基于中算史料的一類最值問(wèn)題編制

摘 要：聚焦關(guān)于調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)、平方平均數(shù)的均值不等式鏈的應(yīng)用，利用中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍中的一些勾股測(cè)量問(wèn)題或解直角三角形問(wèn)題來(lái)編制高中數(shù)學(xué)的一類最值問(wèn)題，為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)（評(píng)價(jià)）的實(shí)踐提供參考。從中獲得啟示：挖掘數(shù)學(xué)史料，豐富問(wèn)題資源；設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用；立足考查目標(biāo)，加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系。

關(guān)鍵詞：中國(guó)古代數(shù)學(xué)；均值不等式；最值問(wèn)題；題目命制

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）在前言中指出：課程內(nèi)容有機(jī)融入中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。［1］作為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化重要組成部分的中國(guó)古代數(shù)學(xué)史（簡(jiǎn)稱“中算史”）是一座寶藏，為當(dāng)下的數(shù)學(xué)教學(xué)提供了豐富的內(nèi)容素材和思想養(yǎng)料。

無(wú)論教學(xué)還是評(píng)價(jià)，問(wèn)題都是重要載體和工具。近年來(lái)，基于中算史料命制的高考數(shù)學(xué)試題時(shí)有出現(xiàn)。如2020年浙江卷命制了一道楊輝的高階等差數(shù)列求和問(wèn)題，2021年浙江卷命制了一道以趙爽“弦圖”為背景的計(jì)算題，2021年全國(guó)卷命制了一道劉徽的海島高度測(cè)量問(wèn)題，2022年浙江卷命制了一道以秦九韶“三斜求積”為背景的計(jì)算題，2022年全國(guó)卷命制了一道以沈括《夢(mèng)溪筆談》中的“會(huì)圓術(shù)”為背景的計(jì)算題。這些問(wèn)題的內(nèi)容來(lái)源主要集中在師生相對(duì)熟悉的圖形、公式或方法上；編制策略僅為復(fù)制式或條件式，較為單一。有些問(wèn)題作為高考題的適切性還值得商榷，如趙爽“弦圖”問(wèn)題、劉徽海島問(wèn)題屬于初中數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，基于中算史（乃至數(shù)學(xué)史）的數(shù)學(xué)問(wèn)題編制，仍是需要深入研究的課題。

本文聚焦均值不等式的應(yīng)用，利用中算典籍中的一些勾股測(cè)量問(wèn)題或解直角三角形問(wèn)題來(lái)編制高中數(shù)學(xué)的一類最值問(wèn)題，為中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)（評(píng)價(jià)）的實(shí)踐提供參考。

一、 從基于中算史料證明均值不等式談起

中國(guó)古代數(shù)學(xué)家用過(guò)的圖形和思想方法為均值不等式的證明提供了思路啟迪［2-3］，其中最典型的例子是劉徽的“勾股容方圖”和趙爽的“勾股大方圖”。

圖1所示是兩個(gè)“勾股容方圖”的組合：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′，BC＝B′C′＝a，AC＝A′C′＝b，正方形DECF和正方形D′E′C′F′分別內(nèi)接于Rt△ABC和Rt△A′B′C′，斜邊AB和A′B′部分重合，且點(diǎn)D和D′重合。由圖易得兩個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)均為d＝ab/a＋b（即為“勾股容方公式”），進(jìn)而可得4ab/a＋b2≤ab（記為①），2ab/a＋b≤ab（記為②）。

二、 編制可用不等式G≤A解決的最值問(wèn)題

均值不等式鏈中，最為基本或者說(shuō)常用的是G≤A，即所謂的“基本不等式”。由此，可得“和定積最大”“積定和最小”兩個(gè)結(jié)論?；谥兴闶妨?，可以命制許多可用這兩個(gè)結(jié)論解決的最值問(wèn)題。

首先，南宋數(shù)學(xué)家楊輝（13世紀(jì)）在《續(xù)古摘奇算法》中提出命題：“弦之內(nèi)外，分二勾股，其一勾中容橫，其一股中容直，二積之?dāng)?shù)皆同?！保?］用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述，即：如圖5，點(diǎn)E為長(zhǎng)方形ABCD的對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E分別作BC和AB的平行線，分別交AB、CD于點(diǎn)F、G，分別交AD和BC于點(diǎn)H、I，則長(zhǎng)方形FBIE和HEGD的面積相等。這一命題（下文簡(jiǎn)稱“楊輝定理”）可以看作“勾股容方公式”的推廣。

基于楊輝定理，讓“勾股容方圖”中的正方形不動(dòng)、直角三角形動(dòng)起來(lái)，可命制關(guān)于直角三角形面積的最值問(wèn)題：

問(wèn)題1 如圖6，四邊形ABCD為已知的正方形，AB＝BC＝a，點(diǎn)M為BC延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，連結(jié)MD并延長(zhǎng)，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N。過(guò)點(diǎn)M作BC的垂線MP，過(guò)點(diǎn)N作AB的垂線NP，MP和NP交于點(diǎn)P。

（1） 求點(diǎn)P的軌跡；

（2） 求AN＋CM的最小值；

（3） 求Rt△MBN面積的最小值。

由楊輝定理知，本題第（1）問(wèn)是在“積定”的情況下求軌跡，可用來(lái)鞏固反比例函數(shù)圖像（雙曲線）的知識(shí)。第（2）問(wèn)是第（3）問(wèn)的鋪墊，它們都可用“積定和最小”的結(jié)論解決。

其次，《九章算術(shù)》中有許多勾股測(cè)量問(wèn)題，根據(jù)這些問(wèn)題，可以編制具有現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例如，《九章算術(shù)》“勾股”章中設(shè)題：“今有邑方不知大小，各中開門。出北門三十步有木。出西門七百五十步見木。問(wèn)：邑方幾何？”［5］據(jù)此，可以設(shè)計(jì)以下校園測(cè)望問(wèn)題：

問(wèn)題2 如圖7，若一所學(xué)校所在區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD，其邊長(zhǎng)AB＝500米。學(xué)校北門和西門分別開在北圍墻和西圍墻的中點(diǎn)處。甲、乙兩人分別從北門E和西門G出發(fā)向正北和正西方向直走一段距離后止步測(cè)望，問(wèn)：當(dāng)兩人剛好能望見彼此時(shí)，他們步行總路程的最小值是多少？

再如，《九章算術(shù)》“勾股”章中設(shè)題：“今有邑方一十里，各中開門。甲乙俱從邑中央而出：乙東出，甲南出，出門不知步數(shù)，邪向東北，磨邑隅，適與乙會(huì)。率：甲行五，乙行三。問(wèn)：甲、乙行各幾何？”［6］據(jù)此，可以設(shè)計(jì)以下校園測(cè)望問(wèn)題：

問(wèn)題3 如圖8，若一所學(xué)校所在區(qū)域?yàn)檎叫蜛BCD，其邊長(zhǎng)AB＝500米。學(xué)校東門和南門分別開在東圍墻和南圍墻的中點(diǎn)處。甲從校園中心O出發(fā)往南門G直走，出門后繼續(xù)沿正南方向直走一段距離至點(diǎn)H處，然后立即轉(zhuǎn)身望東偏北方向直走，中途經(jīng)過(guò)校園東南角C；乙從校園中心O出發(fā)往東門E直走，出門后繼續(xù)沿正東方向直走；二人在點(diǎn)F處會(huì)合。問(wèn)：甲出南門后走多遠(yuǎn)時(shí)拐彎，甲、乙所走的總路程最短？此時(shí)，甲、乙步行速度之比是多少？

又如，《九章算術(shù)》“勾股”章中設(shè)題：“今有邑方不知大小，各中開門。出北門二十步有木，出南門一十四步，折而西行一千七百七十五步見木。問(wèn)：邑方幾何？”［7］據(jù)此，可以設(shè)計(jì)以下校園測(cè)望問(wèn)題：

問(wèn)題4 如圖9，若一所學(xué)校所在區(qū)域?yàn)檎叫蜦GHI，其邊長(zhǎng)FG＝200米。學(xué)校北門和南門分別開在北圍墻和南圍墻的中點(diǎn)處。甲、乙兩人分別從北門D和南門E出發(fā)向正北和正南方向直走相同距離達(dá)到點(diǎn)A和C處，乙轉(zhuǎn)而向西行至剛好能望見乙的點(diǎn)B處，問(wèn)：甲向北走多少米時(shí)，他們所走路程總和最??？最小值是多少？

問(wèn)題2—4都是以“勾股容方圖”為基礎(chǔ)的變式問(wèn)題，均可用“積定和最小”的結(jié)論解決。其難度遞進(jìn)：?jiǎn)栴}2只涉及兩條直角邊的長(zhǎng)度，問(wèn)題3還涉及斜邊的長(zhǎng)度，問(wèn)題4中的直角三角形內(nèi)接的是長(zhǎng)方形（正方形的一半）。

以問(wèn)題4為例，在此基礎(chǔ)上逆向思考，可以設(shè)計(jì)可用“和定積最大”解決的問(wèn)題：

問(wèn)題5 如圖9，有三棵樹分別位于一個(gè)等腰直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)A、B和C處，AC＝300米。若要建一矩形校園FGHI，使得點(diǎn)A、北門D（北圍墻FI的中點(diǎn)）、南門E（南圍墻GH的中點(diǎn)）和點(diǎn)C共線，DA＝EC，且校園一角F位于AB上，問(wèn)：校園面積最大值是多少？

再次，金元時(shí)期數(shù)學(xué)家李冶（1192—1279）的《測(cè)圓海鏡》中也有一些解直角三角形問(wèn)題，根據(jù)這些問(wèn)題，也可以編制具有現(xiàn)實(shí)背景的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

例如，《測(cè)圓海鏡》卷二中設(shè)題：“甲、乙二人俱在圓城中心而立，乙穿城向東行一百三十六步而止，甲穿城南行二百五十五步望見乙，問(wèn)：城徑幾何？”［8］據(jù)此，可以設(shè)計(jì)以下圓城測(cè)望問(wèn)題：

問(wèn)題6 如圖10，已知圓城的半徑r＝100米，甲、乙兩人分別從圓城的東門E、南門D出發(fā)向正東、正南方向直行至剛好能望見彼此，問(wèn)：甲、乙分別向東、向南走多少米時(shí)，他們之間的距離最短？

再如，《測(cè)圓海鏡》卷二中設(shè)題：“或問(wèn)：甲、乙二人俱在西門，乙東行二百五十六步，甲南行四百八十步望見乙。問(wèn)：城徑幾何？”［9］據(jù)此，可以設(shè)計(jì)以下圓城測(cè)望問(wèn)題：

問(wèn)題7 如圖11，已知圓城的半徑為r，甲從西門A南行一段距離至點(diǎn)D，乙從東門B東行一段距離至點(diǎn)C，此時(shí)兩人恰好能望見彼此。問(wèn)：當(dāng)二人所走總路程為a（a＞r）時(shí)，甲、乙之間的最短距離是多少？

三、 編制可用不等式A≤R解決的最值問(wèn)題

根據(jù)均值不等式鏈中的不等式A≤R，可得“平方和定和最大”“和定平方和最小”兩個(gè)結(jié)論。從幾何意義的角度看，“平方和定（最?。笨梢岳斫鉃椤爸苯侨切蔚男边叾ǎㄗ钚。?，“和最大（定）”可以理解為“直角三角形兩條直角邊的和最大（定）”。由此，可以設(shè)計(jì)直角三角形周長(zhǎng)最大或最小的問(wèn)題。例如：

問(wèn)題8 笑笑是班級(jí)的文娛委員，班級(jí)要舉辦文藝活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)有一個(gè)Rt△ABC的區(qū)域需要布置，已知Rt△ABC的斜邊為16米，而兩條直角邊沒(méi)有具體數(shù)據(jù)，笑笑應(yīng)該至少買多長(zhǎng)的彩帶（圍繞Rt△ABC一周）才能保證材料夠用？

這是一個(gè)典型的基于現(xiàn)實(shí)背景的“直角三角形的斜邊確定，求其周長(zhǎng)最大值”的問(wèn)題，可用“平方和定和最大”的結(jié)論解決：因?yàn)閍＋b/2≤2/2c，所以a＋b＋c≤（2＋1）c，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)等式成立。

在中算史料中尋找“斜邊確定，直角邊不確定”的問(wèn)題。基于“勾股大方圖”，加上現(xiàn)實(shí)背景，可以設(shè)計(jì)如下湖畔綠化問(wèn)題：

問(wèn)題9 如圖12，某公園內(nèi)有一邊長(zhǎng)為100米的正方形人造湖。現(xiàn)為了美化公園，需要在湖邊設(shè)計(jì)花圃，花圃的邊界為一個(gè)正方形的四條邊，且經(jīng)過(guò)湖的四個(gè)角。問(wèn)：如何設(shè)計(jì)，可以確保綠化帶的邊界最長(zhǎng)？最長(zhǎng)邊界是多長(zhǎng)？

進(jìn)一步挖掘中算史料，發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》“勾股”章中設(shè)題：“今有戶不知高、廣，竿不知長(zhǎng)短。橫之不出四尺，從之不出二尺，邪之適出。問(wèn)：戶高、廣、衺各幾何？”［10］這是一個(gè)解直角三角形問(wèn)題：已知c－a、c－b，求a、b和c?！毒耪滤阈g(shù)》中給出解法：a＝2（c－a）（c－b）＋（c－b），b＝2（c－a）（c－b）＋（c－a），

c＝2（c－a）（c－b）＋（c－a）＋（c－b）。［11］

劉徽在《九章算術(shù)注》中利用“矩表方里圖”得到恒等式（a＋b－c）2＝2（c－a）（c－b），從而證明了上述公式。［12］根據(jù)劉徽的“矩表方里圖”，可以設(shè)計(jì)以下問(wèn)題：

四、 編制可用關(guān)于調(diào)和平均數(shù)H的不等式解決的最值問(wèn)題

均值不等式鏈中，調(diào)和平均數(shù)H是最小的“均值”。它的表達(dá)式稍顯復(fù)雜，但它出現(xiàn)在“勾股容方圖”中，即直角三角形內(nèi)接正方形邊長(zhǎng)的2倍。因此，可以基于“勾股容方圖”，加上現(xiàn)實(shí)背景，編制可用關(guān)于H的不等式解決的最值問(wèn)題。例如：

問(wèn)題11 如圖14，有一塊面積為64 m2的正方形花壇，要為這個(gè)花壇圍一圈有公共直角的三角形綠化帶，求綠化帶周長(zhǎng)和所圍面積的最小值。

問(wèn)題12 如圖14，在一個(gè)Rt△ABC場(chǎng)地中，BC＝a，AC＝b，有一個(gè)與三角形有公共直角且面積最大的矩形商場(chǎng)，商場(chǎng)的入口在點(diǎn)M處。甲、乙二人分別在點(diǎn)A、點(diǎn)B處，相約在商場(chǎng)入口處會(huì)合。兩人同時(shí)出發(fā)（AB不可通行）。甲前半段路程步行，后半段路程騎自行車；乙前一半時(shí)間步行，后一半時(shí)間騎自行車。兩人步行速度和騎車速度分別相同，問(wèn)誰(shuí)先到達(dá)？

五、 若干啟示

以上我們看到，根據(jù)中算史料，利用“自由式”問(wèn)題編制策略，可以編制“和定積最大”“積定和最小”“平方和定和最大”等類型的最值問(wèn)題。這些問(wèn)題都具備了科學(xué)性（基于原始文獻(xiàn)）、應(yīng)用性（反映現(xiàn)實(shí)應(yīng)用）和關(guān)聯(lián)性（考查相關(guān)知識(shí)）等特征。從中可以獲得如下啟示：

第一，挖掘數(shù)學(xué)史料，豐富問(wèn)題資源。以《九章算術(shù)》為代表的中國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍往往都是問(wèn)題集。為了編制更多理想的中算史料題，教師需要深入研讀這些典籍，從中挖掘豐富的命題素材，利用多種不同策略［13］，編制新的數(shù)學(xué)問(wèn)題。本文主要利用了《九章算術(shù)》《測(cè)圓海鏡》等名著中的勾股測(cè)量問(wèn)題或解直角三角形問(wèn)題，更多史料有待于挖掘。

第二，設(shè)計(jì)問(wèn)題情境，體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用。注重實(shí)用是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的重要特征之一，而“應(yīng)用性”正是中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系（2019年版）所提考查要求的“四翼”［14］之一。本文涉及的《九章算術(shù)》《測(cè)圓海鏡》中的測(cè)量問(wèn)題均為有實(shí)際背景的應(yīng)用問(wèn)題，對(duì)于這類問(wèn)題，可以通過(guò)改變情境，編制新的問(wèn)題；對(duì)于“勾股大方”“勾股容方”之類不涉及現(xiàn)實(shí)情境的問(wèn)題，則可通過(guò)增加情境，形成新的問(wèn)題。

第三，立足考查目標(biāo)，加強(qiáng)知識(shí)聯(lián)系。古今數(shù)學(xué)有著巨大的差異，中算史上的很多原始問(wèn)題往往不能直接用于今日的數(shù)學(xué)教學(xué)（評(píng)價(jià)），需要對(duì)條件和目標(biāo)加以改變，方能產(chǎn)生滿足要求的新問(wèn)題。也就是說(shuō)，“自由式”是“古題今編”最主要的策略。本文中的古題并未涉及最值問(wèn)題，但提供了豐富的幾何圖形和現(xiàn)實(shí)情境。將這些圖形和情境與今日代數(shù)、三角、解析幾何等領(lǐng)域的知識(shí)聯(lián)系起來(lái)，古題就有了新的“增長(zhǎng)點(diǎn)”——正可謂“無(wú)心插柳柳成蔭”。

參考文獻(xiàn)：

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［S］.北京：人民教育出版社，2020：前言4.

［2］汪曉勤.從“勾股容方”到均值不等式［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015（2）：7-9.

［3］汪曉勤.中華優(yōu)秀傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化融入高中數(shù)學(xué)教學(xué)的若干路徑［J］.教育研究與評(píng)論（中學(xué)教育教學(xué)），2022（9）：27-34.

［4］［8］［9］郭書春.中國(guó)科學(xué)技術(shù)典籍通匯·數(shù)學(xué)卷（一）［M］.鄭州：河南教育出版社，1994：1114，763，763.

［5］［6］［7］［10］［11］［12］郭書春.九章算術(shù)［M］.北京：科學(xué)出版社，2019：447，454，456，458，459，463.

［13］汪曉勤.基于數(shù)學(xué)史料的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題編制策略［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2020（5）：9-15.

［14］教育部考試中心.中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系［S］.北京：人民教育出版社，2019：11.