在“聯(lián)·通·變”中提升模型意識(shí)

【摘" "要】我國(guó)古代趣味數(shù)學(xué)題“雞兔同籠”是培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)的典型內(nèi)容。北師大版教材五年級(jí)上冊(cè)《嘗試與猜測(cè)》一課，以“雞兔同籠”問(wèn)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“假設(shè)—驗(yàn)證—調(diào)整—解決”的問(wèn)題解決過(guò)程，使學(xué)生從中體會(huì)解決問(wèn)題的一般策略——假設(shè)，并理解列表、畫(huà)圖與列式計(jì)算間的內(nèi)在聯(lián)系。教師通過(guò)前后兩次教學(xué)實(shí)踐的深入對(duì)比，認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)模型具有很強(qiáng)的生長(zhǎng)性，這種生長(zhǎng)性源于新舊知識(shí)和思維方法之間的關(guān)“聯(lián)”，源于不同方法和不同表現(xiàn)形式之間的本質(zhì)溝“通”，源于以不“變”的數(shù)學(xué)模型應(yīng)對(duì)萬(wàn)變的數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈活應(yīng)用。這種“聯(lián)·通·變”的教學(xué)實(shí)踐，能夠有效提升學(xué)生的模型意識(shí)，促進(jìn)他們核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】雞兔同籠；模型意識(shí)；解決問(wèn)題

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟?！钡降谌龑W(xué)段（5～6年級(jí)），學(xué)生模型意識(shí)的表現(xiàn)水平應(yīng)達(dá)到能通過(guò)現(xiàn)實(shí)生活或具體情境抽象出一類數(shù)學(xué)問(wèn)題的程度。我國(guó)古代趣味數(shù)學(xué)題“雞兔同籠”是培養(yǎng)學(xué)生模型意識(shí)的典型內(nèi)容。北師大版教材五年級(jí)上冊(cè)《嘗試與猜測(cè)》一課，以“雞兔同籠”問(wèn)題為載體，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“假設(shè)—驗(yàn)證—調(diào)整—解決”的問(wèn)題解決過(guò)程，使學(xué)生從中體會(huì)解決問(wèn)題的一般策略——假設(shè)，并理解列表、畫(huà)圖與列式計(jì)算間的內(nèi)在聯(lián)系。學(xué)生通過(guò)這一課的學(xué)習(xí)，能理解列式的“淵源”，掌握解決問(wèn)題的思路與技能，培養(yǎng)建模的關(guān)鍵能力與必備品格，進(jìn)而感受中華傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化的深遠(yuǎn)影響?；诖?，筆者對(duì)《嘗試與猜測(cè)》一課的教學(xué)進(jìn)行了研磨。下面將展示具體的磨課經(jīng)歷以及這一過(guò)程中產(chǎn)生的思考。

一、首次試教

（一）情境導(dǎo)入

教師課件出示題目：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉（雞）兔各幾何？

接著，把題目中的35個(gè)頭調(diào)整為10個(gè)頭，94條腿調(diào)整為28條腿，引導(dǎo)學(xué)生從簡(jiǎn)單的情況入手進(jìn)行探究。

（二）自主探究

1.任務(wù)研究：學(xué)會(huì)使用假設(shè)策略解決問(wèn)題，采用列表、畫(huà)圖、計(jì)算或個(gè)人喜歡的方法進(jìn)行探究。

2.方法反饋與呈現(xiàn)。

（1）畫(huà)圖法。結(jié)合圖式解讀假設(shè)策略。

（2）列表法，包括有序列表、跳躍列表、取中列表。引導(dǎo)學(xué)生利用列表法討論假設(shè)策略，并對(duì)比這三種列表法有什么不同。

（3）列式計(jì)算法。

在反饋上述三種方法的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生探討方法間的聯(lián)系，得出：解題過(guò)程中需要不斷進(jìn)行假設(shè)和調(diào)整。但無(wú)論采用哪種方法，都是在驗(yàn)證過(guò)程中逐步確定答案的。

（三）鞏固練習(xí)（略）

（四）課堂總結(jié)（略）

二、對(duì)首次試教的思考

經(jīng)過(guò)首次試教，筆者發(fā)現(xiàn)部分學(xué)生在解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，數(shù)學(xué)思維停留在零散、無(wú)序狀態(tài)。那么，教師是否可以引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，逐步將實(shí)際問(wèn)題抽象化，構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行解釋和應(yīng)用呢？基于此，可以從以下兩方面深入思考。

思考1：如何構(gòu)建數(shù)學(xué)模型進(jìn)行探究活動(dòng)

數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)符號(hào)（數(shù)字、字母、圖表、符號(hào)等）來(lái)刻畫(huà)客觀世界中物體間的數(shù)量關(guān)系和空間形式的模型。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)從學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，以任務(wù)為導(dǎo)向，對(duì)列表法、假設(shè)法進(jìn)行調(diào)整與優(yōu)化，并揭示這些方法的共同原理。

思考2：如何借助模型意識(shí)解決“雞兔同籠”問(wèn)題

對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，具備有效建構(gòu)并運(yùn)用模型意識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的能力是非常重要的。因此，在學(xué)生初步構(gòu)建數(shù)學(xué)模型后，教師要不斷將其與現(xiàn)實(shí)情境進(jìn)行結(jié)合，讓學(xué)生通過(guò)解決結(jié)構(gòu)相似的實(shí)際問(wèn)題，完善模型結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化數(shù)學(xué)與外部世界的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)從解決單一問(wèn)題到解決一類問(wèn)題的轉(zhuǎn)變。

基于以上思考，筆者對(duì)本課的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行了調(diào)整。調(diào)整后的教學(xué)目標(biāo)如下。

1.通過(guò)實(shí)踐操作活動(dòng)，理解、掌握并運(yùn)用列表法、畫(huà)圖法等解決“雞兔同籠”問(wèn)題。

2.經(jīng)歷用列表等不同方法解決“雞兔同籠”問(wèn)題的全過(guò)程，體會(huì)運(yùn)用假設(shè)策略解題時(shí)方法的多樣性，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

3.感受古代數(shù)學(xué)問(wèn)題的趣味性，體會(huì)“雞兔同籠”問(wèn)題的數(shù)學(xué)價(jià)值，發(fā)展模型意識(shí)和推理意識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力。

三、改進(jìn)后的教學(xué)

（一）情境導(dǎo)入，理解題意

1.情境導(dǎo)入。

教師利用多媒體課件出示《孫子算經(jīng)》中的經(jīng)典題目：今有雉（雞）兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問(wèn)雉（雞）兔各幾何。

2.理解題意。

師：你們讀懂題目了嗎？

生：我讀懂了。題目告訴我們雞和兔在同一個(gè)籠子里，從上面數(shù)有35個(gè)頭，從下面數(shù)有94條腿，問(wèn)雞和兔各有幾只。

3.化繁為簡(jiǎn)。

為便于探究，可以先從簡(jiǎn)單的情況入手，故把題目中的35個(gè)頭調(diào)整為10個(gè)頭，94條腿調(diào)整為28條腿。

教師出示探究例題：今有雞兔同籠，從上面數(shù)有10個(gè)頭，從下面數(shù)有28條腿，問(wèn)雞有幾只，兔有幾只。

（二）多元表征，厘清關(guān)系

1.自主探究。

教師出示學(xué)習(xí)任務(wù)一：請(qǐng)你們用填一填、畫(huà)一畫(huà)、算一算或其他自己喜歡的方法進(jìn)行自主探究（如圖1）。引導(dǎo)學(xué)生采用列表、畫(huà)圖、列式計(jì)算等多種表征方式進(jìn)行探究活動(dòng)。

2.交流討論。

（1）交流列表法。

師：請(qǐng)大家一起來(lái)看看，這幾個(gè)同學(xué)是如何運(yùn)用列表法來(lái)解決問(wèn)題的。

生：我先假設(shè)雞有1只，兔有9只，發(fā)現(xiàn)腿數(shù)過(guò)多，于是逐步調(diào)整。每次增加1只雞，減少1只兔，直至得到雞有6只，兔有4只。

生：我采用的方法調(diào)整的次數(shù)較少。我先假設(shè)雞有9只，兔有1只，發(fā)現(xiàn)腿數(shù)遠(yuǎn)少于實(shí)際。于是每次增加2只兔，減少2只雞。當(dāng)發(fā)現(xiàn)總腿數(shù)只比實(shí)際少2條時(shí)，我再增加1只兔，減少1只雞，從而得到正確答案。

生：我采用了一種更為簡(jiǎn)潔的方法。我先假設(shè)雞和兔各有5只，發(fā)現(xiàn)腿數(shù)比實(shí)際多了2條，由此想到兔子多了1只，雞少了1只。因此我將雞和兔的數(shù)量分別調(diào)整為6只和4只，驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)答案正確。

生：我直接假設(shè)全部是雞，驗(yàn)證后發(fā)現(xiàn)腿數(shù)比實(shí)際少了8條，說(shuō)明有4只兔被誤認(rèn)成了雞。而如果把1只兔看成1只雞，腿數(shù)會(huì)少2條。所以，需要將實(shí)際少的8條腿換到兔身上，得到兔有4只，雞有6只。

師：這幾種列表法有什么相同和不同的地方？

生：他們都是先假設(shè)一種答案，然后經(jīng)過(guò)驗(yàn)證和調(diào)整，最終得到正確答案。

（2）交流畫(huà)圖法和列式計(jì)算法。

師：大家還有沒(méi)有其他方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題。

生：我先假設(shè)全是雞。經(jīng)過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)腿數(shù)只有20條，與題目中給出的28條相比少了8條，說(shuō)明要把4只雞調(diào)整為4只兔。由此得到兔有4只，雞有6只（如圖2）。

生：我和他的方法剛好相反。我是先假設(shè)全部為兔，發(fā)現(xiàn)腿數(shù)有40條，與題目中給出的28條相比多了12條，說(shuō)明要把6只兔調(diào)整為6只雞。由此得到雞有6只，兔有4只（如圖3）。

生：他們都是從“頭的數(shù)量”出發(fā)進(jìn)行假設(shè)的，而我是從“腿的數(shù)量”出發(fā)進(jìn)行假設(shè)的。我先假設(shè)28條腿都是雞的腿。經(jīng)過(guò)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)有14個(gè)頭，比題目中給出的10個(gè)頭多了4個(gè)頭。這是因?yàn)槊堪?只兔看成1只雞，就會(huì)多出1個(gè)頭?，F(xiàn)在多了4個(gè)頭，說(shuō)明有4只兔被錯(cuò)誤地看成了雞，所以兔有4只，雞有6只（如圖4）。

（3）建立方法間的聯(lián)系。

師：通過(guò)剛才的交流討論，我們不難發(fā)現(xiàn)，列表法、畫(huà)圖法和列式計(jì)算法之間存在相通之處。

生：這些方法都是先假設(shè)，再驗(yàn)證、調(diào)整，最后得到正確答案的。

生：這些方法都先進(jìn)行了嘗試與猜測(cè)，比較假設(shè)的腿數(shù)或頭數(shù)與題目中給出的腿數(shù)與頭數(shù)，得出相差數(shù)，再看相差數(shù)與每只雞或兔相差的腿數(shù)（頭數(shù)）之間的關(guān)系，對(duì)雞和兔的數(shù)量進(jìn)行調(diào)整。

3.解決《孫子算經(jīng)》中的經(jīng)典題目。

讓學(xué)生運(yùn)用假設(shè)的策略解決問(wèn)題，了解古人的解法。（教學(xué)過(guò)程略）

（三）變與不變，遷移應(yīng)用

練習(xí)環(huán)節(jié)，教師借助日常生活中類似“雞兔同籠”的問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用假設(shè)的策略解決問(wèn)題。具體題目如下。

1.龜鶴共10只，腳共28只，龜有幾只？鶴有幾只？

2.小明的儲(chǔ)蓄罐里有10張面值是2元和5元的人民幣，共29元。2元的人民幣有幾張？5元的人民幣有幾張？

3.媽媽買了10千克水果，共花了38.8元。已知蘋果每千克5元，每千克桃子比每千克蘋果便宜1.4元。蘋果有幾千克？桃子有幾千克？

四、課例研究之“感悟與體會(huì)”

深入對(duì)比前后兩次教學(xué)實(shí)踐，改進(jìn)后的教學(xué)注重學(xué)習(xí)任務(wù)的導(dǎo)向作用，引導(dǎo)學(xué)生有序展開(kāi)深入思考。

（一）通過(guò)列表法之間的比較，深化對(duì)數(shù)學(xué)模型要素的感知

模型意識(shí)的培養(yǎng)是一個(gè)循序漸進(jìn)的過(guò)程，不同教學(xué)階段承載的教學(xué)目標(biāo)是有差異的。本節(jié)課的教學(xué)應(yīng)注重對(duì)列表法的調(diào)整與優(yōu)化，并引導(dǎo)學(xué)生深入思考“調(diào)整次數(shù)的不同是什么原因?qū)е碌摹?，讓學(xué)生在調(diào)整方法的過(guò)程中，通過(guò)計(jì)算、觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律。在縱向上，學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系“雞的只數(shù)×2+兔的只數(shù)×4=總腿數(shù)”；在橫向上，他們也能發(fā)現(xiàn)數(shù)量變化規(guī)律“當(dāng)一只雞換成一只兔，腿數(shù)會(huì)增加2，反之則減少2”。由此，通過(guò)不斷調(diào)整和優(yōu)化，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，培養(yǎng)他們有序思考和擇優(yōu)選擇方法的意識(shí)，從而深化他們對(duì)數(shù)學(xué)模型要素的感知。

（二）通過(guò)對(duì)多種方法的比較，體會(huì)數(shù)學(xué)模型的原理

在解決“雞兔同籠”問(wèn)題時(shí)，除了列表法，學(xué)生還嘗試采用了畫(huà)圖、列式計(jì)算等多種方法。教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)這些方法進(jìn)行對(duì)比探究，發(fā)現(xiàn)這些方法的共同原理，即“假設(shè)—驗(yàn)證—調(diào)整—解決”。通過(guò)這一過(guò)程，學(xué)生能夠深刻體會(huì)雖然解決問(wèn)題的形式可能多種多樣，但解決問(wèn)題的思路和技能卻是相同的。這種對(duì)比有助于學(xué)生從解決單一問(wèn)題向解決一類問(wèn)題轉(zhuǎn)變，初步建立模型意識(shí)和推理意識(shí)，實(shí)現(xiàn)思維的結(jié)構(gòu)化發(fā)展。

（三）通過(guò)不同情境的比較，感悟數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值

在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)有序推進(jìn)建模活動(dòng)，促進(jìn)學(xué)生思維的進(jìn)階和模型意識(shí)的提升。在建立模型階段，讓學(xué)生親身經(jīng)歷“嘗試—猜測(cè)—驗(yàn)證—調(diào)整”的過(guò)程，從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，通過(guò)驗(yàn)證和調(diào)整厘清數(shù)量關(guān)系，感受并建立數(shù)學(xué)模型。在運(yùn)用模型階段，利用情境變化設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)相似的練習(xí)，使學(xué)生從一般到特殊、從典型到變式，實(shí)現(xiàn)模型的遷移應(yīng)用。這一過(guò)程有助于學(xué)生感悟用假設(shè)策略解決生活問(wèn)題的普遍性，從而體會(huì)到數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用價(jià)值。

綜上所述，數(shù)學(xué)模型具有很強(qiáng)的生長(zhǎng)性，這種生長(zhǎng)性源于新舊知識(shí)和思維方法之間的關(guān)“聯(lián)”，源于不同方法和不同表現(xiàn)形式之間的本質(zhì)溝“通”，源于以不“變”的數(shù)學(xué)模型應(yīng)對(duì)萬(wàn)變的數(shù)學(xué)問(wèn)題的靈活應(yīng)用。這種“聯(lián)·通·變”的教學(xué)實(shí)踐，能夠有效提升學(xué)生的模型意識(shí)，促進(jìn)他們核心素養(yǎng)的全面發(fā)展。