尺規(guī)作圖在確定三角形形狀中的教學(xué)意義

摘 要：以“三角形”章起始課的教學(xué)片斷為例，利用尺規(guī)作圖的方式創(chuàng)設(shè)確定三角形形狀的情境，探討培養(yǎng)學(xué)生有序思考問題，提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題和解決問題能力的途徑和方法. 利用五個(gè)問題啟發(fā)學(xué)生將三角形形狀的確定從“形”的感性理解到“數(shù)”的理性認(rèn)識，幫助學(xué)生構(gòu)建確定三角形形狀的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使學(xué)生體會從“位置的變換”到“線段長度的變化”的過程，提升學(xué)生辯證思考問題的能力.

關(guān)鍵詞：尺規(guī)作圖；三角形的形狀；教學(xué)意義

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）09-0029-04

引用格式：袁曉婷. 尺規(guī)作圖在確定三角形形狀中的教學(xué)意義［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（9）：29-32.

一、提出問題

學(xué)生對三角形形狀的認(rèn)識過程經(jīng)歷了不同的階段. 在幼兒時(shí)期，學(xué)生能從不同形狀的圖形中辨別出三角形的形狀；在小學(xué)階段，學(xué)生會根據(jù)邊或角的特征對三角形進(jìn)行分類. 幾何教學(xué)中，學(xué)生通常會經(jīng)歷“直觀感知—操作證實(shí)—辨析論證—度量計(jì)算”的過程. 在不同的學(xué)習(xí)階段，教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生不同層次的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)能力的積累. 在七年級幾何入門的教學(xué)中，教師應(yīng)該關(guān)注直觀感知與操作證實(shí)，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生自己動(dòng)手，通過折紙、度量、拼接等方式積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 而尺規(guī)作圖是一種學(xué)習(xí)情境的創(chuàng)設(shè)，是學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)際操作的活動(dòng)，具有不可替代的直觀性，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的創(chuàng)造性. 同時(shí)，尺規(guī)作圖是問題解決不可或缺的一部分. 例如，對于“邊邊角”不能判定三角形全等，可以利用尺規(guī)作圖的方式舉出反例. 直觀的論證不僅思路清晰，還具有很強(qiáng)的說服力. 但是在實(shí)際教學(xué)中，教師更注重辨析論證或者是以辨析論證為基礎(chǔ)的計(jì)算，對學(xué)生的直觀感知和尺規(guī)作圖缺少重視.

滬教版《九年義務(wù)教育課本·數(shù)學(xué)》（以下統(tǒng)稱“滬教版教材”）七年級第二學(xué)期“14.1 三角形的有關(guān)概念”一課主要通過讓學(xué)生動(dòng)手操作感受能構(gòu)成三角形時(shí)三根細(xì)棒長度的特征. 在幾何入門階段關(guān)注學(xué)生動(dòng)手操作、實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)積累，為探索構(gòu)成三角形三邊的條件作準(zhǔn)備. 在利用三根細(xì)棒圍三角形的過程中，學(xué)生能直觀地發(fā)現(xiàn)三條線段構(gòu)成三角形的條件. 在人教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級上冊“11.1 與三角形有關(guān)的線段”中，探究三角形的三邊關(guān)系的活動(dòng)：任意畫一個(gè)△ABC，從點(diǎn)B出發(fā)，沿三角形的邊到點(diǎn)C，有幾條線路可以選擇？各條線路的長有什么關(guān)系？學(xué)生可以利用“兩點(diǎn)之間線段最短”解決三角形三邊之間的關(guān)系.

基于以上對教材的研究，本文將從以尺規(guī)作圖的方式確定三角形形狀的視角進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì).

二、運(yùn)用尺規(guī)作圖確定三角形形狀的教學(xué)片斷設(shè)計(jì)

運(yùn)用尺規(guī)作圖確定三角形形狀的教學(xué)主要分為三個(gè)過程，如圖1所示.

1. 探究三條線段能構(gòu)成三角形的條件

問題1：現(xiàn)在有長度分別為2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，6 cm的五條線段，從中任意挑選三條線段構(gòu)成三角形，用尺規(guī)作圖，共有哪幾種選法？

師生活動(dòng)：教師和學(xué)生共同作圖、討論得出如下結(jié)論.

結(jié)論：給出的五條線段中，選擇其中三條共有10種選法.

【設(shè)計(jì)意圖】問題1旨在引導(dǎo)學(xué)生有序思考，將教材例題中的實(shí)物操作改為尺規(guī)作圖，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生理解三角形三邊之間的關(guān)系. 圖形形狀的多樣性為學(xué)生對三角形形狀的認(rèn)識提供了更為豐富的素材.

問題2：這10種選法都能圍成三角形嗎？如何來研究呢？

師生活動(dòng)：教師示范用尺規(guī)畫三邊長為2 cm，3 cm，4 cm的三角形的作法. 學(xué)生小組合作，分工作圖，探究三條線段可以構(gòu)成三角形的條件. 其他9種選法的作圖如下.

根據(jù)上述作圖，我們猜測可以構(gòu)成三角形的三條線段的條件是：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

【設(shè)計(jì)意圖】通過問題2激發(fā)學(xué)生的好奇心. 教師示范選法為2 cm，3 cm，4 cm的三條線段畫三角形，喚醒學(xué)生尺規(guī)作圖的記憶. 學(xué)生在七年級上學(xué)期學(xué)習(xí)了圖形的運(yùn)動(dòng). 在學(xué)生用尺規(guī)作圖的同時(shí)滲透“畫一條線段等于已知線段”的本質(zhì)是線段的平移運(yùn)動(dòng)，“以線段的某個(gè)端點(diǎn)為圓心，已知線段長為半徑畫圓”是點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng).

通過讓學(xué)生小組合作，分工畫圖，相互分享，幫助學(xué)生鞏固了尺規(guī)作圖. 學(xué)生經(jīng)歷了其他9種選法的作圖、觀察及分析的過程，將教材中4種情況下的推理猜測增加為9種情況. 雖然學(xué)生在作圖上要花費(fèi)一定的時(shí)間，但是這對學(xué)生推測能構(gòu)成三角形的三條線段的條件起到了較好的效果，也為后續(xù)學(xué)生選擇長度不同的三條邊所形成的三角形形狀的判斷提供了生成性資源素材.

問題3：對探究活動(dòng)進(jìn)行小結(jié)，試歸納三條線段可以構(gòu)成三角形的條件.

師生活動(dòng)：師生共同總結(jié)歸納，概括出“三角形任意兩邊之和大于第三邊”；運(yùn)用不等式的性質(zhì)，還可以得到“三角形任意兩邊之差小于第三邊”. 同時(shí)，教師強(qiáng)調(diào)，在作圖的過程中，需要關(guān)注所選的三條線段是否能構(gòu)成三角形，即為對三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的確認(rèn). 在畫出第一條線段后就確定了三角形中的兩個(gè)頂點(diǎn)，再利用尺規(guī)作圖畫剩下的兩條線段，則為判斷是否有三角形在第三個(gè)頂點(diǎn)處產(chǎn)生，所以將三條線段能否構(gòu)成三角形的問題轉(zhuǎn)化為是否能通過尺規(guī)作圖找到三個(gè)確定的三角形的頂點(diǎn)的問題.

2. 給定三條線段對三角形形狀的影響

問題4：圖11至圖13分別是三組已知三邊長度的三角形的兩種不同畫法. 圖11中的三角形三邊長分別為2，4，5，圖12中的三角形三邊長分別為3，4，5，圖13中的三角形三邊長分別為4，5，6. 觀察這三組三角形，它們的形狀一樣嗎？

師生活動(dòng)：再現(xiàn)學(xué)生所作圖形，探究同樣三條線段的不同作法對三角形形狀的影響.

【設(shè)計(jì)意圖】教師收集學(xué)生所作圖形中的典型畫法，引導(dǎo)學(xué)生辨析在已知三邊長情況下的三角形的形狀是否相同. 可以通過度量、觀察等方式確定三角形的形狀相同，并揭示形狀看似不同的原因是選擇水平放置的邊的長度不同，從而導(dǎo)致擺放位置的不同，進(jìn)而引起視覺上的三角形形狀的差異. 通過師生共同探究，讓學(xué)生初步體會已知三條確定的邊時(shí)，三角形的形狀是唯一確定的，不受位置的變化而改變.

3. 線段的不同長度對三角形形狀的影響

問題5：圖14中的三角形三邊長分別為2，4，5，圖15中的三角形三邊長分別為3，4，5，圖16中的三角形三邊長分別為4，5，6. 觀察下列三個(gè)三角形，它們的形狀一樣嗎？猜測影響三角形形狀的元素.

師生活動(dòng)：學(xué)生指出影響三角形形狀的元素是邊的長度，并發(fā)現(xiàn)：當(dāng)[22+42-52<0]時(shí)，三角形的形狀是鈍角三角形；當(dāng)[32+][42-52=0]時(shí)，三角形的形狀是直角三角形；當(dāng)[42+52-62>0]時(shí)，三角形的形狀是銳角三角形. 從而得到結(jié)論：通過計(jì)算較小兩邊的平方和減去較長邊的平方，將所得結(jié)果與0進(jìn)行比較，能夠判斷出三角形的形狀. 教師利用幾何畫板軟件，通過改變?nèi)切蔚倪叺拈L度，讓學(xué)生直觀地看到三角形形狀的變化情況.

【設(shè)計(jì)意圖】選擇三個(gè)不同形狀的三角形（鈍角三角形、直角三角形與銳角三角形）進(jìn)行觀察，使學(xué)生初步感知三角形的形狀受三角形三邊的長度所影響，并發(fā)現(xiàn)三邊的長度是如何影響三角形的形狀變化的，為后續(xù)學(xué)習(xí)勾股定理、余弦定理埋下伏筆.

三、尺規(guī)作圖的教學(xué)意義

尺規(guī)作圖是只能用直尺和圓規(guī)為工具作圖的一種作圖方式. 其中，直尺的作用是用到了其“直”這個(gè)元素，不可以使用刻度；圓規(guī)就是用來畫弧線或者截取相等長度的線段. 利用尺規(guī)作圖進(jìn)行幾何圖形研究的過程，是讓學(xué)生從操作體驗(yàn)提升到理論認(rèn)識的重要途徑，是學(xué)生動(dòng)手操作和幾何推理相結(jié)合的結(jié)果. 在這個(gè)過程中，學(xué)生的幾何直觀、推理能力、空間想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到發(fā)展，對數(shù)學(xué)教學(xué)產(chǎn)生重要的意義.

1. 從小學(xué)階段的實(shí)驗(yàn)幾何向初中階段的演繹幾何過渡

小學(xué)階段，學(xué)生從一年級第二學(xué)期開始認(rèn)識“度量”這個(gè)概念，并學(xué)會用直尺度量，認(rèn)識了長度單位；角的概念出現(xiàn)在二年級第一學(xué)期，角的度量出現(xiàn)在四年級第一學(xué)期. 學(xué)生在度量線段長和角度時(shí)，認(rèn)識了刻度尺和量角器. 小學(xué)階段通過“畫一畫”“量一量”“折一折”“拼一拼”等操作活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力、自主探究能力、空間觀念等.

“畫一個(gè)角等于已知角”是滬教版教材六年級第二學(xué)期第七章“線段與角的畫法”第4節(jié)的內(nèi)容，這部分內(nèi)容是基本的尺規(guī)作圖內(nèi)容之一，讓尺規(guī)作圖與演繹推理之間產(chǎn)生聯(lián)系. 在這個(gè)階段，學(xué)生對作圖的掌握停留在機(jī)械操作層面，知其然而不知其所以然，其證明要到七年級第二學(xué)期，利用“邊邊邊”證明三角形全等，再利用全等三角形的對應(yīng)角相等進(jìn)行證明. 該部分內(nèi)容將“會作”前置，探索作法扎根在體驗(yàn)中，讓實(shí)驗(yàn)幾何中的直觀先行，為說理埋下種子，將“明理”后置，以“理”再生“法”，使學(xué)生帶著原有的知識、方法、經(jīng)驗(yàn)去主動(dòng)思考、反思，對原先的“會作”能進(jìn)行說理，構(gòu)建新的知識體系. 這是對事物本質(zhì)特征的進(jìn)一步探索，進(jìn)而提升學(xué)生的邏輯思維能力.

滬教版教材七年級第二學(xué)期第十四章“三角形”是實(shí)驗(yàn)幾何的最后一章. 此時(shí)，教師既要注意把握實(shí)驗(yàn)幾何階段的學(xué)習(xí)要求，又要把握好從實(shí)驗(yàn)幾何逐步向演繹幾何過渡的要求. 基于此，本節(jié)課設(shè)計(jì)探究三角形三邊關(guān)系活動(dòng)時(shí)，通過將實(shí)物操作抽象為尺規(guī)作圖的過程，促進(jìn)了學(xué)生對三角形三邊關(guān)系的內(nèi)在感悟，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性思考與分析，歸納得到三角形的三邊關(guān)系. 本節(jié)課利用“尺”“規(guī)”讓學(xué)生進(jìn)一步感受數(shù)學(xué)對象的產(chǎn)生，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，由具象思維過渡到抽象思維.

2. 直觀理解確定一個(gè)三角形的條件

數(shù)學(xué)教學(xué)需要重視對數(shù)學(xué)本質(zhì)和內(nèi)涵的挖掘，需要教師研究某節(jié)課、某一單元、某個(gè)章節(jié)，甚至初中階段的整體知識結(jié)構(gòu)的特征，體現(xiàn)數(shù)學(xué)教師對所教內(nèi)容的整體思考. 在本節(jié)課問題2的探究中，不僅探究了確定一個(gè)三角形的條件，也將尺規(guī)作圖與圖形運(yùn)動(dòng)這兩塊割裂的知識建立起了聯(lián)系，為后續(xù)已知三邊畫三角形、全等三角形“邊邊邊”判定的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ). 教材中給出的用細(xì)棒圍三角形的探究活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷了動(dòng)手度量、拼湊、疊合等幾何操作過程，這具有不可替代的直觀性. 尺規(guī)作圖是人類理性思維的瑰寶，它簡單、準(zhǔn)確、理性、實(shí)用. 在尺規(guī)作圖過程中，留給學(xué)生更多自主探究、思考分析的空間．為了促進(jìn)學(xué)生能力的發(fā)展、知識的建構(gòu)，教師應(yīng)該細(xì)致分析教學(xué)內(nèi)容，將零散的知識系統(tǒng)化，由傳輸知識技能的“魚”向提升思維的“漁”轉(zhuǎn)變，著力將蘊(yùn)含在教學(xué)內(nèi)容“暗線”中的思想方法以“明線”的方式揭示出來，尋找一個(gè)好的學(xué)習(xí)載體，發(fā)展學(xué)生從實(shí)驗(yàn)操作到推理論證的邏輯思維.

3. 初步感知“數(shù)”與“形”的關(guān)聯(lián)

在七年級，學(xué)生對“形”的認(rèn)識與“數(shù)”的認(rèn)識是分開的，幾何的學(xué)習(xí)系統(tǒng)與代數(shù)的學(xué)習(xí)系統(tǒng)的關(guān)系建立直到學(xué)習(xí)平面直角坐標(biāo)系后才有所感悟，而將三角形的形狀與代數(shù)系統(tǒng)建立起聯(lián)系是在學(xué)習(xí)了直角三角形、銳角三角函數(shù)后才有所體會的，真正地運(yùn)用代數(shù)系統(tǒng)推理證明三角形形狀的認(rèn)識是缺失的. 解決問題5的過程中，利用三角形三邊的特殊數(shù)值及幾何畫板軟件的演示，使學(xué)生感受到了邊長的數(shù)量關(guān)系對三角形形狀的影響. 而高中階段是直接解斜三角形. 為什么可解？可解的條件是什么？這是建立在初中畫三角形的認(rèn)知基礎(chǔ)上的. 本節(jié)課的設(shè)計(jì)讓學(xué)生從畫三角形初步感知“數(shù)”與“形”的關(guān)聯(lián)，為高中階段學(xué)習(xí)正、余弦定理作鋪墊，也是對三角形“形”的認(rèn)識上升到運(yùn)用“數(shù)”的推理證明.

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］鮑建生. 幾何的教育價(jià)值與課程目標(biāo)體系［J］. 教育研究，2000（4）：53-58.

［3］樂嗣康，崔雪芳，張奠宙. 尺規(guī)作圖教學(xué)的現(xiàn)代意義［J］. 中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005（12）：7-9.

［4］張愛平，沈雪英. 融入數(shù)學(xué)體驗(yàn)活動(dòng)的教學(xué)實(shí)踐與思考：以“作一個(gè)角等于已知角”為例［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2019，58（4）：33-36.

［5］孫智文. 尺規(guī)作圖對初中生邏輯推理素養(yǎng)培養(yǎng)和評價(jià)的研究［D］. 蘇州：蘇州大學(xué)，2017.