，在格點紙中作圖找到點[M，N，P，Q]的位置，使得此時從[A]地到[B]地的路徑最短.

（3）如圖5（c），從[A]地到[B]地要經(jīng)過兩條小河（河岸平行），今欲在兩條河上分別建一座與兩岸垂直的橋[MN]和[PQ]，在格點紙中進行作圖找到點[M，N，P，Q]的位置，使得此時從[A]地到[B]地的路徑最短.

師生活動：學生按照要求在格點紙中作圖，教師巡視指導.

【設計意圖】“造橋選址”問題涉及平移橋長，不易作圖進行考查，由此對該問題進行適當改編，放置在格點中進行考查，有利于學生理解平移轉(zhuǎn)化的作法，方便作圖. 通過變式問題能加深學生理解“造橋選址”問題中的平移、“化折為直”等方法的妙用，并舉一反三，有效提升學生的思維能力.

數(shù)學活動形式需要多樣化. 上述活動是在問題的引領下開展的，而數(shù)學學習離不開解題，因此筆者將整節(jié)課活動的全過程以“雙題”形式呈現(xiàn)，既有數(shù)學問題，又有數(shù)學題目. 圖形是數(shù)學幾何語言的外在表達方式，根據(jù)符號語言或文字語言，進行抽象并畫出圖形，這既是幾何直觀的重要體現(xiàn)，也是幾何直觀能力培養(yǎng)的重要手段.

在新情境下，學生將概念和直觀感受聯(lián)系起來，在模型化的過程中，推導各種解釋和預測并產(chǎn)生知識的遷移，是發(fā)展幾何直觀的應用層次.

6. 歸納整理，學后反思

師：前面的每一個活動是如何完成的？在完成過程中遇到了哪些問題或困惑？你是如何解決的？還有哪些疑問或者需要解決的問題？

師生活動：學生發(fā)言歸納總結，教師基于學生的反饋，對整節(jié)課的學習過程進行梳理，包括知識技能，以及方法性知識和價值性知識.

【設計意圖】學習之后的回顧與反思是非常重要的. 本節(jié)課中，圖形的特征變化構成了學生對概念記憶的支撐過程. 學生將已有知識和現(xiàn)有概念或數(shù)學實驗聚合在一起內(nèi)化理解，實現(xiàn)真正意義上的學習，這樣在之后有關內(nèi)容的學習中，相關的記憶更容易被喚醒.

三、教學啟示

人的認知發(fā)展具備階段性，從感性認識的初級階段，到理性思考的高級階段，再到實踐創(chuàng)新階段，教師的教學應該遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律，有序開展數(shù)學教學活動. 初中生的思維處于經(jīng)驗型邏輯思維階段，辯證邏輯思維和創(chuàng)造性思維處在發(fā)展的關鍵期，仍然需要較多感性經(jīng)驗的支撐. 因此，數(shù)學實驗活動中，教師可以先通過直觀演示刺激學生初步形成感性認識，然后采用直觀的實驗操作深化學生的理性思考，最后引導學生對實驗成果進行表達、輸出和應用.

1. 動態(tài)演示指向幾何直觀的感性認識

相比于靜態(tài)的、平面的實物或圖像的直觀演示，利用幾何畫板軟件的動態(tài)演示更能直觀刺激學生初步形成對幾何圖形的感性認識. 例如，對于“造橋選址”問題的講授，在傳統(tǒng)的教學中，教師一般只呈現(xiàn)靜態(tài)的結果圖示，導致學生常常不能理解如何找到最短路徑，甚至很多學生上完課就忘記了解答過程. 數(shù)學實驗注重實測和直觀，讓數(shù)學知識在實驗的過程中實現(xiàn)“可視化”. 幾何畫板軟件具有強大的交互性和動態(tài)圖像生成功能，能將內(nèi)容“動態(tài)化”呈現(xiàn). 教師將學生對“造橋選址”問題的初步思考方案用幾何畫板軟件進行動態(tài)展示，并利用幾何畫板軟件生成路徑的測量數(shù)據(jù)，有助于學生形成對幾何對象、關系、變換等的直觀和感性認識. 雖然由于自身認知和能力的局限性，學生最初的思考方案并不是正確答案，甚至與正確答案相差甚遠，但正是這種試誤的數(shù)學實驗過程，讓學生有了探索發(fā)現(xiàn)、不斷嘗試和猜想檢驗的機會. 學生逐漸能理解“從A地到B地的路徑最短”的幾何直觀含義，并能將其用文字語言、圖形語言和符號語言進行表達.

2. 折紙操作指向幾何直觀的理性思考

在直觀操作的數(shù)學活動中，讓學生經(jīng)歷完整的操作過程是積累理性思考經(jīng)驗的重要途徑. 折紙是對實物或圖形運動的動手操作過程，具有直觀性，讓學生體驗將圖形語言、文字語言、符號語言轉(zhuǎn)化為圖形的變換過程，在轉(zhuǎn)化的過程中深化理性思考. 折紙操作中蘊含著豐富的數(shù)學思想方法，尤其是轉(zhuǎn)化思想. 學生通過折紙發(fā)現(xiàn)了“造橋選址”問題和“將軍飲馬”問題的聯(lián)系與區(qū)別，通過將兩條直線折疊重合，成功將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題. 在折紙的數(shù)學實驗中，學生逐步轉(zhuǎn)化數(shù)學問題，將對幾何直觀的感性認識提升為理性思考. 學生思考兩條直線折疊、重合過程中的變與不變，發(fā)現(xiàn)兩條直線的位置關系，以及折疊、重合過程中的平移變換，將問題抽象為兩點在直線異側(cè)求最短路徑的數(shù)學模型，從而完成數(shù)學建模并最終解決問題. 折紙的數(shù)學實驗有助于學生形成對幾何直觀的理性思考，不僅對學生數(shù)學思維能力的培養(yǎng)有著積極的促進作用，還可以提高學生學習數(shù)學的興趣，對培養(yǎng)學生的團隊精神、探究精神和創(chuàng)新精神，觀察能力，以及分析問題和解決問題的能力也會起到積極的促進作用.

3. 幾何作圖指向幾何直觀的實踐創(chuàng)新

實踐創(chuàng)新與應用是能力形成的體現(xiàn). 幾何直觀能力指對數(shù)學研究對象（空間形式和數(shù)量關系）進行直接感知、整體把握的能力. 本節(jié)課伊始，學生對“造橋選址”問題的多種試誤，本質(zhì)上是一種對幾何直覺的感性認知. 通過幾何作圖教學能夠引導學生進行有效的觀察和思考，使學生在活動體驗中不斷進行邏輯推理，從而將幾何直覺轉(zhuǎn)化為幾何直觀素養(yǎng).“造橋選址”問題要求學生通過邏輯推理和直觀想象，通過數(shù)學抽象和數(shù)學建模將基本作圖轉(zhuǎn)化為實際問題的應用作圖. 幾何學是研究空間形式的科學，圖形是其最主要的表征形式. 作圖能力是學生幾何直觀素養(yǎng)的重要體現(xiàn). 學生在探究“造橋選址”問題后，需要進一步增加應用知識的體驗. 教師將“造橋選址”問題利用格點紙進行呈現(xiàn)，可以加深學生對平移轉(zhuǎn)化的理解. 學生通過經(jīng)歷作圖的數(shù)學實驗過程，對幾何直觀素養(yǎng)進行“可視化”表達應用. 在作圖中，學生將思維中對幾何直觀的理解轉(zhuǎn)化為對數(shù)量關系和位置關系的理性思考. 變式作圖則引導學生以原有認知和能力為基礎，再次應用幾何直觀能力進行類比、遷移. 動手作圖的數(shù)學實驗中，學生運用幾何直觀能力進行數(shù)學抽象和數(shù)學建模，使智力活動潛能得到充分的啟發(fā)、挖掘和釋放，喚醒了學習的主體意識，促進幾何直觀素養(yǎng)的真正形成.

四、結束語

數(shù)學源于現(xiàn)實. 學生需要在“做中學”，以體會知識的內(nèi)涵. 數(shù)學實驗不僅適用于課題學習，也適用于諸如勾股定理、相似三角形、圓等知識的學習. 數(shù)學實驗作為數(shù)學教學的內(nèi)容與工具，能有效提升學生學習數(shù)學的興趣，提高課堂教學效率. 作為教學內(nèi)容，數(shù)學實驗能引導學生發(fā)現(xiàn)學習數(shù)學的樂趣，使學生在課堂上進行實踐操作、自主探索、合作交流. 作為教學工具，數(shù)學實驗能促進教師的專業(yè)發(fā)展，自制教具或運用信息技術進行教學創(chuàng)新，改進課堂教學方式，豐富課堂教學形式.

高效的數(shù)學實驗教學中，教師要遵循學生的認知發(fā)展規(guī)律，讓學生動手實踐、自主探索與合作交流，將多種恰當、合理、有序的直觀形式相結合. 只有讓學生經(jīng)歷動手操作與觀察，并參與獨立思考及合作探究的過程，方能顯示數(shù)學實驗的價值，從而培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng).

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