思維導(dǎo)圖在學(xué)習(xí)三角函數(shù)中的運用

摘要：思維導(dǎo)圖是一種可視化的圖表，將人的思維過程以圖文并茂的形式呈現(xiàn)出來。借助思維導(dǎo)圖可以將學(xué)生頭腦中零散的、碎片化的知識有機整合起來，幫助學(xué)生把握知識的整體性，真正吸收消化所學(xué)知識，從而建立良好的知識體系結(jié)構(gòu)。思維導(dǎo)圖應(yīng)用在解題中，可以發(fā)散學(xué)生的思維，以最快的速度找到解題方法。本文選取三角函數(shù)為研究內(nèi)容，三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重點內(nèi)容，涉及有函數(shù)、方程、不等式等綜合運用，蘊含類比思想、方程思想、等價轉(zhuǎn)化思想等多種數(shù)學(xué)思想方法。三角函數(shù)內(nèi)容復(fù)雜，公式多，推理公式更多，學(xué)生學(xué)習(xí)困難，不能真正理解有關(guān)三角函數(shù)知識的內(nèi)在聯(lián)系。因此，使用思維導(dǎo)圖學(xué)習(xí)三角函數(shù)幫助學(xué)生真正理解知識是非常有必要的。

關(guān)鍵詞：思維導(dǎo)圖；三角函數(shù)；解題

一、 思維導(dǎo)圖概述

1. 思維導(dǎo)圖的概念

思維導(dǎo)圖是一種將思維形象化的方法，由世界著名腦力開發(fā)專家東尼·博贊（Tony Buan）于70年代發(fā)明的。思維導(dǎo)圖運用可視化技巧，充分發(fā)揮大腦的全腦功能，即右腦的節(jié)奏、色彩、空間、圖像、想象力、總覽，及左腦序列、文字、數(shù)字、列表、行列及邏輯，它最大的特點在于采用結(jié)構(gòu)化的放射性思考模式，充分發(fā)揮左右腦的天賦智能，符合大腦的結(jié)構(gòu)傾向及運作的方式。因此思維導(dǎo)圖被譽為強力學(xué)習(xí)、記憶和思維訓(xùn)練方法，能大幅提升人們學(xué)習(xí)效率以及快速掌握新事物的能力。

思維導(dǎo)圖可以應(yīng)用于演講、聽課筆記、時間規(guī)劃、旅行安排、學(xué)習(xí)等諸多領(lǐng)域。同時，思維導(dǎo)圖已經(jīng)在全球范圍內(nèi)得到廣泛使用，微軟、IBM、甲骨文等世界著名公司已將思維導(dǎo)圖作為員工的必修課之一，在新加坡，思維導(dǎo)圖已經(jīng)成了中小學(xué)生的必修課。本文以三角函數(shù)為例闡述思維導(dǎo)圖在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用。

2. 繪制學(xué)習(xí)思維導(dǎo)圖

繪制思維導(dǎo)圖，既可以宏觀也可以微觀。如果繪制的思維導(dǎo)圖是針對宏觀性的（學(xué)期或者高三復(fù)習(xí)），那么就需要層次性和概括性。首先確定思維導(dǎo)圖的中心即知識范圍，其次明確知識是如何分類的以及確定什么是難點。如果是針對微觀性的（針對章節(jié)或某個知識點），就需要細致入微了。

在繪制思維導(dǎo)圖時，首先要以該章節(jié)的知識內(nèi)容中重要的數(shù)學(xué)知識點為關(guān)鍵詞，從關(guān)鍵詞處延伸，標(biāo)明各個知識之間的內(nèi)在聯(lián)系；然后要展開聯(lián)想，對重要的知識點進行多角度的思考，充分發(fā)掘知識點之間的內(nèi)在聯(lián)系，并將其合理鏈接在一起。可以根據(jù)自己的風(fēng)格設(shè)計思維導(dǎo)圖的風(fēng)格，但是注意一定要呈現(xiàn)出所寫的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)的整體性。最后檢查所畫的思維導(dǎo)圖中的內(nèi)容是否不明確，或者銜接有誤，檢查無誤以后一張完整的思維導(dǎo)圖就繪制成功了。

二、 思維導(dǎo)圖在學(xué)習(xí)三角函數(shù)中的運用

高中數(shù)學(xué)有五百多個知識點，可分為以下大類：集合、復(fù)數(shù)、基本初等函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、不等式等。本文以三角函數(shù)相關(guān)知識為例，介紹思維導(dǎo)圖在學(xué)習(xí)三角函數(shù)中的運用。

1. 梳理知識體系，強化知識記憶

利用思維導(dǎo)圖將我們梳理知識點的過程可視化。對學(xué)過的知識結(jié)構(gòu)進行整理，一方面在引導(dǎo)學(xué)生繪制思維導(dǎo)圖時對已學(xué)知識進行復(fù)習(xí)鞏固，另一方面，在對知識點回顧和反思的同時，形成知識體系，形成的體系在學(xué)生解題中能夠起到至關(guān)重要的作用。

三角函數(shù)的知識點錯綜復(fù)雜，公式繁多，推導(dǎo)出來的公式更多，因此可以分為兩級梳理，即宏觀性的與微觀性的。利用發(fā)散思維建立的三角函數(shù)知識體系宏觀思維導(dǎo)圖如下圖所示：

三角函數(shù)知識體系宏觀思維導(dǎo)圖

從上圖三角函數(shù)知識體系思維導(dǎo)圖中可以看出，三角函數(shù)相關(guān)知識可以分為三個主類：基本三角函數(shù)、三角恒等變換和解三角形，這是按照必修四的第一章、第三章以及必修五的第一章進行分類的。其中基本三角函數(shù)又分為：任意角的三角函數(shù)、誘導(dǎo)公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)和函數(shù)

y=Asin（ωx+φ）的圖像；三角恒等變換分為兩角和差公式、倍角公式以及半角公式；解三角形分為正弦定理、余弦定理和三角形面積公式。圖中的虛線體現(xiàn)知識點之間的聯(lián)系，一和三表示誘導(dǎo)公式配合三角恒等變換將一個非一般的三角函數(shù)式子化簡為一般的三角函數(shù)即型如

y=Asin（ωx+φ）的式子，二表示三角函數(shù)的一般式常考察三角函數(shù)的基本性質(zhì)。四表示倍角公式可由和差公式推導(dǎo)出來，五表示半角公式可由倍角公式進行推導(dǎo)。這繪制的是三角函數(shù)宏觀性的思維導(dǎo)圖，其他各個知識點都可以繼續(xù)發(fā)散，繪制出更細致的思維導(dǎo)圖。通過繪制宏觀思維導(dǎo)圖以及對應(yīng)的微觀思維導(dǎo)圖，輔助學(xué)生梳理知識點形成知識體系結(jié)構(gòu)，同時強化對各知識點的記憶。

2. 引導(dǎo)思維發(fā)散快速選擇解題方案

在解題時，由于學(xué)習(xí)的知識點過多，如果對知識點沒有深入的理解和掌握，沒有理解知識點之間的聯(lián)系，遇到題目時，學(xué)生通常不知道從何下手，而只要老師一提，馬上就知道應(yīng)該如何解題了。雖然學(xué)生記住了各個知識點，但并不能從題目的已知條件聯(lián)系到相應(yīng)的知識點，因此出現(xiàn)看題很熟卻不能動筆的現(xiàn)象，這在中差等生中最是常見。

老師在講解某類題型時，可以先引導(dǎo)學(xué)生主動思考，發(fā)散思維，盡可能多地把解題思路與相關(guān)知識點展示出來，形成一類題型的思維導(dǎo)圖。

例（2017·山東濟南二模，6）已知sinα+cosα=15，

α∈[0，π]，則tanα=（）。

A. -43

B. -34

C. 34

D. 43

例題以條件為中心，所畫思維導(dǎo)圖如上圖所示。首先引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分考點，此題主要考察同角之間的基本關(guān)系；確定范圍后，發(fā)散思維，回憶相關(guān)的知識點，如同角之間的基本關(guān)系，任意角等；然后分析解題思路，要求tanα，有兩個切入點，一是先求出sinα與cosα，再求出tanα，二是將tanα構(gòu)造出來直接求解；最后讓同學(xué)分析不同解題方法的優(yōu)劣。圖中的虛線表示知識點與解題的聯(lián)系。

將思維過程如圖展示出來，幫助學(xué)生盡可能多地找到解題思路，并分析不同解題思路中的關(guān)聯(lián)與區(qū)別，并從中選擇最優(yōu)的解題方案。培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維。

三、 總結(jié)

在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中使用思維導(dǎo)圖是為了幫助學(xué)生以高效的方式記憶繁雜的數(shù)學(xué)知識，理解知識點之間聯(lián)系與區(qū)別，分析梳理各類題型的解題方案，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中培養(yǎng)發(fā)散思維，提高數(shù)學(xué)思維能力。

作者簡介：張錦洪，四川省南充市，西華師范大學(xué)。