第52屆國際物理奧林匹克競賽理論第2題介紹與解答

摘 要 第 52屆國際物理奧林匹克競賽理論部分共三道題目，本文主要對理論第二題“詹姆斯·韋伯太空望遠(yuǎn)鏡”題目進(jìn)行介紹，給出參考解答以及對中國學(xué)生答題情況的分析。

關(guān)鍵詞 平衡溫度;單對數(shù)坐標(biāo);等溫等熵線;國際物理奧林匹克競賽

2022年7月10—17日，南開大學(xué)物理科學(xué)學(xué)院率領(lǐng)中國代表隊參加了由瑞士主辦的第52屆國際物理奧林匹克競賽（International PhysicsOlympiad）。比賽采取線上形式，理論試題總分30分，試題1“永磁體”10 分，試題2“詹姆斯·韋伯太空望遠(yuǎn)鏡”計12分，試題3“比例法則”計8分。本文主要介紹理論試題2的題目（包含部分答題卡內(nèi)容），結(jié)合基礎(chǔ)知識給出參考解答。最后對中國參賽選手的答題情況進(jìn)行點評。

1 題面與解答

這是一個關(guān)于詹姆斯·韋伯太空望遠(yuǎn)鏡（圖1）物理學(xué)的問題。恒星發(fā)出的光線照射到面積為Amirror=25m2 的主鏡上，然后再在二級鏡上反射。該望遠(yuǎn)鏡系統(tǒng)的焦距為f=130m。光線被聚焦到包含CCD（電荷耦合器）相機的ISIM（IntegratedScience Instrument Module 集成科學(xué)儀器模塊）中。

1.1 A 部分：恒星成像（1.8分）

離我們最近的紅巨星與地球的距離為89光年，其溫度為Tstar=3600K，直徑為d0=1.7×1011m

A.1 計算恒星在CCD 相機像平面上的聚焦圖像的直徑di。（0.4分）

解答：這里需要注意韋伯望遠(yuǎn)鏡位于距離地球1.50×1010 m 的日地系統(tǒng)第二拉格朗日點（題目遺漏了這部分的介紹），最近的紅巨星與地球的距離89光年，1光年等于9.46×1015m，紅巨星與望遠(yuǎn)鏡的D0 距離也是89光年。D0 ? f，星體成像位置近似在透鏡焦平面。依據(jù)天文望遠(yuǎn)鏡的放大率原理，如圖2滿足下列比例關(guān)系

這里省略了參考解答中的具體計算過程，下面的解答也類似處理。

A.2 計算CCD 相機像平面上衍射主極大光斑的直徑ddiff。假設(shè)紅巨星最強輻射的波長為800nm。（0.4分）

解答：艾里斑是以英國皇家天文學(xué)家喬治·比德爾·艾里的名字命名的。因為他在1835年的論文中第一次給出了這個現(xiàn)象的理論解釋[1]。艾里斑是點光源通過衍射受限成像時，由于衍射而在焦點處形成的光斑。本題的情況是像面與艾里斑幾乎重合。依據(jù)下面公式

評分標(biāo)準(zhǔn)中說明：如果學(xué)生認(rèn)為θmin=λ/D ，得出ddiff=37μm 也判定為正確。

A.3 如果CCD相機不被冷卻，只通過其像表面頂部的熱輻射散熱，則CCD上紅巨星圖像所在位置的平衡溫度Ti 是多少？ 假設(shè)CCD表面是黑體。給出公式并算出數(shù)值。

解答：依據(jù)星體黑體輻射強度Pstar=πd02σTstar4，這里σ 為Stefan-Boltzman常數(shù)。到達(dá)望遠(yuǎn)鏡處的光強

如果所有光能量都參與衍射，式（7）中di 應(yīng)改為ddiff。所以筆者認(rèn)為上述修正可以看作是對光能分配權(quán)重的估計，并不是對真實像尺寸的計算。紅巨星成像效果的影響因素還可能包含：成像系統(tǒng)的彌散斑;主鏡作為光圈（物體）在二級鏡后焦面上會獲得傅里葉頻譜（由于該望遠(yuǎn)鏡主鏡不是圓形，會得到8條光線的星芒）等。由于本題只是高中生理論題目，超出題目考核范圍的內(nèi)容這里不做過多分析。

1.2 B部分：光子計數(shù) （1.8分）

CCD相機吸收的一個光子將導(dǎo)致裝置中一個電子的輻射。這個過程只在光子有足夠的能量激發(fā)一個電子躍遷通過能隙ΔEg 時發(fā)生。假設(shè)每個具有足夠能量的光子都能成功激發(fā)電子。由于CCD相機的溫度，也會導(dǎo)致電子泄漏，這就是暗電流id ，以每秒的電子數(shù)來表示。它是溫度的函數(shù)，遵循以下關(guān)系

其中，i0 是常數(shù)。

B.1 從暗電流圖3中，估測恰能激發(fā)一個電子的遠(yuǎn)處熱光子源的溫度Tsource 數(shù)量級。（0.4分）

解答：式（8）兩邊取對數(shù)以后ln（id ）與1/T是直線關(guān)系。

（2） 反射層相互平行，其間距均為h=25cm。

（3） 反射層具有恒定的發(fā)射率ε?1。假設(shè)反射層表面的反射都是漫反射。

（4） 反射層很薄，前后表面溫度相等且均勻。

（5） 每片反射層發(fā)出的輻射通量被相鄰反射層吸收的吸收率為αlt;1。這表示如果上述模型中下面的反射層向上層發(fā)出一定的熱量Q1，上層將從下層吸收α Q1 的熱量。

（6） 兩片反射層間輻射到外圍太空的輻射通量可近似為βQ12，這里α Q12 為兩片反射層間的凈通量。這相當(dāng)于說兩片反射層間的熱損失與兩反射層間的凈熱交換成比例。這是本題的粗略近似。

（7） 太空的背景溫度可以忽略不計。

C.1 推導(dǎo)第一片和第五片反射層的平衡溫度表達(dá)式，用入射太陽輻射強度I0，常數(shù)α 和β，以及任何必要的物理參量來表示。為了簡化表達(dá)式，可以用α 和β 等定義其他一些常量。（2.4分）

解答：達(dá)到穩(wěn)定時，從遮陽板第一層的向外發(fā)射的熱量為

Q01 =εAI0 -εAσT14 （9）

其中，A 為反射層面，數(shù)值200m2;T1 為遮陽板第1層穩(wěn)定時的溫度。

這部分熱被遮陽板向第1～2層之間的空間輻射和被第2層吸收：（α+β）Q12

即對于遮陽板第1層輻射流連續(xù)性方程表達(dá)為

Q01 =（α +β）Q12 （10）

從遮陽板第i（i=1，2，3，4）層到第i+1層的向外發(fā)射的熱量為

Qi，i+1 =εAσ（Ti4 -Ti+14） （11）

其中，Ti 為遮陽板第i 層穩(wěn)定時的溫度。

這部分熱被遮陽板向第i～i+1層之間的空間輻射和被第i+1層吸收：（α+β）Qi，i+1，即對于2～4層，輻射流連續(xù)性方程表達(dá)為

αQi-1，i =αQi，i+1 +βQi，i+1 （12）

從第5層到太空背景的外發(fā)射的熱量為

Q56 =εAσT54 （13）

其中，T5 為遮陽板第5層穩(wěn)定時的溫度。

注意：這部分熱全部由遮陽板第5層輻射到外空間，不再被下一層板吸收和從板間輻射。即對于第5層輻射流連續(xù)性方程表達(dá)為

αQ4，5 =Q56 （14）

對式（9）（11）（13）求和得

評分標(biāo)準(zhǔn)給出α 的估計值在0.25～0.35之間滿分，β 的估計值在0.3～0.83之間滿分。

C.3 估算反射層1和反射層5的溫度的值。設(shè)太陽光強度為I0=1360W/m2。（0.4分）

解答：將C.2中估計的α 和β 的值代入C.1中得到的反射層1和反射層5的溫度式（18）（19）即可得到結(jié)果。以α=0.3和β=0.4為例，計算得T1=380K，T5=102K。

1.4 D 部分：制冷器（4分）

冷卻系統(tǒng)的最后環(huán)節(jié)是直接冷卻CCD相機。一個封閉循環(huán)制冷系統(tǒng)有一條供應(yīng)管道線，如圖6所示，在該管道中氦氣被以恒定壓力P1 和溫度T1 下輸送，在通過海綿狀的多孔塞后進(jìn)入另一管道，該管道中的氦氣再以恒定壓力P2 和溫度T2被輸送到CCD。然后氦氣會通過一個泵，再返回到供應(yīng)管道線。

當(dāng)氣體通過多孔塞時，海綿中的微小孔道導(dǎo)致的黏滯摩擦成為重要的影響因素;然而，在這一過程中，氣體與外界沒有熱量交換。區(qū)域2中（圖6右側(cè)）氣體的整體速度僅略大于區(qū)域1（圖6左側(cè)）的整體速度。氦氣不是理想氣體，但在輸送過程中一直保持氣體狀態(tài)。

D.1 考慮一摩爾氣體從左到右通過多孔塞。對表1，填寫“gt;”或“l(fā)t;”，以確定哪個量大，填寫“=”以確定相等的量，或者填寫“？”，如果無法確定哪個數(shù)更大或相等。（1.0分）

解答：（1） P1 gt;P2，這個壓力差是氣體通過多孔塞的力的來源。

（2） 氣體通過多孔塞受黏滯摩擦影響是耗散過程，內(nèi)能減少， U1gt;U2。

（3） 一個不可逆的過程，S1

（4） 區(qū)域2中氣體的整體速度僅略大于區(qū)域1的整體速度，由質(zhì)量守恒，區(qū)域2一摩爾氣體的體積一定也比區(qū)域1一摩爾氣體的體積大，V1

（5） 正確答案是T1？ T2。對于理想氣體，T1gt;T2 因為U ∝T 。但題目說氦氣不是理想氣體，從答題卡中圖8 可以看出U 是與溫度和體積都有關(guān)。

D.2 當(dāng)一摩爾的氣體通過多孔塞時，確定一個守恒量，由U（內(nèi)能）、P （壓強）和V （體積）來表示;給出你是如何推導(dǎo)出這個守恒量的。（0.6分）

解答：如圖7研究一部分氣體（氣體包裹），區(qū)域1周圍的氣體對氣體包裹做功W1 將它推入塞子，氣體包裹對區(qū)域1周圍的氣體做功W2。凈功為

W net=P1V1 -P2V2

氣體與外界沒有熱量交換。ΔU=Wnet 即U2-U1=P1V1-P2V2。所以U +PV 是守恒量。

D.3 假設(shè)V2=0.100m3/kg和T2=7.5K，用作圖法找出在D.2部分中得到的守恒量數(shù)值。在圖8上畫出過程（1.4 分）

答題卡上有關(guān)于氦的等溫等熵線的圖8，圖以單位質(zhì)量內(nèi)能為縱坐標(biāo)，以單位質(zhì)量體積為橫坐標(biāo)。圖8實線（隨著體積增大向下彎曲）為等熵線;加粗實線的熵值在圖上方給出。虛線（隨著體積增大向上彎曲）為等溫線，加粗虛線的溫度值在圖右邊給出。內(nèi)能U （每kg）的數(shù)值在縱軸上，體積V（每kg） 的數(shù)值在橫軸上。

解答：分析圖8 等溫等熵線與守恒量（U +PV）的關(guān)系，依據(jù)dU =Tds-PdV

對于等熵線dS =0，P =- （?U／?V）S即壓強等于等熵線斜率的負(fù)值。-（?U／?V）SV 對應(yīng)的是所有等熵線切線，U +PV =U -（?U／?V）SV 是守恒量，氣體在狀態(tài)1到狀態(tài)2的變化時，等熵線切線的截距在一個值（類似D.4部分圖12）。本題給了氣體狀態(tài)2的參數(shù)V2=0.100m3/kg和T2=7.5K的點做對應(yīng)等熵線切線找到縱軸的截距即可。具體方法見圖9。但圖中只有溫度為7K和8K的等溫線，如何找對應(yīng)的等熵線以及等熵線切點呢？ 需要進(jìn)行合理的內(nèi)推。參考解答給的方法如圖10所示。具體做法是在圖中找到7K 等溫線與等熵線簇交點中與V2=0.100m3/kg對應(yīng)豎線最接近的點作為切點，作該等熵線的切線1（圖10中上方的紫色直線）。同樣的在圖中找到8K等溫線與等熵線簇交點中與V2=0.100m3/kg對應(yīng)豎線最接近的點做為切點，作該等熵線的切線2（圖10中下方的紫色直線）。切線1與切線2的斜率截距均不同，V2=0.100m3/kg和T2=7.5K 的點作對應(yīng)等熵線切線在切線1與切線2中間，截距在切線1與切線2的截距線段中間。切線1與切線2與右側(cè)縱軸的截距間隔為左側(cè)縱軸的截距間隔的75%，將切線1與切線2V2=0.100m3/kg對應(yīng)豎線兩個焦點之間線段（圖10中淺綠色線），姑且按這個比例找到分點，經(jīng)過這個分點作一條斜率在切線1與切線2之間的直線（圖10中深綠色線），它與左側(cè)縱軸的截點就是要求的守恒量數(shù)值。圖10結(jié)果約為40.7kJ/kg。

值得注意的是很多類似的作圖方法都是正確的?？紤]到作圖和讀圖精度，參考答案指出結(jié)果在40.5～41.0kJ/kg滿分。

D.4 求出T1 的最大可能溫度。在圖11上畫出如何找到的。（0.8分）

解答：在D.2部分的解答中提到氣體在狀態(tài)1到狀態(tài)2的變化時，等熵線切線的截距在一個值。所以如圖12所示，在左縱坐標(biāo)軸上D.3部分求出的守恒量數(shù)值，如40.7kJ/kg，以這一點為截距作等熵線簇切線（圖12中綠色直線簇），然后從切點（圖12中各灰色點）找出溫度最高值，圖12中結(jié)果為11K。評分標(biāo)準(zhǔn)指出結(jié)果在10～12K滿分。

D.5 假設(shè)在D.4中的最大T1 的值，并以此計算得到P1 的值。（0.2分）

解答：P1 為圖12中最大T1 的值點對應(yīng)的綠色直線斜率。切線簇過截距點（0.0000m3/kg，40.7kJ/kg），讀出對應(yīng)最大T1 的值11K 那個灰點所在切線的橫坐標(biāo)截距（圖12中切線簇與橫坐標(biāo)交點中從左數(shù)第4個），得到坐標(biāo)（0.0175m3/kg，10.0kJ/kg）。用這兩點坐標(biāo)計算斜率的1.75MPa。

評分標(biāo)準(zhǔn)指出結(jié)果在1.6～2.4MPa滿分。

2 結(jié)語

本文對第52屆國際物理奧林匹克競賽理論第二題的命題和解答進(jìn)行了詳細(xì)介紹。本題考查內(nèi)容涉及很多可從實驗中鍛煉得到的技能，比如：在B部分中從圖3、D部分中從圖8和圖11中正確讀取數(shù)據(jù)，作輔助線以獲得計算所需要的參數(shù)，是本題的難點，中國參賽學(xué)生在這方面失分嚴(yán)重。B部分中圖3是一個半對數(shù)坐標(biāo)圖，學(xué)生接觸少，縱軸的八個不同比例的分格含義不理解，讀數(shù)出現(xiàn)錯誤。C 部分遞推計算需要仔細(xì)，特別是對第一層和第五層的特殊處理，由于考試時間緊迫，學(xué)生在這里也有失分。在本題B部分和C部分都出現(xiàn)了估計問題，是基于高中生知識水平的簡化，并非嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕獯?，但要求學(xué)生抓住問題的主要矛盾，解答符合題意和物理本質(zhì)。評分標(biāo)準(zhǔn)對幾種學(xué)生常見解答針對性的制定了評分依據(jù);考慮到讀圖和繪圖誤差，評分標(biāo)準(zhǔn)給出了滿分對應(yīng)的數(shù)據(jù)范圍等。本題對實驗數(shù)據(jù)的圖形處理能力的綜合考查部分設(shè)計新穎，可為實驗筆試提供新的出題思路。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] AIRY G B. On the diffraction of an object-glass with circular aperture[J]. Transactions of the Cambridge Philosophical Society， 1835， 5： 287.

基金項目： 天津市教學(xué)改革項目（B231005520）。