素養(yǎng)導(dǎo)向的初中幾何起始單元教學(xué)策略

摘 要：在幾何的起始單元教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出幾何圖形的活動，分析小學(xué)階段幾何研究方法的局限性，提出幾何的研究內(nèi)容，用推理論證的方法研究幾何圖形的性質(zhì)和關(guān)系的必要性. 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分離構(gòu)成所有幾何圖形的基本要素活動，了解點、線、面、體的概念及它們之間的聯(lián)系，用點、直線、平面這三類幾何基本元素有邏輯地構(gòu)造圖形是論證幾何的基礎(chǔ).

關(guān)鍵詞：素養(yǎng)導(dǎo)向；初中幾何；起始單元；教學(xué)策略

中圖分類號：G633.6 文獻標識碼：A 文章編號：1673-8284（2024）09-0025-05

引用格式：王華，吳增生. 素養(yǎng)導(dǎo)向的初中幾何起始單元教學(xué)策略［J］. 中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2024（9）：25-28，50.

初中階段注重用推理論證的方法研究幾何圖形，體會歐幾里得幾何的基本思想和基本框架，進一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念、幾何直觀和推理能力，這需要追本溯源與邏輯建構(gòu). 這種追本溯源的過程為：先從實物中抽象出幾何圖形，分離出構(gòu)成幾何圖形的基本元素，得到三類基本幾何對象——點、直線、平面，然后通過尺規(guī)作圖和運動變化有邏輯地構(gòu)造直線、射線、線段、角、相交線、平行線、多邊形、圓等幾何圖形，初步建立有邏輯的幾何直觀. 而邏輯建構(gòu)的過程為：基于直觀抽象圖形與圖形關(guān)系，通過定義明確論證對象，通過抽象基本事實確立論證的起點，通過證明確立論證的邏輯，通過命題確立論證的結(jié)果，構(gòu)建初中幾何命題的邏輯體系. 因此，在初中幾何起始單元的教學(xué)中，教師應(yīng)該注重設(shè)計直觀觀察與想象的活動，以及在此基礎(chǔ)上的抽象活動，引導(dǎo)學(xué)生抽象幾何圖形的概念，認識立體圖形和平面圖形，建立點、線、面、體等概念體系，為用推理論證的方法研究幾何圖形及其關(guān)系奠定基礎(chǔ).

一、幾何起始單元的主要內(nèi)容和育人價值

初中幾何起始單元“幾何圖形”的學(xué)習內(nèi)容主要包括幾何圖形、立體圖形、平面圖形，平面圖形與立體圖形的關(guān)系，點、線、面、體及其關(guān)系. 該部分既是從直觀的實驗幾何到論證幾何的過渡內(nèi)容，也是后面形成直線、射線、線段和角等幾何概念，建立相關(guān)基本事實的基礎(chǔ). 小學(xué)階段，從具體圖形出發(fā)，學(xué)生經(jīng)歷了用直觀的方法認識線段、射線、直線、角、三角形、四邊形、圓等平面圖形及長方體、正方體、圓柱體、圓錐、球等立體圖形，并通過從不同的方向看和展開折疊活動認識立體圖形的特征、立體圖形與平面圖形的關(guān)系. 初中階段，則需要從實物中抽象出幾何圖形，進一步認識平面圖形與立體圖形之間的區(qū)別與聯(lián)系，分離能構(gòu)成所有幾何圖形的基本元素——點、線（主要是直線）、面（主要是平面），即希爾伯特所說的“直線幾何基本元素——點，平面幾何基本元素——點、直線，空間幾何基本元素——點、直線、平面”，并著重在平面上建立基本事實，用推理的方法研究點與點、點與直線、直線與直線及由線段經(jīng)過組合、交疊、運動所形成的三角形、四邊形、圓等幾何圖形的性質(zhì)和關(guān)系. 歐幾里得的《幾何原本》中，基于直觀給出點、直線、平面的描述性“定義”，建立五條公設(shè)、五條公理來規(guī)定幾何元素的關(guān)系，建立論證幾何的基礎(chǔ)，初中幾何中點、線、面、體及其關(guān)系也是基于直觀進行抽象的.

以點、線、面、體及其關(guān)系為核心內(nèi)容的初中幾何起始單元教學(xué)，起著從小學(xué)階段的實驗幾何過渡到初中階段的論證幾何的作用，承擔著做好中小學(xué)內(nèi)容的銜接，激發(fā)學(xué)生學(xué)習興趣的任務(wù)，能夠讓學(xué)生體會小學(xué)階段直觀研究方法的局限性，了解推理論證的幾何研究方法，體會推理的必要性，從而發(fā)展學(xué)生的推理能力. 通過讓學(xué)生經(jīng)歷抽象點、線、面等幾何基本元素及其關(guān)系的活動，能進一步發(fā)展學(xué)生的空間觀念，幫助學(xué)生建立幾何直觀，發(fā)展學(xué)生的抽象能力.

二、素養(yǎng)導(dǎo)向的幾何起始單元教學(xué)策略

策略1：開展觀察想象及回顧反思活動，提出初中幾何的研究內(nèi)容和研究方法.

（1）通過直觀觀察與想象建立初步的幾何直觀.

引導(dǎo)學(xué)生觀察和想象如圖1所示的圖案中的現(xiàn)實情境，從中識別小學(xué)階段學(xué)習過的幾何圖形，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習幾何的興趣，初步建立各類圖形的幾何直觀.

（2）通過回顧思考總結(jié)小學(xué)所學(xué)的幾何知識及學(xué)習的方法.

讓學(xué)生回顧小學(xué)階段學(xué)習了哪些幾何圖形，獲得了哪些知識，是怎樣獲得這些知識的. 例如，小學(xué)階段學(xué)習過立體圖形和平面圖形，知道了長方體、正方體、圓柱、圓錐、球等立體圖形，能從不同的方向看立體圖形，會展開長方體、正方體和圓柱，認識了線段、射線、直線和角，知道了直線的平行和垂直關(guān)系，認識了三角形、四邊形、平行四邊形、圓等平面圖形，會測量線段的長度、角的度數(shù)，學(xué)習了三角形的內(nèi)角和等于180°，學(xué)會了計算三角形、平行四邊形、長方形、正方形、圓的周長和面積等. 進而引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)小學(xué)的學(xué)習方法——觀察、想象、測量、實驗、歸納等.

（3）通過反思和質(zhì)疑體會推理論證的必要性.

通過引導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑小學(xué)階段得到幾何圖形性質(zhì)的可靠性與普適性，讓學(xué)生知道用演繹推理的方法獲得確定和普適結(jié)論的必要性. 例如，以“三角形的內(nèi)角和等于180°”的學(xué)習為例，引導(dǎo)學(xué)生提出質(zhì)疑，通過有限個三角形的測量和拼角實驗得到這一結(jié)論不能說明對所有的三角形都成立，讓學(xué)生體會用新的方法說明這一結(jié)論對所有三角形（無數(shù)個三角形）都成立的必要性，指出在初中階段我們將學(xué)習這種新的研究圖形及其關(guān)系的方法——推理論證的方法.

（4）提出初中幾何的研究內(nèi)容和研究方法.

引導(dǎo)學(xué)生思考如何用推理的方法研究所有的幾何圖形，不是逐個研究圖形，而是要進行一般性研究. 首先，需要明確研究對象——什么是幾何圖形；其次，明確幾何研究的基本內(nèi)容——研究物體的形狀、大小和位置關(guān)系；最后，提出初中幾何研究的主題——用推理論證的方法研究物體及幾何圖形的形狀、大小和位置關(guān)系.

教學(xué)策略1主要體現(xiàn)在章引言的教學(xué)活動中.

策略2：開展抽象幾何圖形及其關(guān)系的活動，發(fā)展空間觀念、幾何直觀和抽象能力.

（1）通過實物的觀察與想象抽象立體圖形及平面圖形的概念.

如圖2，通過觀察類似圖1的情境中不同物體的結(jié)構(gòu)，引導(dǎo)學(xué)生從形狀、大小、位置的角度觀察實物，獲得立體圖形和平面圖形的概念，認識立體圖形與平面圖形的異同.

（2）建立立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系.

通過設(shè)計從不同的方向看幾何體的活動及展開與折疊幾何體等活動，建立立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念，建立幾何直觀.

策略3：開展抽象幾何基本元素及其關(guān)系的活動，發(fā)展空間觀念、幾何直觀和抽象能力.

（1）引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分離構(gòu)成幾何圖形的基本元素活動.

尋找能構(gòu)成所有研究對象的基本元素，分析基本元素構(gòu)成研究對象的普適機制，重構(gòu)對象并研究其屬性和關(guān)系，這是追本溯源地研究問題的基本思路. 用演繹推理的方法研究幾何也是如此進行的. 先分離能構(gòu)成所有幾何圖形的基本元素，即點、直線、平面；再分析由這些基本元素構(gòu)成幾何圖形的普適方法，即尺規(guī)作圖和運動變化，抽象出用這些基本元素構(gòu)建幾何圖形的邏輯機制，形成基本事實；最后，根據(jù)基本事實，利用尺規(guī)構(gòu)建圖形，用演繹推理的方法研究圖形的屬性和關(guān)系.

在具體教學(xué)過程中，教師可以先對上述追本溯源的過程作簡要介紹. 在此基礎(chǔ)上，通過讓學(xué)生觀察各種立體圖形和平面圖形，使其體會點是構(gòu)成圖形及5f73136df1b0f77ab6e0f9b49c8fc0421da29600ab5bb2285c7b13623b32101d空間的最基本的元素，點、線、面能組成所有的幾何圖形. 點是直線的基本元素，點和直線是平面的基本元素，點、直線、平面是空間的基本元素. 這里，要設(shè)計觀察三維空間中的幾何體——長方體，分離出其各個側(cè)面的活動. 通過想象形成平面的視覺表象，分離出棱并通過想象建立直線的視覺表象，通過觀察長方體的頂點并想象切割棱建立點的視覺表象. 進一步地，通過只關(guān)注空間中物體的位置，把位置抽象成幾何中的點，通過用沙粒堆沙堆的實例，把幾何圖形（包括直線、平面、三角形、長方體等）及空間看成由無數(shù)個點組成的點集，讓學(xué)生體會點是構(gòu)成所有圖形的最基本的元素. 研究空間中點的位置關(guān)系是幾何學(xué)研究的最基本問題.

（2）引導(dǎo)學(xué)生通過觀察和想象建立點、線、面、體之間的聯(lián)系.

首先，設(shè)計適當?shù)挠^察和想象活動，幫助學(xué)生建立點、線、面、體之間聯(lián)系的靜態(tài)直觀. 例如，通過觀察長方體，讓學(xué)生知道長方體由6個長方形的面圍成，而長方形則由4條線段圍成，長方體有8個頂點，圍成長方形的線段由點排成. 這樣就用靜態(tài)的觀點抽象得到構(gòu)成幾何圖形的基本元素之間的聯(lián)系.

其次，可以對3D打印過程的觀察和想象，形成點動成線、線動成面、面動成體的動態(tài)直觀，也可以讓學(xué)生經(jīng)歷用筆畫線，快速轉(zhuǎn)筆和旋轉(zhuǎn)直立硬幣等活動，通過觀察和想象形成點動成線、線動成面、面動成體的動態(tài)直觀，讓學(xué)生知道點沿著同一方向移動形成“直”的線，點沿著不同的方向運動形成曲線. 通過讓學(xué)生想象直線按照固定的方向運動構(gòu)成平面，平面沿著固定的方向運動構(gòu)成三維空間的過程，使學(xué)生初步認識歐氏空間的連續(xù)性和平直性，知道歐氏空間（一維空間、二維空間、三維空間）是線性空間，體會點、直線和平面是歐氏空間的基本元素，這些基本元素之間的關(guān)系（結(jié)合、順序、合同、連續(xù)、平行等關(guān)系）是歐氏幾何的基本研究內(nèi)容.

三、系統(tǒng)貫徹這些教學(xué)策略的途徑——單元整體設(shè)計與課時落實

在教學(xué)實踐中，可以通過單元整體設(shè)計、課時落實的思路系統(tǒng)貫徹上述教學(xué)策略.

1. 設(shè)計單元教學(xué)主線

首先，根據(jù)單元知識發(fā)生發(fā)展的邏輯，設(shè)計單元教學(xué)主線.“幾何圖形”這一論證幾何起始單元的知識發(fā)生發(fā)展的邏輯是：欣賞豐富多彩的圖形，提出幾何研究的內(nèi)容及新方法，從實物中抽象出幾何圖形，建立立體圖形和平面圖形的概念，建立立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，分離出幾何基本元素（點、直線、平面），建立點、線、面、體之間的聯(lián)系，為進一步抽象直線、射線、線段、角等基本概念，建立相關(guān)的基本事實奠定基礎(chǔ). 根據(jù)這一知識發(fā)生發(fā)展的邏輯脈絡(luò)，可以設(shè)計“立體圖形和平面圖形”單元的教學(xué)主線，如圖3所示.

[欣賞圖片，提出問題][抽象幾何圖形及其基本元素][立體圖形與平面圖形][點、線、面、體][建立概念間的聯(lián)系][視圖、展開與折疊][組合與交叉，運動軌跡] [圖3 單元教學(xué)主線]

2. 設(shè)計核心素養(yǎng)導(dǎo)向的單元教學(xué)目標和課時教學(xué)目標

用“經(jīng)歷……，能、會、知道或體會……，發(fā)展……”的范式，設(shè)計融合“四基”“四能”和發(fā)展空間觀念、幾何直觀、抽象能力等素養(yǎng)的單元教學(xué)目標，并針對單元教學(xué)目標，根據(jù)課時教學(xué)內(nèi)容設(shè)計課時教學(xué)目標.

根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》的內(nèi)容要求及相關(guān)核心素養(yǎng)行為表現(xiàn)的內(nèi)涵，設(shè)計如下的“幾何圖形”單元的教學(xué)目標.

（1）經(jīng)歷欣賞豐富多彩的幾何圖形的活動，激發(fā)學(xué)習幾何的興趣；經(jīng)歷回顧小學(xué)階段學(xué)習過的幾何圖形及其研究方法的活動，通過質(zhì)疑用直觀的方法獲得的結(jié)論的可靠性和普適性，體會用推理論證的方法研究幾何圖形及其關(guān)系的必要性，提出推理論證的新方法.

（2）經(jīng)歷從實物中抽象出立體圖形和平面圖形的概念，提出幾何研究內(nèi)容的活動，知道幾何學(xué)是研究物體的形狀、大小和位置關(guān)系的科學(xué)，能識別長方體、正方體、棱柱、圓柱、圓錐、球等簡單的幾何體，能辨別立體圖形與平面圖形，進一步發(fā)展空間觀念、幾何直觀和抽象能力.

（3）經(jīng)歷從不同的方向看幾何體，以及幾何體的展開和折疊活動，能建立立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念，建立幾何直觀.

（4）經(jīng)歷分離幾何基本元素點、直線、平面的活動，知道其意義，能用靜態(tài)和動態(tài)的觀點分析點、線、面、體之間的聯(lián)系，建立幾何直觀，發(fā)展抽象能力.

在此基礎(chǔ)上，設(shè)計不同課時的教學(xué)目標，明確其教學(xué)重點，通過學(xué)情分析確定教學(xué)難點. 例如，在第1課時“立體圖形和平面圖形”，設(shè)計的教學(xué)目標、重點和難點如表1所示.

3. 根據(jù)課時教學(xué)目標設(shè)計教學(xué)活動

有了課時教學(xué)目標和重點、難點，就可以根據(jù)課時教學(xué)目標設(shè)計教學(xué)活動，根據(jù)活動需要設(shè)計驅(qū)動性問題和任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動，設(shè)計啟發(fā)性問題啟發(fā)學(xué)生思考，并通過交流評價確定活動中發(fā)展核心素養(yǎng)的效果.

例如，針對教學(xué)目標（1）開展章引言教學(xué)，可以設(shè)計欣賞圖片，回顧小學(xué)階段學(xué)習的幾何知識，評價質(zhì)疑的活動，再根據(jù)活動的特點、育人價值設(shè)計驅(qū)動性問題和任務(wù)，進行啟發(fā)性提問. 教學(xué)過程如下.

引言：豐富多彩的圖形美化了人們的生活，無論是宏偉的大型建筑，還是精致的生活用具，都含有各種各樣的幾何圖形. 在初中階段，我們將在小學(xué)的基礎(chǔ)上進一步研究幾何圖形及其關(guān)系.

問題1：在小學(xué)，我們已經(jīng)初步認識了幾何圖形，你能說說學(xué)了哪些知識嗎？是怎樣學(xué)習的？

師生活動：學(xué)生回顧認識了線段、射線、直線、三角形、平行四邊形、圓、正方體、長方體、圓柱等圖形，會畫線段并能測量線段的長度，知道了“三角形的內(nèi)角和為180°”，會求三角形、平行四邊形及圓的面積，等等.

問題2：小學(xué)中，我們通過測量和歸納得到“三角形的內(nèi)角和為180°”，你覺得可信嗎？

師生活動：教師引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑，提出需要進一步學(xué)習能使人信服的說理方法研究幾何圖形及其關(guān)系，即推理的方法. 學(xué)生思考、小組討論.

【設(shè)計意圖】通過創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣，做好中小學(xué)內(nèi)容的銜接，通過質(zhì)疑使學(xué)生體會推理論證的必要性.

再如，針對教學(xué)目標（2）和教學(xué)目標（3），為了抽象幾何圖形的概念，建立點、直線、平面、幾何體的視覺表象，可以設(shè)計如下的教學(xué)片斷.

問題：如圖4，如果只關(guān)注紙盒的形狀大小，那么它是小學(xué)學(xué)習過的哪一類圖形？你還能舉出具有這種外形的其他物體嗎？

追問1：觀察長方體的各個面，看到的圖形是什么？

追問2：長方體的各個面是由什么圖形圍成的？各條棱是什么圖形？長方體的棱的端點是什么幾何圖形？

追問3：把線段向兩端無限延伸，給我們什么圖形的形象？把長方形或正方形向上、下、左、右四個方向無限延伸，給我們以什么圖形的形象？把長方體向上、下、左、右、前、后六個方向無限延伸，給我們以什么圖形的形象？

師生活動：學(xué)生觀察包裝盒的外形，從中抽象出長方體，并列舉長方體形狀的物體，觀察長方體的各個面，抽象出長方形、正方形，觀察長方體的棱及其端點，抽象出線段和點.

教師在此基礎(chǔ)上給出幾何圖形的概念，并指出幾何圖形是數(shù)學(xué)研究的主要對象之一. 進一步引導(dǎo)學(xué)生想象，把線段向兩端無限延伸，給我們以直線的形象，把長方形和正方形向上下、左右四個方向無限延伸，給我們以平面的形象，把長方體向上、下、左、右、前、后六個方向無限延伸，給我們以（三維）空間的形象.

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從實物中抽象出幾何圖形，形成直線、平面和空間的直觀表象，建立幾何直觀，發(fā)展抽象能力.

四、結(jié)束語

基于數(shù)學(xué)的整體性分析單元內(nèi)容的地位、作用和邏輯關(guān)系，分析知識的發(fā)生發(fā)展過程和應(yīng)用知識過程中蘊含的發(fā)展核心素養(yǎng)的育人價值，在此基礎(chǔ)上研究發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)策略，并通過單元分析和課時教學(xué)具體貫徹落實，這是在數(shù)學(xué)教學(xué)中把發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的育人目標落到實處的根本策略. 該單元的教學(xué)實踐表明，在這樣的教學(xué)活動中，能讓學(xué)生在具體的數(shù)學(xué)活動中學(xué)會直觀觀察與想象，學(xué)會追本溯源地思考，學(xué)會從現(xiàn)實情境中抽象出圖形與圖形關(guān)系，學(xué)會分離幾何基本元素，建立點、直線、平面和幾何體的聯(lián)系，直觀理解歐氏空間的平直性和連續(xù)性，有效促進學(xué)生空間觀念、幾何直觀和抽象能力的發(fā)展.

參考文獻：

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