基于主成分分析的DBSCAN分類差分進化算法改進

摘" 要： 差分進化算法（DE）是一類基于種群搜索最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法，具有收斂速度快、算法簡單易懂、參數(shù)數(shù)量少和穩(wěn)定性高等特點。但DE算法的性能在很大程度上取決于參數(shù)值的設置、個體突變的方向和距離?？紤]到不同的種群密度對參數(shù)的需求不同，采用主成分分析技術將30或50維的數(shù)據(jù)降到2維；再采用DBSCAN算法，依據(jù)鄰域半徑和最小鄰域數(shù)將2維數(shù)據(jù)分類為簇，通過簇的數(shù)量判斷種群整體密度和個體之間的差異度，并在不同取值范圍內(nèi)生成合適的變異因子和交叉因子，以此來滿足不同種群的進化需求。通過基準函數(shù)測試集和多個檢驗方法驗證，證明了所提方法的尋優(yōu)能力和魯棒性均優(yōu)于另外5種先進算法。

關鍵詞： DBSCAN； 差分進化算法； 主成分分析； 數(shù)據(jù)降維； 變異因子； 交叉因子

中圖分類號： TN911?34； TP312" " " " " " " " " "文獻標識碼： A" " " " " " " " " " " 文章編號： 1004?373X（2024）16?0171?09

Improved differential evolution algorithm based on PCA?DBSCAN classification

XUE Caiwen1， LIU Tong1， DENG Libao2， GU Wei1， ZHANG Baowu1

（1. College of Metrology and Measurement Engineering， China Jiliang University， Hangzhou 310018， China;

2. School of Information and Electrical Engineering， Harbin Institute of Technology， Weihai 264209， China）

Abstract： Differential evolution （DE） algorithm is a type of global optimization algorithm based on population search for the optimal solution. It has the characteristics of fast convergence speed， simple and easy?to?understand algorithm， few parameters， and high stability. However， the performance of the DE algorithm largely depends on the setting of parameter values and the direction and distance of individual mutations. Considering that different population densities have different requirements for parameters， the principal component analysis （PCA） technique is used to reduce 30 or 50?dimensional data to 2 dimensions. Then， the DBSCAN algorithm is used to classify the 2 dimension data into clusters based on the neighborhood radius and minimum neighborhood number. The number of clusters is used to determine the overall density of the population and the difference between individuals， and appropriate mutation factors and crossover factors are generated within different ranges to meet the evolutionary needs of different populations. The proposed algorithm is verified by means of benchmark function test sets and multiple validation methods， demonstrating its superior optimization ability and robustness comparied with five other advanced algorithms.

Keywords： DBSCAN; differential evolution algorithm; principal component analysis; data dimensionality reduction; mutation factor; crossover factor

0" 引" 言

啟發(fā)式算法因其簡單易懂、性能優(yōu)異和較強的魯棒性等特點而備受關注。已有多種啟發(fā)式算法被提出，如蟻群算法[1]、粒子群優(yōu)化算法[2]、灰狼算法[3]和黑猩猩算法[4]、差分進化算法（DE）等，差分進化算法是其中比較重要的一個啟發(fā)式算法，由R. Stron和K. Price在1995年提出[5]，主要是用來解決連續(xù)空間的全局優(yōu)化問題，是一種隨機的并行全局搜索算法。與上述算法的不同之處是：DE算法采用“優(yōu)勝劣汰，適者生存”的思想，依靠種群內(nèi)部個體的競爭逐步淘汰劣質(zhì)個體，從而提升種群整體的實力與優(yōu)質(zhì)性。DE算法自提出以來，被應用到多個科學技術領域，解決了許多技術問題，如路徑規(guī)劃、電力系統(tǒng)控制、網(wǎng)路檢測等。DE算法能被廣泛應用的主要原因有三個：首先，DE算法的性能十分優(yōu)越，算法的魯棒性和適應性比較強，在解決復雜多維問題時也有優(yōu)異的表現(xiàn)；其次，DE算法整體思路較為簡單易懂，算法過程主要為種群初始化、變異、交叉、選擇四個步驟，算法也只包含種群規(guī)模NP、變異因子F、交叉因子CR三個受控參數(shù)，但這三個參數(shù)在很大程度上影響著算法的進化效率；最后，DE算法的時間復雜度低，對目標函數(shù)的性質(zhì)無特殊要求，方便求解大規(guī)模優(yōu)化問題[6?9]。

DE算法雖有很多優(yōu)勢，但依舊存在不足之處，如進化停滯、局部最優(yōu)、對控制參數(shù)敏感等。因此，自DE算法提出以來，許多的研究者也對其進行了不同方面的改進，提出了許多新的DE算法變體，使其性能更加優(yōu)越。如，Qin A K等提出基于多變異策略選擇的自適應差分進化算法SaDE，在SaDE中選取四種常用的突變策略，通過幾代的實驗得到每種策略的成功率；在之后的變異中，根據(jù)成功率選取最優(yōu)策略作為本次的變異策略[10]。A. W. Mohamed等提出一種新的三角形變異算子，在種群中隨機選出最好、中等和最差向量，用于產(chǎn)生變異向量[11]。Zhang J等使用聯(lián)系更新的方式更新參數(shù)，通過在歷史迭代成功的F和CR中提取信息來更新下一代的高斯分布以及柯西分布的均值[12]。R. Tanabe等基于JADE，根據(jù)歷史記錄提出新的參數(shù)存儲機制[13]，其在文獻[14]的SHADE算法基礎上，增加了種群線性遞減的方案，進一步優(yōu)化了算法性能。Qing A Y等提出將種群分成若干個子種群，每個子種群單獨進化，利用跨種群競爭來實現(xiàn)物種個體多樣性[15]。劉靖明等提出一種基于粒子群的K均值聚類算法[16]。高平等提出了一種基于改進差分進化的K均值聚類算法[17]。王鳳領等針對K均值算法的不足，優(yōu)先選擇初始聚類中心，提出了基于差分進化的加權K?means算法[18]。

綜上所述，優(yōu)化算法的改進方法層出不窮、各具優(yōu)勢，且研究者也考慮到了將DE算法與聚類算法相結(jié)合。常見的聚類算法中，K均值聚類算法的原理簡單，復雜度低，因此經(jīng)常被用來與DE算法相結(jié)合，達到增強算法搜索能力的目的，也在一定程度上緩解了K均值聚類算法對初始點的敏感性。但K均值聚類算法很容易受到噪聲影響，易陷入局部最優(yōu)情況，而且分類數(shù)量是固定值，需要人為設置，難以展示種群個體內(nèi)部的差異度。因此，為了了解種群個體分布情況，本文采用DBSCAN聚類算法，且考慮到DBSCAN算法難以應對高維問題，采用主成分分析技術（PCA）將種群的維度降低到2維，方便后續(xù)分類成簇。通過DBSCAN算法將種群按照個體距離分成簇后，根據(jù)簇的數(shù)量反映出種群個體之間的差異度，變異因子和交叉因子也將選取不同的取值范圍，保證種群的進化效率。

1" DE算法和DBSCAN算法

1.1" 基本DE算法

DE算法有種群初始化和進化迭代兩個大階段，其中進化迭代可分為三個步驟：變異、交叉和選擇，具體操作如下所述。

1.1.1" 種群初始化

初始種群中一共有NP個個體，每個個體代表一個解，且每個個體的解都是一個D維的向量。于是，可以將種群中個體的表達式寫為：

[Xi，0=xi，1，0，xi，2，0，…，xi，D，0，i=1，2，…，NP] （1）

初始種群的生成公式如下：

[Xi，j，0=xj，low+rand（0，1）?（xj，high-xj，low）] （2）

式中：rand（0，1）服從均勻分布，隨機生成0～1之間的實數(shù)；[xj，high]和[xj，low]分別是[Xi，j]的取值上下限。

1.1.2" 變異操作

變異操作是差分進化算法中至關重要的一步，也是與其他算法顯著不同之處，種群中的每個目標向量[XGi]通過變異策略對應生成一個變異向量[VGi]，差分進化算法中最常用的5種變異策略公式如下所示：

[DE/best/1：VGi=XGbest+F?（XGr1-XGr2）] （3）

[DE/rand/1：VGi=XGr1+F?（XGr3-XGr2）] （4）

[DE/rand?Best/1：VGi=XGi+F?（XGbest-XGi）+" " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " " "F?（XGr1-XGr2）] （5）

[DE/best/2：VGi=XGbest+F?（XGr1-XGr2）+F?（XGr3-XGr4）] （6）

[DE/rand/2：VGi=XGr1+F?（XGr2-XGr3）+F?（XGr4-XGr5）] （7）

式中：i表示種群中個體的索引；r1，r2，r3，r4，r5∈[1，NP]，在閉集合[1，NP]內(nèi)隨機產(chǎn)生的一個整數(shù)，且隨機生成的整數(shù)也需要滿足r1≠r2≠r3≠r4≠r5的條件；F是變異因子，控制差分向量的大小，影響目標向量向變異向量移動的步長；[XGbest]代表著當代種群中最優(yōu)的個體，引導種群進化。完成變異操作后的變異向量有時會超出解空間，也就是[xj，high]和[xj，low]的范圍之外，因此，每次變異操作后會進行邊界處理，公式如下：

[vG+1i，j=vG+1i，j，" " vG+1i，j∈[xj，low，xj，high]xj，low+rand（0，1）?（xj，high-xj，low），" otherwise] （8）

變異向量在搜索范圍內(nèi)時保持不變，超出范圍則重新生成一個新的變異向量。

1.1.3" 交叉操作

為了保證種群整體的多樣性，在變異后需要進行交叉操作，而交叉操作常用的兩種方法是二項交叉和指數(shù)交叉。由于指數(shù)交叉會過多地保留變異個體的信息，所以二項交叉應用更廣泛。通過二項交叉將變異向量[VGi]與目標向量[XGi]進行交叉，得到試驗向量[UGi]，二項交叉的具體操作如下：

[uG+1i，j=vGi，j，" " "randi，j（0，1）≤CR或j=jrandxGi，j，" " "otherwise] （9）

式中：[uG+1i，j]表示第G+1代第i個試驗向量的第j個分量；CR為交叉概率，CR越大，變異向量保留的分量越多，值的變化范圍在[0，1]之間；[jrand]是[1，D]范圍內(nèi)隨機選取的一個整數(shù)，其作用是保證至少有一維向量來自變異向量，確保整個進化過程中個體信息是在不斷更迭。

1.1.4" 選擇操作

選擇操作的核心是“貪婪”策略，將目標向量與試驗向量做對比，之后選擇適應度值更優(yōu)的個體，從而生成下一代的初始種群。所用的選擇公式如下所示：

[XG+1i=UGi，" " f（UGi）≤f（XGi）XGi，" " otherwise] （10）

上述操作完成后，就完成了種群一代的進化；之后不斷重復直至尋到最優(yōu)解或達到最大迭代次數(shù)為止。DE算法流程如圖1所示。

1.2" DBSCAN算法

聚類算法是一類用于將數(shù)據(jù)集中的對象劃分為不同組別（或稱為簇）的算法，旨在發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中的內(nèi)在結(jié)構，使得同一組內(nèi)的對象在某種意義上相似，而不同組之間的對象則有所不同。常見的聚類算法有五種，分別為K均值聚類算法、DBSCAN算法、層次聚類、密度峰值聚類和高斯混合模型。表1列舉了五種聚類算法的優(yōu)缺點，通過對表1的分析，本文選擇采用DBSCAN算法為種群分類。該算法可以基于數(shù)據(jù)點的密度來發(fā)現(xiàn)任意形狀的聚類，同時也能有效識別噪聲點，對噪聲魯棒性強，運行速度也比較快。DBSCAN算法的核心就是將高密度區(qū)域內(nèi)部緊密相連的數(shù)據(jù)點歸為同一類別，這與本文想要將進化過程中的個體進行歸類，從而分析種群整體差異性的想法不謀而合。

DBSCAN算法的具體操作過程如下。

1） 選擇參數(shù)。首先需要選擇兩個參數(shù)，即ε（鄰域半徑）和MinPts（最小鄰居數(shù)）。ε決定了在距離ε內(nèi)的點被認為是鄰居，MinPts是指在鄰域半徑內(nèi)所需要的最少點的數(shù)量。

2） 初始化。隨機選擇一個未被訪問的數(shù)據(jù)點作為起始點。

3） 找鄰居。找出起始點ε鄰域內(nèi)的所有點，如果這個鄰域內(nèi)的點的數(shù)量大于等于MinPts，則該點被標記為核心點。

4） 生成簇。對于核心點，通過它們的鄰居繼續(xù)找到可達的核心點，將它們加入同一個簇中。重復這個過程，直到所有的核心點都被訪問過。

5） 標記噪聲。將未被訪問的點標記為噪聲點，這些點不屬于任何簇。

通過以上步驟，DBSCAN算法能夠找出數(shù)據(jù)集中密度高的區(qū)域，并將它們劃分為不同的簇，同時也能夠識別出噪聲點。但參數(shù)ε和MinPts的選擇對算法的效果影響很大，合適的參數(shù)選擇是確保算法有效性的關鍵。

2" PCA?DBSDE

在DE算法與聚類分析結(jié)合的研究中，大多數(shù)的研究者都是采用K均值聚類方法對算法進行優(yōu)化。比如，高平等人提出一種基于Laplace分布的變異算子和Logistic變尺度混沌搜索的改進差分進化的K均值聚類算法；喻金平等利用最大最小距離積方法初始化種群，構造出適用K均值聚類適應度函數(shù)以及全局引導的位置更新公式的人工蜂群算法；Sheng Weiguo等人提出了一種基于自適應小生境和K均值聚類的差分進化算法，用于分區(qū)數(shù)據(jù)聚類。但使用K均值聚類時，算法容易收斂于局部最小值，且對初始的中心點敏感，不同的初始化對結(jié)果的影響也很大。因此，本文提出一種DBSCAN聚類算法與DE算法相結(jié)合的改進算法。

2.1" PCA降維

在DE算法中，種群的維度一般都設置為30和50，但因DBSCAN不能很好地應對高維數(shù)據(jù)，于是本文采用主成分分析（PCA）技術將種群信息矩陣的維度降到2維，方便進行聚類分析。PCA方法的目的是生成既可以減少種群矩陣維度又可以保留種群信息的新特征矩陣，具體操作步驟如下。

首先需要對原始數(shù)據(jù)進行標準化，即去除初始種群矩陣的數(shù)據(jù)均值，并通過協(xié)方差計算出標準化后數(shù)據(jù)矩陣的特征值和特征向量，具體公式如下：

[Cov=1NP-1popTnorm·popnorm] （11）

[Cov（Xpop）=λXpop] （12）

式中：[popnorm]是標準化后的種群信息矩陣；NP是種群個體數(shù)量；Cov是求得的協(xié)方差矩陣；[λ]為Cov的特征值；[Xpop]為特征向量。

然后保留特征值最大的前兩個特征向量[Xpop1]和[Xpop2]；最后將標準化后的矩陣與保留的特征向量相乘，得到最終的降維結(jié)果[PCApop]。

為了方便可視化和理解，圖2展示了一組2維矩陣通過PCA方法降維到1維的過程。

2.2" DBSCAN種群分類

通過PCA將初始種群降維到2維后，種群的信息復雜度降低，方便使用DBSCAN方法對種群進行分類。但進行分類前，需要確定DBSCAN的ε和MinPts。在本文中，通過計算每個個體之間的歐氏距離并求平均值來確定ε。

MinPts則通過設置不同值，并統(tǒng)計出在種群數(shù)量為10 000的迭代過程中不同MinPts對種群分類數(shù)量的影響，以此來確定具體MinPts，如表2所示。由表2的數(shù)據(jù)可知：當MinPts設置為4、5、6時，種群通過DBSCAN方法得到簇的數(shù)量集中在1和2，這意味著較高的MinPts會導致種群分類效果不明顯；而當MinPts取2時，得到簇的種類過多，不利于判斷種群密度。因此，本文選擇將MinPts設置為3，有利于了解種群個體之間的差異度，從而方便選擇，更加有利于種群進化的交叉因子和變異因子的設置。在統(tǒng)計過程中也發(fā)現(xiàn)，種群進化過程中，相鄰的幾次DBSCAN分類得到的簇數(shù)量往往是相同的，為了減少運行時間，選擇[D10]進行一次分類操作。

確定了ε和MinPts后，就可以對降維后的種群進行分類操作，具體操作流程如圖3所示。

2.3" 變異因子和交叉因子的設置

在種群迭代過程中，種群個體之間的差異度不斷變化，適應能力也不盡相同。因此，在通過DBSCAN分類后，根據(jù)簇的數(shù)量來判斷種群整體的差異程度，并根據(jù)差異程度，采用不同的交叉因子和變異因子的取值。當個體之間差異度過高，即生成簇的數(shù)量過多，說明種群可能陷入局部最優(yōu)或者未找到最優(yōu)解，因此需要相對較大的F和相對較小的CR來保證種群的空間搜索能力，提高步長，幫助部分個體跳出局部最優(yōu)的情況；與之相反的情況則是DBSCAN生成的簇相對較少，種群內(nèi)個體較為集中，為了保持種群整體的進化能力，保存更多的種群信息，F(xiàn)的取值相對較小，而CR的值相對較大。通過分析表2的數(shù)據(jù)，選擇簇數(shù)量為3作為評判標準的分界點。具體取值公式如下：

[F=0.4×rand（NP，1）+" " " " "0.1×tan（π×（rand（NP，1）-0.5）），" numclt;30.5+0.4×（rand（NP，1））+" " " " "0.1×tan（π×（rand（NP，1）-0.5）），" otherwise] （13）

[CR=（0.5+0.5×rand（NP，1））×" " "sin（0.5×π×G）×（GG_max），" "numclt;30.1+0.4×（rand（NP，1））×sin（0.5×π×G）×（GG_max），" " " " otherwise] （14）

式中numc表示簇的數(shù)量，通過對F和CR取值的限定，從而更好地滿足種群迭代的要求。

本文提出的改進方法具體流程如圖4所示。

3" 實驗結(jié)果和分析

PCA?DBSDE算法是由軟件Matlab編寫完成，所用計算機的硬件配置為：ADM Ryzen 7 5800H with Radeon Graphics，頻率為3.2 GHz的CPU和16 GB的RAM。在上述實驗環(huán)境中，通過對CEC2014測試集中的30個基準函數(shù)進行測試分析，得出結(jié)論。30個基準函數(shù)的分類如表3所示。

3.1" 與其他DE改進算法比較結(jié)果

將本文提出的PCA?DBSDE算法與其他5個先進DE變體（JADE、SinDE、TSDE、AGDE、EFADE）進行比較。所有算法的參數(shù)設置若無特殊說明，則與原算法一致，NP表示種群的數(shù)量，一般為5D，D表示種群中個體的維度，在本文比較中，D取30和50；最大迭代次數(shù)G_max為10 000D，當算法迭代次數(shù)達到G_max，則停止運算。其他參數(shù)設置見表4。

將每個算法獨立運行50次，記錄30個基準函數(shù)50次結(jié)果的平均誤差（mean）和標準差（std）。各個算法在基準函數(shù)的表現(xiàn)結(jié)果分別如表5和表6所示。

單峰函數(shù)：CEC2014中的F1～F3，函數(shù)特征是連續(xù)平滑不可分。種群個體維度不論是30還是50，PCA?DBSDE的表現(xiàn)都是最優(yōu)，測試結(jié)果的均值和標準差都明顯優(yōu)于其他算法，魯棒性和穩(wěn)定性都處于領先地位。

簡單多模態(tài)函數(shù)：CEC2014中的F4～F16，該函數(shù)特征也是連續(xù)不可分離的，但存在許多局部最優(yōu)解。在D=30的測試中，從均值來看，PCA?DBSDE在8個函數(shù)上表現(xiàn)最優(yōu)，且測試F4、F7和F8時，都找到了最優(yōu)解。從標準差來看，PCA?DBSDE也有5個測試函數(shù)的標準差優(yōu)于其他算法。在D=50的測試結(jié)果中，PCA?DBSDE的表現(xiàn)略遜于D=30，有5個測試函數(shù)的均值和6個測試函數(shù)的標準差優(yōu)于其他5個算法。從測試結(jié)果的優(yōu)劣可以看出，PCA?DBSDE對局部最優(yōu)問題有良好的解決方法。

混合函數(shù)：CEC2014中的F17～F22，函數(shù)特征較為復雜，并且不同的變量有不同的屬性。在D=30的測試中，PCA?DBSDE僅在F19的測試結(jié)果中劣于TSDE。但種群維度為50時，PCA?DBSDE測試結(jié)果與JADE平分秋色，皆有測試表現(xiàn)較好的函數(shù)。

組合函數(shù)：CEC2014中的F23～F30，這些函數(shù)不僅有多個局部最優(yōu)點，也包含不對稱的不同屬性的變量。在D=30的測試結(jié)果中，PCA?DBSDE表現(xiàn)優(yōu)越，有5個最優(yōu)的均值結(jié)果和標準差，遠遠優(yōu)于其他算法；位居其后的則是SinDE，但也僅有3個最優(yōu)均值；在D=50時，PCA?DBSDE也是表現(xiàn)最好，有6個測試結(jié)果優(yōu)于其他算法。通過對組合函數(shù)的測試結(jié)果可以看出，PCA?DBSDE在處理多種函數(shù)組合的問題中有十分優(yōu)越的性能。

綜上所述，在D=30測試中，PCA?DBSDE表現(xiàn)十分優(yōu)越，在各類型的函數(shù)測試中都明顯優(yōu)于其他算法。但當種群維度提高到50時，測試結(jié)果要稍稍遜于維度為30的表現(xiàn)，因為隨著維度提高，PCA降維導致的信息丟失也會增多，導致種群內(nèi)部個體的分類出現(xiàn)錯誤，從而影響測試結(jié)果。從整體的測試結(jié)果分析可知，PCA?DBSDE應對各類函數(shù)時，表現(xiàn)結(jié)果都非常優(yōu)異，證明了PCA?DBSDE方法具有很強的可行性和競爭性，能夠有效應對種群進化過程中陷入局部最優(yōu)的情況，加快種群進化進程，幫助找到最優(yōu)解。圖5所示為PCA?DBSDE與其他算法在某些函數(shù)上的最優(yōu)值的迭代曲線。

3.2" 檢驗結(jié)果分析

除了觀察測試函數(shù)的結(jié)果外，也通過多個檢驗方法驗證了PCA?DBSDE的優(yōu)越性，其檢驗結(jié)果如表7～表10所示。

表7采用了符號秩檢驗和秩和檢驗兩種方法，在顯著性水平ɑ為0.05時，將PCA?DBSDE與其他先進算法進行比較，“+”含義為在該函數(shù)測試結(jié)果上，PCA?DBSDE有95%的概率優(yōu)于比較算法，“=”表示PCA?DBSDE算法與比較算法相當，“-”則表示劣于比較算法。從表7可以清楚地看出，PCA?DBSDE無論是符號秩檢驗還是秩和檢驗，都有一半以上的檢驗結(jié)果是優(yōu)于其他算法的，至多也只有7個函數(shù)測試結(jié)果比SinDE差。

表8和表9則采用的是威爾克遜檢驗方法，R+和R-表示正負秩和。從表中可知，R+的值都比R-大，說明PCA?DBSDE算法的性能整體優(yōu)于其他算法。從測試結(jié)果可以看出，不論種群維度為30還是50，漸近值P都小于置信區(qū)間ɑ，說明PCA?DBSDE測試結(jié)果優(yōu)于其他算法的假設是成立的。

表10所示為采用弗雷德曼檢驗法得到的結(jié)果。從中可以很清楚地看出，無論D是30還是50，PCA?DBSDE的秩和值都為最小，驗證了PCA?DBSDE算法的優(yōu)越性。

4" 結(jié)" 語

本文基于DE算法的基礎理論，提出通過PCA降維種群，并采用DBSCAN算法對種群進行分類的PCA?DBSDE算法。該算法將種群的維度從30或50維降低到2維；再通過確定最小鄰域數(shù)和鄰域半徑將每代的初始種群分類成簇，通過判斷簇的數(shù)量分析目前種群內(nèi)個體的密度，從而采取不同的變異因子和交叉因子來適應種群的進化，幫助種群跳出局部最優(yōu)，保持種群進化速度，防止進化停滯現(xiàn)象發(fā)生。采用CEC2014測試集將PCA?DBSDE算法與其他先進算法進行了比較，也用弗雷德曼和威爾克遜方法進行了檢驗。實驗結(jié)果表明，PCA?DBSDE算法在30維和50維的測試中占據(jù)領先地位，表現(xiàn)出了極強的競爭力和魯棒性。

在后續(xù)的工作中，將繼續(xù)研究PCA?DBSDE算法的可行性，降低高維度問題的信息丟失問題，并推廣到其他算法中，進一步研究該算法的理論依據(jù)。

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