對賦值法的深度思考

董強

摘?要：通過對一道高考試題的求解，見證了賦值法在求解奇函數(shù)中參數(shù)時的局限性和典型誤區(qū)，從而回歸定義，從奇函數(shù)本身出發(fā)分析了一般恒等式的意義，使問題得以順利解決.

關(guān)鍵詞：賦值法；奇函數(shù)；參數(shù)

中圖分類號：G632???文獻標識碼：A???文章編號：1008-0333（2024）13-0031-06

2022年全國乙卷文科數(shù)學第16題是一道已知奇函數(shù)求參數(shù)的問題，很多學生都習慣于采用特殊值法求參數(shù)問題.而實際求解時，不同的學生所賦的特殊值可能有所不同，這將導(dǎo)致試題產(chǎn)生不同的“解”，究其原因，是對函數(shù)具有奇偶性的必要條件沒有充分理解所致.

1 試題呈現(xiàn)

題目?若f（x）=ln|a+11-x|+b是奇函數(shù)，則a=，b=.

2 賦值求解

對于這道試題，容易注意到x≠1，所以在利用特殊值法求參數(shù)的過程中就不能賦x=1，即不可以利用f（-1）+f（1）=0解題.函數(shù)解析式中除了能確定x≠1之外，因為涉及參數(shù)a和對數(shù)的真數(shù)，暫不能直接看出x是否能取其他的值，但是學生根據(jù)經(jīng)驗?zāi)芎苋菀紫氲嚼胒（0）=0（奇函數(shù)如果在原點處有定義，那它一定過原點，即f（0）=0）.將這一試題呈現(xiàn)給當前筆者所帶的高三學生時，學生在具體求解的過程中，給出兩種不同的賦值方案.

2.1 賦值方案1

生1：依題有f（0）=0，f（-2）+f（2）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+13|+ln|a-1|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+13|+ln|a-1|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2-23a-13|.

故a2+2a+1=a2-23a-13，①

或a2+2a+1+a2-23a-13=0.②

由①得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2，②式無解.

所以a=-12，b=ln2.

生2：依題有f（0）=0，f（-3）+f（3）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+14|+ln|a-12|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+14|+ln|a-12|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2-14a-18|.

故a2+2a+1=a2-14a-18，③

或a2+2a+1+a2-14a-18=0.④

由③得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2，④式無解.

所以a=-12，b=ln2.

生3：依題有f（0）=0，f（-4）+f（4）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+15|+ln|a-13|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+15|+ln|a-13|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2-215a-115|.

故a2+2a+1=a2-215a-115，⑤

或a2+2a+1+a2-215a-115=0.⑥

由⑤得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2，⑥式無解.

所以a=-12，b=ln2.

2.2 賦值方案2

生4：依題有f（0）=0，f（-12）+f（12）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+23|+ln|a+2|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+23|+ln|a+2|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2+83a+43|.

故a2+2a+1=a2+83a+43，⑦

或a2+2a+1+a2+83a+43=0.⑧

由⑦得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2.

由⑧得a=--7±76.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln（7±1）.

所以a=-12，b=ln2或a=-7+76，b=ln（7+1），或a=-7-76，b=ln（7-1）.

生5：依題有f（0）=0，f（-13）+f（13）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+34|+ln|a+32|+2b=0.

所以2ln|a+1|=ln|a+34|+ln|a+32|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2+94a+98|.

故a2+94a+98=a2+2a+1，⑨

或a2+2a+1+a2+94a+98=0.⑩

由⑨得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2.

由⑩得a=-17±1716.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln（17±1）.

所以a=-12，b=ln2，或a=-17+1716，b=

ln（17+1），或a=-17-1716，b=ln（17-1）.

生6：依題有f（0）=0，f（-14）+f（14）=0，

所以ln|a+1|+b=0，ln|a+45|+ln|a+43|+2b=0.

故2ln|a+1|=ln|a+45|+ln|a+43|.

即ln|a2+2a+1|=ln|a2+3215a+1615|.

故a2+2a+1=a2+3215a+1615，B11

或a2+2a+1+a2+3215a+1615=0.B11

由B11得a=-12.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln2.

由B12得a=-31±3130.

代入ln|a+1|+b=0，得b=ln（31±1）.

所以a=-12，b=ln2，或a=-31+3130，b=

ln（31+1），或a=-31-3130，b=ln（31-1）.

評析?以上解析過程都采用了特殊值法，但所得結(jié)論卻不盡相同.事實上，x=-2和x=2是否為函數(shù)定義域內(nèi)的值，即能否使得f（x）有意義并不清楚，所以將其貿(mào)然代入f（x）略顯解析過程的不嚴謹性.幸運的是，在方案1代入特殊值時，所產(chǎn)生的另一個一元二次方程的判別式都小于零，此時方程無解，所以僅求出了一組a，b的值，一般而言，作為填空題基本就可以認定a=-12，b=ln2.此時，如果是解答題，可以將a，b的值代入原函數(shù)，得f（x）=

ln|x+11-x|，x∈（-8，-1）∪（-1，1）∪（1，+-8

）.對于定義域內(nèi)任意的x，都有f（-x）+f（x）=ln|-x+11+x|+ln|x+11-x|=ln1=0，所以f（x）是奇函數(shù)，即a=-12，b=ln2就是正確結(jié)果.f（x）=ln|x+11-x|的圖象關(guān)于原點對稱，如圖1所示.

但是，在方案2的賦值法求解過程中，產(chǎn)生了除a=-12，b=ln2之外的其他a，b值.這時可以肯定某個環(huán)節(jié)出現(xiàn)了問題，憑借解題經(jīng)驗和填空題的“簡潔性”，我們更愿意接受a=-12，b=ln2這組解.

從以上兩種不同方案賦值的過程可以發(fā)現(xiàn)，如果所賦的值（自變量的值）絕對值大于1，那么只能求出一組a，b值；如果所賦的值絕對值小于1，那么可以求得三組不同的a，b值，其中一組是a=-12，b=ln2，而且此種情況下，不同的賦值求出的另外兩組a，b值均有所不同（細致觀察的話，這些值呈現(xiàn)了一定的規(guī)律性）.那么，問題是其他的a，b值是否合理呢？如果不合理，究竟是什么原因?qū)е碌?，為什么不同的賦值會產(chǎn)生不同的結(jié)果？

3 技術(shù)驗證

對于上述其他a，b的值是否符合題意，我們可以借助于信息技術(shù)進行驗證.分別將a=-7+76，b=ln（7+1） a=-7-76，b=ln（7-1） a=-17+1716，b=ln（17+1）

a=-17-1716，b=ln（17-1） a=-31+3130，b=ln（31+1） a=-31-3130b=ln（31-1）這六組值代入函數(shù)解析式，得

f1（x）=ln|-7+76+11-x|+ln（7+1），

f2（x）=ln|-7-76+11-x|+ln（7-1），

f3（x）=ln|-17+1716+11-x|+ln（17+1），

f4（x）=ln|-17-1716+11-x|+ln（17-1），

f5（x）=ln|-31+3130+11-x|+ln（31+1），

f6（x）=ln|-31-3130+11-x|+ln（31-1）.

利用數(shù)學作圖軟件GeoGebra分別作出上述六個函數(shù)的圖象，如圖2，3，4，5，6，7所示：

容易發(fā)現(xiàn)，上述六個函數(shù)都經(jīng)過坐標原點O，圖象本身都是關(guān)于某一點成中心對稱，但是這些對稱中心都不再是坐標原點.可見，這些a，b的值不能使得函數(shù)f（x）成為奇函數(shù)，是不符合題意的.那么，為什么會產(chǎn)生這一問題呢？究其原因，是對奇函數(shù)概念把握得不準確所致，奇函數(shù)是指對于定義域內(nèi)的任何x，均有f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0，所以諸如f（0）=0，f（-12）+f（12）=0等條件都是函數(shù)f（x）成為奇函數(shù)的必要條件，卻并非充分條件，即f（0）=0，f（-12）+f（12）=0和“f（x）是奇函數(shù)”并不等價，這樣求出的結(jié)果自然就產(chǎn)生了“增根”，所以利用賦值法（特殊值法）求解此類問題是需要碰“運氣”的.賦值法的作用是“投石問路”，用賦值法求解試題后需要對其充分性進行證明[1].那么，如何利用奇函數(shù)本身的定義求解這道試題呢？

4 定義解析

解法1?因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以x∈D，均有f（-x）+f（x）=0（D是函數(shù)f（x）的定義域）.

所以ln|a+11+x|+ln|a+11-x|+2b=0.

即ln|（a+1）2-a2x21-x2|=-2b.B13

因為a，b均為常數(shù)，所以（a+1）2-a2x21-x2為常數(shù)，故有（a+1）2=a2，所以a=-12，代入B13式得b=ln2.

解法2?由題知函數(shù)f（x）的定義域可由11-x≠0，a+11-x≠0求得.因為函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以其定義域關(guān)于原點對稱，根據(jù)x≠1知x≠-1，故f（x）定義域為（--8

，-1）∪（-1，1）∪（1，+-8

）.即x=-1是a+11-x=0的解，所以a=-12.又f（x）在原點有定義且為奇函數(shù)，所以f（0）=0，將a=-12代入f（0）=0，得b=ln2.

評析 ?上述解法1是對奇函數(shù)的定義充分解讀后得出了一般性的表達式，通過分析對任意x都對應(yīng)的恒等式成立問題，由絕對值里面的分式分子分母對應(yīng)項系數(shù)成比例得到（a+1）2=a2，從而求得參數(shù)a=-12，該解法的每一步都是等價的，所以a=-12，b=ln2是該試題的唯一解.此外，在解法1中，ln|a+11+x|+ln|a+11-x|+2b=0也可以轉(zhuǎn)化為ln|（a+11+x）（a+11-x）e2b|=0.進一步可以轉(zhuǎn)化為e2b（a+11+x）（a+11-x）=±1.即e2b（a2+2a+11-x2）=±1對定義域內(nèi)任意的x恒成立.從而必有2a+1=0，解得a=-12.于是由14e2b=1，解得b=ln2.值得一提的是，在涉及含有對數(shù)式的奇函數(shù)問題時，經(jīng)常將奇函數(shù)定義的f（-x）=-f（x）改寫為f（-x）+f（x）=0的形式，目的是方便進一步運算與合并.解法2是充分考慮了函數(shù)的定義域而得出的快速且便捷的解法，比常見的賦值法既快又準，是一種巧妙的好方法.除上述解法1和解法2外，實際上，要使f（x）有意義，需有11-x≠0，a+11-x≠0， 即x≠1，x≠1+1a. 根據(jù)奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，有1+1a=-1，故a=-12，一步到位，再將其代入

f（x）表達式求解b的值，思路亦清晰簡單.所以函數(shù)的定義域是函數(shù)的靈魂，脫離定義域談函數(shù)值或者函數(shù)的性質(zhì)都是荒謬的.因此，在解題過程中，要使用賦值法必須先考慮問題的等價性，必要的情況下需要明確試題解的唯一性［2］.

5 深度思考

關(guān)于這道試題的求解，相信很多的學生會習慣性地選擇取特殊值，但是從前面的分析可以發(fā)現(xiàn)，賦值法有一定的局限性和誤區(qū).首先，賦值時務(wù)必要保證所賦的值在函數(shù)的定義域內(nèi)，否則將毫無意義，如前面求解時對于奇函數(shù)中是否有f（0）=0，也需考慮x=0在不在函數(shù)的定義域內(nèi).所以在求解奇偶函數(shù)問題的過程中，首當其沖的應(yīng)是先考慮函數(shù)的定義域，而不應(yīng)是見到題就盲目地賦值，在解題過程中出現(xiàn)問題的時候才想起奇偶函數(shù)對定義域的要求.其次，利用奇函數(shù)的一般形式f（-x）=-f（x）或f（-x）+f（x）=0求解參數(shù)時，需要對恒等式進行本質(zhì)的分析，如解法1中出現(xiàn)ln|a+11+x|+ln|a+11-x|+2b=0后，一方面可以將對數(shù)部分合并，常數(shù)2b移到等式右邊，利用兩個常數(shù)恒等分析得知（a+1）2-a2x21-x2為常數(shù)，再考慮到該分式成為常數(shù)的條件是分子可以提公因式，從而和分母的1-x2約分;另一方面也可以利用對數(shù)恒等式將左邊整體變?yōu)閘n|（a+11+x）（a+11-x）e2b|=0，再利用恒等式分析求解.再次，對恒等式也可以從對應(yīng)項系數(shù)相等去求解，如解法1中可以對B13式如下解析：

設(shè)（a+1）2-a2x21-x2=c（c為常數(shù)），

則（a2-c）x2=（a+1）2-c恒成立.

所以a2-c=0，（a+1）2-c=0，所以a=-12，c=14.

所以由-2b=ln14，得b=ln2.

但是，“對應(yīng)項系數(shù)相等”的使用前提必須明確哪些字母是未知量，哪些字母是參數(shù).如對B13式錯誤解析如下：

依題有（a+1）2-a2x21-x2=1，且b=0，

則（a+1）2-a2x2=1-x2.

即a+1=1，a2=1，矛盾.

出現(xiàn)矛盾的原因是對此式中的三個字母a，b，x的地位認識不清所致，事實上，a，b是常數(shù)，x才是變量.這樣對B13式的處理自然就能想到（a+1）2-a2x21-x2為常數(shù)但不是1.最后，對于奇函數(shù)問題的解決，除了利用賦值法和定義法外，充分利用函數(shù)的圖象也是需要重視的一個方面.

6 結(jié)束語

很多數(shù)學試題的求解方法靈活多變，如何在數(shù)學試題的求解過程中做到對試題的等價變形與等價轉(zhuǎn)化對問題的解決意義重大，這一過程提倡學生進行創(chuàng)新思維，而“發(fā)散思維、逆向思維、批判性思維等思維品質(zhì)是創(chuàng)新思維的重要特征.具備良好創(chuàng)新思維的學生能夠擺脫思維定式的束縛，善于獨立思考，大膽創(chuàng)新創(chuàng)造”［3］.賦值法在數(shù)學解題中的作用不容小覷，它體現(xiàn)的實際是數(shù)學中由特殊到一般的數(shù)學思想，對問題的解決往往有一種方向指引功能，很多比較棘手的數(shù)學問題如能恰當利用賦值法將會柳暗花明.事實上，賦值法所得的結(jié)果有時是問題結(jié)果的部分特殊情況，有時卻是試題本身的全部結(jié)果，比如在直線和圓錐曲線問題的探索過程中（如所圍成平面圖形面積的最值、定值問題、定點問題等），一些特殊情況（如直線不存在斜率的情形）本身就是問題最終結(jié)果的呈現(xiàn)，這最能體現(xiàn)學生的主觀能動性和數(shù)學思維品質(zhì)，所以賦值法蘊含著學生的獨立思考和大膽嘗試.提倡學生獨立思考、自主學習、合作交流等多種學習方式，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，使其養(yǎng)成良好的學習習慣，促進學生實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，這是新課程標準明確要求的[4].

參考文獻：

［1］

曹鳳山，朱偉義.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)壓軸題中賦值確定參數(shù)范圍后的處理策略[J].中學教研（數(shù)學），2022（08）：18-21.

[2] 李左杰.賦值法在作截面交線中的應(yīng)用[J].中學教研（數(shù)學），2012（11）：16-18.

[3] 教育部考試中心.中國高考評價體系[M].北京：人民教育出版社，2019.

[4] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）[M].北京：人民教育出版社，2020.

［責任編輯：李?璟］