設(shè)計(jì)進(jìn)階活動(dòng) 聚焦概念本質(zhì)

【摘" "要】周長(zhǎng)和面積一直是學(xué)生容易混淆的兩個(gè)概念。教學(xué)時(shí)，教師巧妙地將周長(zhǎng)融入更為廣義的長(zhǎng)度體系中加以研究，通過(guò)凸顯上位概念的進(jìn)階任務(wù)，構(gòu)建“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”的教學(xué)過(guò)程。借助豐富的素材，引導(dǎo)學(xué)生在“圍、比、量”等操作活動(dòng)中感悟周長(zhǎng)，建立圖形特征與周長(zhǎng)測(cè)量的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，并引入尺規(guī)作圖，凸顯周長(zhǎng)是長(zhǎng)度單位的個(gè)數(shù)累加這一本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的量感和空間觀念。

【關(guān)鍵詞】周長(zhǎng)；概念本質(zhì)；圖形的認(rèn)識(shí)；測(cè)量

盡管小學(xué)數(shù)學(xué)教材將面積安排在周長(zhǎng)之后進(jìn)行學(xué)習(xí)，但是學(xué)生在觀察圖形或物體時(shí)，更容易關(guān)注到“面”的特征，而非“邊”的特征，且部分教師在教學(xué)“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”時(shí)，也往往側(cè)重于對(duì)圖形或物體周長(zhǎng)的探索，而未明確區(qū)分周長(zhǎng)與面積的概念，這導(dǎo)致學(xué)生在后續(xù)應(yīng)用中常?；煜荛L(zhǎng)和面積。

教材從一般性的角度引入周長(zhǎng)概念，并呈現(xiàn)了一些規(guī)則或不規(guī)則的實(shí)物和圖形，實(shí)物如樹(shù)葉、三角尺、數(shù)學(xué)課本、鐘面等，圖形如五角星、三角形、長(zhǎng)方形、正方形等，便于學(xué)生直觀地理解周長(zhǎng)的基本含義。即“周”是從實(shí)物或圖形的某一邊界點(diǎn)出發(fā)，沿著其輪廓完整地走一圈，再回到起點(diǎn)，“周長(zhǎng)”則是這一過(guò)程中所行走路徑的長(zhǎng)度的總和。為了使學(xué)生更深入地理解周長(zhǎng)的本質(zhì)，同時(shí)為后續(xù)深入學(xué)習(xí)周長(zhǎng)與面積的區(qū)別奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，筆者以“認(rèn)識(shí)周長(zhǎng)”為主題特別設(shè)計(jì)了一節(jié)活動(dòng)探索課，將周長(zhǎng)這一概念巧妙地融入更為廣義的“長(zhǎng)度”體系中，并與圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量相結(jié)合，讓學(xué)生在完成“感受周長(zhǎng)”“對(duì)比周長(zhǎng)”“計(jì)算周長(zhǎng)”三個(gè)連續(xù)、進(jìn)階的任務(wù)的過(guò)程中，通過(guò)具身體驗(yàn)深刻理解周長(zhǎng)的概念（如圖1）。

【教學(xué)目標(biāo)】

（1）經(jīng)歷動(dòng)手操作、觀察對(duì)比等活動(dòng)，理解周長(zhǎng)的概念，能準(zhǔn)確利用工具完成周長(zhǎng)的測(cè)量。

（2）探索運(yùn)用多種工具測(cè)量不同實(shí)物和圖形周長(zhǎng)的方法，通過(guò)對(duì)比優(yōu)化策略，深刻理解圖形特性與周長(zhǎng)計(jì)算方式之間的內(nèi)在聯(lián)系。

（3）借助尺規(guī)作圖直觀感受線段的可加性，形成對(duì)周長(zhǎng)概念的直觀把握和準(zhǔn)確判斷。

【教學(xué)過(guò)程】

一、創(chuàng)造有周長(zhǎng)的圖形

1.課題導(dǎo)入

師：這節(jié)課我們一起來(lái)學(xué)習(xí)周長(zhǎng)。大家聽(tīng)說(shuō)過(guò)周長(zhǎng)嗎？關(guān)于周長(zhǎng)你們知道什么？

生：我知道周長(zhǎng)就是指圖形的一圈。

生：我知道正方形的周長(zhǎng)就是四條邊的和。

2.任務(wù)布置

師：這里有一根扭扭棒，我們把它看作一條長(zhǎng)50厘米的線段。請(qǐng)大家使用這條線段，創(chuàng)造一個(gè)周長(zhǎng)為50厘米的圖形。

（學(xué)生操作，創(chuàng)造出各種圖形）

3.交流反饋

（教師收集學(xué)生創(chuàng)造的各種圖形，呈現(xiàn)在黑板上，如圖2所示）

師：請(qǐng)大家觀察一下，你們圍的這些圖形都有周長(zhǎng)嗎？

生：④號(hào)圖形有一個(gè)缺口，所以沒(méi)有周長(zhǎng)。其他三個(gè)圖形都有周長(zhǎng)。

師：大家認(rèn)為什么樣的圖形才具有周長(zhǎng)呢？

生：只要從圖形的一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，沿著圖形邊緣走一圈后能夠回到起始點(diǎn)，這樣的圖形就具有周長(zhǎng)。

師：很好，我們用這個(gè)方法在每個(gè)圖形上描一描，一起驗(yàn)證一下，到底哪些圖形有周長(zhǎng)？

生：①②③號(hào)圖形都可以從某一點(diǎn)出發(fā)，走完一圈后回到起點(diǎn)，所以它們都有周長(zhǎng)。而④號(hào)圖形無(wú)法回到起點(diǎn)，所以它沒(méi)有周長(zhǎng)。

生（邊操作邊說(shuō)）：如果將④號(hào)圖形的缺口封閉起來(lái)，那么它也具有了周長(zhǎng)。

師：想象一下，如果將這四個(gè)具有周長(zhǎng)的圖形全部展開(kāi)拉直，我們會(huì)看到什么呢？

生：我們會(huì)看到一條長(zhǎng)度為50厘米的線段。

師：看來(lái)，使用一條簡(jiǎn)單的線段就可以創(chuàng)造出多種圖形，并且只要這個(gè)圖形能夠從某一點(diǎn)出發(fā)，走完一圈后回到起點(diǎn)，它就具有周長(zhǎng)。而圖形一周的長(zhǎng)度，就是這條線段的長(zhǎng)度，即圖形的周長(zhǎng)。

設(shè)計(jì)意圖：教師設(shè)計(jì)了“用線形材料創(chuàng)造有周長(zhǎng)的圖形”的活動(dòng)，將周長(zhǎng)的概念自然地融入長(zhǎng)度體系的學(xué)習(xí)中，讓學(xué)生通過(guò)自主操作，形成對(duì)周長(zhǎng)的初步認(rèn)知。學(xué)生從線段長(zhǎng)度的角度出發(fā)，通過(guò)連續(xù)的“圍圖形、指路徑、拉線條”等操作，逐步建立起對(duì)周長(zhǎng)的直觀感知。最終回歸對(duì)線段長(zhǎng)度的本質(zhì)理解，形成一個(gè)完整且連貫的認(rèn)知過(guò)程。

二、辨析圖形的周長(zhǎng)

1.獨(dú)立練習(xí)：描出圖3中圖形的周長(zhǎng)

2.游戲操作：比較圖形的周長(zhǎng)

（1）教師剪圓，引導(dǎo)想象。

師：如果將圓形剪去一部分，周長(zhǎng)會(huì)改變嗎？

生：我認(rèn)為周長(zhǎng)會(huì)變短。圓變小了，周長(zhǎng)肯定變短了。

生：如果沿著曲折的線路剪，周長(zhǎng)也有可能會(huì)變長(zhǎng)。

生：我認(rèn)為周長(zhǎng)可能不變。如果剪去的部分與新增的部分長(zhǎng)度相等，那么周長(zhǎng)保持不變。

師：讓我們來(lái)實(shí)際剪一剪，并觀察剪后周長(zhǎng)的變化。在剪的過(guò)程中，大家可以根據(jù)觀察調(diào)整自己的猜測(cè)（如圖4）。

生：我發(fā)現(xiàn)剪后的圖形周長(zhǎng)變長(zhǎng)了。雖然圖形剪去了一部分，但新增部分的長(zhǎng)度超過(guò)了剪去的部分。

（2）學(xué)生剪圓，引導(dǎo)對(duì)比。

師：如何剪圓形，也能使新圖形的周長(zhǎng)變得更長(zhǎng)？哪位同學(xué)能來(lái)挑戰(zhàn)一下？

生：我覺(jué)得彎彎繞繞地剪（如圖5-1），周長(zhǎng)就能變長(zhǎng)。

生：如果我們?cè)趫A的內(nèi)部剪一些齒輪，并不斷增加邊數(shù)（如圖5-2），周長(zhǎng)也會(huì)變長(zhǎng)。

師：他們的嘗試都成功了嗎？哪一個(gè)圖形的周長(zhǎng)更長(zhǎng)？

生：我認(rèn)為5-2號(hào)圖形的周長(zhǎng)更長(zhǎng)。

師：盡管大家剪的圓的大小都變小了，但周長(zhǎng)卻變長(zhǎng)了。

設(shè)計(jì)意圖：教師通過(guò)讓學(xué)生描出不同類型圖形（直邊圖形、曲邊圖形、凸圖形、凹圖形等）的周長(zhǎng)，幫助他們形成對(duì)封閉圖形周長(zhǎng)長(zhǎng)度的具體感知。通過(guò)兩次“剪圓”活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比觀察，認(rèn)識(shí)到雖然圖形的“面”變小了，但由于產(chǎn)生的“彎彎繞繞”多了，周長(zhǎng)可以變得更長(zhǎng)。這樣，學(xué)生不僅掌握了使周長(zhǎng)變長(zhǎng)的策略，而且在比較“周”與“面”的變化中，進(jìn)一步理解了周長(zhǎng)的本質(zhì)屬性。

三、測(cè)量圖形的周長(zhǎng)

1.測(cè)量任務(wù)布置

教師呈現(xiàn)圖6中的圖形，讓學(xué)生四人小組分工合作，測(cè)量它們周長(zhǎng)。

2.測(cè)量結(jié)果與方法反饋

教師出示匯總測(cè)量結(jié)果（如表1）。

（1）長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)反饋。

師：對(duì)比一下老師和三組同學(xué)的測(cè)量結(jié)果，你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生：正方形和長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)的測(cè)量結(jié)果都是一樣的。

師：你們是怎么得到它們的周長(zhǎng)的？

生：因?yàn)檎叫蔚乃臈l邊一樣長(zhǎng)，所以只要測(cè)量一條邊的長(zhǎng)度就可以了。長(zhǎng)方形的兩組對(duì)邊分別相等，所以只要測(cè)量相鄰兩條邊的長(zhǎng)度就可以了。

生：正方形的周長(zhǎng)可以用“邊長(zhǎng)×4”來(lái)計(jì)算，長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)可以用“一組鄰邊×2”來(lái)計(jì)算。

（2）圓的周長(zhǎng)反饋。

師：同學(xué)們根據(jù)圖形的特征測(cè)量并計(jì)算了長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)。那么圓的周長(zhǎng)的測(cè)量，大家用了什么好方法？

生：我們組用繩子圍著圓的邊緣繞了一圈，做上記號(hào)，再把這根繩子拉直，就可以測(cè)量出圓的周長(zhǎng)。

生：我們組在圓的邊線上標(biāo)了一個(gè)點(diǎn)，然后把圓在尺子上滾一圈，再回到這個(gè)點(diǎn)，滾過(guò)的路程就是圓的周長(zhǎng)。

生：我們組用大拇指將圓的周長(zhǎng)進(jìn)行細(xì)分，每個(gè)手指的寬差不多是1厘米，看繞圓一圈能分出幾個(gè)這樣的1厘米，周長(zhǎng)就是幾厘米。

師：遇到曲邊圖形，大家都想辦法先將曲邊變直，再用直尺測(cè)量出周長(zhǎng)。那么為什么同一個(gè)圓，使用這三種方法測(cè)量出來(lái)的周長(zhǎng)卻相差這么多？

（學(xué)生回答：要緊緊貼著邊、多滾幾次、分得更細(xì)……）

師：看來(lái)在化曲為直的過(guò)程中，我們分割出來(lái)的單位越精細(xì)，得到的測(cè)量結(jié)果就越準(zhǔn)確。

（3）三角形的周長(zhǎng)反饋。

師：三角形是直邊圖形，為什么三個(gè)組的測(cè)量結(jié)果也不太一樣？

生：因?yàn)榱砍龅拿恳粭l邊的長(zhǎng)度都不是整厘米數(shù)，所以不太精準(zhǔn)。

師：老師來(lái)介紹一個(gè)精準(zhǔn)的測(cè)量方法，看看誰(shuí)能看懂。

（教師展示尺規(guī)作圖過(guò)程，如圖7所示）

生：三角形的三條邊被放到了一條直線上，我們只要測(cè)量上面線段的長(zhǎng)度，就能一次測(cè)量出三角形的周長(zhǎng)。

師：還有哪些圖形也可以像這樣借助“尺”和“規(guī)”一次測(cè)量出它們的周長(zhǎng)？請(qǐng)給你的同桌畫(huà)一個(gè)這樣的圖形，讓他測(cè)一測(cè)。

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)測(cè)量不同圖形的周長(zhǎng)，并對(duì)比反思測(cè)量結(jié)果，學(xué)生不僅能深刻理解正方形、長(zhǎng)方形周長(zhǎng)計(jì)算公式與圖形特征之間的關(guān)系，還能在圓周長(zhǎng)的測(cè)量中熟練掌握“繞、滾、分”等操作方法，為后續(xù)圓周長(zhǎng)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。同時(shí)，通過(guò)引入尺規(guī)作圖，學(xué)生直觀感受到三角形三邊的累加過(guò)程，進(jìn)一步加深對(duì)周長(zhǎng)概念的理解。這一系列操作活動(dòng)豐富了學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)的認(rèn)知層次，使學(xué)生對(duì)周長(zhǎng)概念的理解更加完整。

四、全課小結(jié)

師：這節(jié)課我們利用多種學(xué)習(xí)材料一起研究了圖形的周長(zhǎng)，你們有哪些新的收獲？

生：我用扭扭棒進(jìn)行周長(zhǎng)實(shí)驗(yàn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)周長(zhǎng)其實(shí)是一種長(zhǎng)度。

生：我和同學(xué)剪圓的時(shí)候，發(fā)現(xiàn)不一定面越大周長(zhǎng)就越長(zhǎng)。

生：我發(fā)現(xiàn)測(cè)量圖形的周長(zhǎng)要選擇適當(dāng)?shù)臏y(cè)量工具和方法。

生：我特別喜歡用圓規(guī)和直尺這兩個(gè)工具來(lái)測(cè)量圖形周長(zhǎng)的方法。這樣不用知道每段的長(zhǎng)度，只要用圓規(guī)“搬”線段，就能一次測(cè)量出圖形的周長(zhǎng)。

師：確實(shí)，我們使用的工具和方法不同，對(duì)圖形周長(zhǎng)的探索方式也會(huì)不一樣。它們幫助我們得到了更多關(guān)于周長(zhǎng)的知識(shí)。課后，大家可以帶著這些工具和方法繼續(xù)進(jìn)行探究。

【教學(xué)反思】

一、嵌套上位概念，突顯知識(shí)牽引力

教學(xué)中，教師以“用一條線段創(chuàng)造圖形”的實(shí)踐活動(dòng)為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手圍出形態(tài)多樣的圖形。緊接著，引導(dǎo)學(xué)生在這些圖形上明確指出“一周”的路徑，并通過(guò)將線條拉直還原為初始線段，直觀理解“周長(zhǎng)”即此線段的長(zhǎng)度。此過(guò)程不僅有助于學(xué)生準(zhǔn)確區(qū)分“周”（邊界路徑）與“面”（圖形內(nèi)部區(qū)域）的概念，還深化了他們對(duì)“周”與“周長(zhǎng)”這兩個(gè)相關(guān)但又有區(qū)別的概念的理解與把握。同時(shí)，通過(guò)將周長(zhǎng)概念置于更廣泛的長(zhǎng)度概念背景中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到周長(zhǎng)是一系列長(zhǎng)度單位的連續(xù)累加。

二、設(shè)計(jì)進(jìn)階任務(wù)，激發(fā)主動(dòng)探索力

從基礎(chǔ)的“利用線形材料創(chuàng)造圖形，感受周長(zhǎng)”，逐步過(guò)渡到“破壞圓形紙片，對(duì)比周長(zhǎng)”，再到更高層次的“測(cè)量不同圖形，計(jì)算周長(zhǎng)”，本課設(shè)計(jì)的幾個(gè)任務(wù)充滿趣味性，有效激發(fā)了學(xué)生的探索欲望。在這些任務(wù)的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生自發(fā)進(jìn)行實(shí)踐操作、思考討論和驗(yàn)證猜想，實(shí)現(xiàn)了腦、口、手的多元感知。這一過(guò)程中，學(xué)生的思維方式從直覺(jué)判斷逐步發(fā)展為辯證思維，從單純的知識(shí)應(yīng)用轉(zhuǎn)向?qū)嶋H問(wèn)題的解決，在進(jìn)階型任務(wù)支持下實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知能力和實(shí)踐能力的雙重提升。

三、優(yōu)化操作材料，提升活動(dòng)吸引力

作為一個(gè)概念形成的教學(xué)內(nèi)容，選擇豐富的、適恰的操作材料，對(duì)幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念至關(guān)重要。教學(xué)中，教師選用了“扭扭棒”“圓片”等多樣化的操作材料、“三角形”“正方形”“長(zhǎng)方形”“圓”等典型的測(cè)量素材，以及“直尺”“圓規(guī)”等精準(zhǔn)測(cè)量工具。通過(guò)使用“扭扭棒”等線形材料，幫助學(xué)生建立長(zhǎng)度與周長(zhǎng)的概念聯(lián)系。通過(guò)提供直邊和曲邊、凸和凹等不同類型的圖形素材，讓學(xué)生在操作活動(dòng)中可剪、可描、可測(cè)，全面理解周長(zhǎng)概念。通過(guò)運(yùn)用各種測(cè)量工具，幫助學(xué)生根據(jù)圖形特征選擇最佳測(cè)量方法，提升他們靈活計(jì)算圖形周長(zhǎng)的能力。特別是尺規(guī)等精準(zhǔn)測(cè)量工具的運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生從粗略的、非精確的操作逐步過(guò)渡到精確的、數(shù)學(xué)化的推理，實(shí)現(xiàn)了對(duì)圖形特性的直觀準(zhǔn)確認(rèn)知。