換一些新思路去理解函數(shù)的奇偶性

丁亮　楊星光

函數(shù)幾乎貫穿整個(gè)數(shù)學(xué)，而函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一。所以，理解好、掌握好函數(shù)的奇偶性，非常重要。經(jīng)過反復(fù)討論后，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐，對(duì)高中數(shù)學(xué)里函數(shù)的奇偶性提出三點(diǎn)全新的理解，并通過具體例子加以說明，旨在與同仁切磋探討。

函數(shù)奇偶性奇數(shù)偶數(shù)正數(shù)負(fù)數(shù)函數(shù)是整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中比較難的部分，其邏輯性強(qiáng)，內(nèi)容枯燥，理解難度大，讓很多學(xué)生對(duì)函數(shù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生乏味心理。但是，函數(shù)同時(shí)也是職業(yè)教育數(shù)學(xué)教學(xué)中的重要內(nèi)容，所以數(shù)學(xué)教師必須教好它，學(xué)生必須學(xué)好它。函數(shù)的重要性質(zhì)是把握函數(shù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，而函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，所以掌握好函數(shù)的奇偶性尤為重要。為此，筆者反復(fù)討論后，結(jié)合多年學(xué)習(xí)和教學(xué)實(shí)踐，獨(dú)辟蹊徑，對(duì)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行全新的、有趣的三點(diǎn)理解，供同仁參考。

一、從冪指數(shù)是整數(shù)的情形開始思考

從我們初中學(xué)過最簡單的一次函數(shù)是f（x）=x，最簡單的二次函數(shù)是f（x）=x2開始我們的討論。我們發(fā)現(xiàn)“偶函數(shù)”這三個(gè)漢字中有一個(gè)“偶”字，偶數(shù)的“偶”，而通過f（x）=x2是偶函數(shù)，冪“2”也正好是偶數(shù)，那我們就大膽猜想，冪是偶數(shù)的函數(shù)都是偶函數(shù)。同樣的道理，“奇函數(shù)”這三個(gè)漢字中有一個(gè)“奇”字，奇數(shù)的“奇”，而通過f（x）=x=x1是奇函數(shù)，冪“1”也正好是奇數(shù)，那我們就大膽猜想，冪是奇數(shù)的函數(shù)都是奇函數(shù)。我們又發(fā)現(xiàn)，f（x）=1其實(shí)蘊(yùn)含著一個(gè)信息即f（x）=1=x0，而冪“0”也是偶數(shù)，所以根據(jù)我們的猜想，f（x）=1也是偶函數(shù)。通過教材中奇偶函數(shù)的定義，可以驗(yàn)證我們猜想對(duì)于上述函數(shù)奇偶性結(jié)果的判斷都是對(duì)的。舉一例：f（x）=x4，因?yàn)閮纭?”是偶數(shù)，所以f（x）=x4是偶函數(shù)。再舉一例：f（x）=x3，因?yàn)閮纭?”是奇數(shù)，所以f（x）=x3是奇函數(shù)。通過上述辦法，不管數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有多差的學(xué)生，只要他能分清奇數(shù)和偶數(shù)，他就能輕松舉出無數(shù)個(gè)奇函數(shù)的例子，同時(shí)還能舉出無數(shù)個(gè)偶函數(shù)的例子，這是一件很好的事。

二、結(jié)合初中內(nèi)容，提出一個(gè)特別實(shí)用的新思路，處理奇、偶函數(shù)混合的情況

作為老師，我們知道：“奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)÷偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)”。但是，我們?cè)趺礃樱寣W(xué)生輕松地記住這些結(jié)果呢？

我們提出一個(gè)極其簡單的記憶口訣，即“把奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”，來讓學(xué)生聯(lián)系地記住上述結(jié)果。初中學(xué)過“負(fù)×負(fù)得正，負(fù)×正得負(fù)，正×負(fù)得負(fù)，正×正得正，正÷正得正，負(fù)+負(fù)得負(fù)，正+正=正”，這樣，這個(gè)內(nèi)容正好依次對(duì)應(yīng)符合“奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)×偶函數(shù)=偶函數(shù)，偶函數(shù)÷偶函數(shù)=偶函數(shù)，奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)，偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)”。不但如此，我們還都知道“奇函數(shù)×奇函數(shù)×奇函數(shù)=奇函數(shù)”，這正好也符合“負(fù)×負(fù)×負(fù)得負(fù)”，因?yàn)槲覀儼哑婧瘮?shù)看成負(fù)數(shù)來處理奇函數(shù)、偶函數(shù)同時(shí)存在的情況。同樣的道理，我們還知道“奇函數(shù)×偶函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)”，其實(shí)這同樣符合初中學(xué)的“負(fù)×正×正得負(fù)”。像這樣的例子太多了，此時(shí)，我們不難發(fā)現(xiàn)，通過把“奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”來判斷奇函數(shù)、偶函數(shù)同時(shí)存在的函數(shù)的奇偶性、多個(gè)奇函數(shù)的“+×÷”混合的奇偶性以及多個(gè)奇函數(shù)的“+×÷”混合的奇偶性特別實(shí)用。

雖然對(duì)于“奇函數(shù)-奇函數(shù)”即“負(fù)-負(fù)”，我們無法判斷結(jié)果的正負(fù)號(hào)，因此無法判斷出其奇偶性，需要借助教材中奇、偶函數(shù)的定義來判斷奇、偶函數(shù)同時(shí)存在的函數(shù)的奇偶性了，但是對(duì)于奇函數(shù)、偶函數(shù)同時(shí)存在的情況或者多個(gè)奇函數(shù)的“+-×÷”的情況或者多個(gè)多個(gè)偶函數(shù)的“+×÷”的情況，用我們提出的方法，凡是“+×÷”能判斷出結(jié)果是正數(shù)是負(fù)數(shù)的，我們都可以判斷出“這個(gè)混合的奇、偶函數(shù)”到底是奇函數(shù)還是偶函數(shù)，這是一件好事，畢竟用教材中奇、偶函數(shù)的定義來判斷比較復(fù)雜的函數(shù)的奇偶性比較麻煩。

三、結(jié)合本文第一點(diǎn)和第二點(diǎn)，談冪指數(shù)是分?jǐn)?shù)的情形

細(xì)心觀察一下，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)，從本文第一點(diǎn)，不難發(fā)現(xiàn)處理的是冪指數(shù)是整數(shù)的情形。因?yàn)槲覀兟殬I(yè)學(xué)院五年制大專班數(shù)學(xué)的授課對(duì)象是類似于高一水平的學(xué)生，我們自然要問，對(duì)于冪指數(shù)是分?jǐn)?shù)的情況怎么處理呢？因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)既不是偶數(shù)也不是奇數(shù)。再結(jié)合第二點(diǎn)本文提出的一個(gè)記憶口訣，即“把奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”，可以輕松處理冪指數(shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，判斷函數(shù)的奇偶性問題，因?yàn)榭梢园雅e一例f（x）=x34，事實(shí)上，f（x）=x34蘊(yùn)含著一個(gè)信息，那就是f（x）=x34=（x3）14。不難發(fā)現(xiàn)，因?yàn)閮纭?”用是奇數(shù)，用我們提出的第一點(diǎn)想法，先輕松判斷出x3是奇函數(shù)。再用我們提出的第二點(diǎn)想法即“把奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”，（奇函數(shù)）14看成（負(fù)數(shù)）14，這明顯沒有意義，所以f（x）=x34既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。通過教材中奇、偶函數(shù)的定義，可以從側(cè)面驗(yàn)證，我們的結(jié)果確是正確的。再舉一例f（x）=x43，事實(shí)上，f（x）=x43蘊(yùn)含著一個(gè)信息，那就是f（x）=x43=（x4）13。不難發(fā)現(xiàn)，因?yàn)閮纭?”用是偶數(shù)，用我們提出的第一點(diǎn)想法，先輕松判斷出x4是偶函數(shù)。再用我們提出的第二點(diǎn)想法即“把奇函數(shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”，（偶函數(shù)）13看成（正數(shù)）14，很顯然，結(jié)果還是正數(shù)，所以f（x）=x43是偶函數(shù)，因?yàn)槲覀冇玫姆椒ㄊ恰鞍哑婧瘮?shù)看成負(fù)數(shù)，偶函數(shù)看成正數(shù)”，而我們的最終結(jié)果是判斷函數(shù)的奇偶性。通過教材中奇、偶函數(shù)的定義，同樣可以從側(cè)面驗(yàn)證，我們的結(jié)果確是正確的。像這樣的例子，我們還可以舉出很多，這些例子說明本文提出的第一點(diǎn)想法和第二點(diǎn)想法，對(duì)于判斷較復(fù)雜的函數(shù)的奇偶數(shù)非常有用。

我國著名數(shù)學(xué)家、著名教育家陳省身院士曾指出“數(shù)學(xué)是思考的產(chǎn)物。首先要能夠思考起來，用自己的見解和別人的見解交換，會(huì)有很好的效果?！惫P者通過這篇文章對(duì)高中數(shù)學(xué)里函數(shù)的奇偶性提出了一些全新的理解方式和并且給出了具體應(yīng)用，旨在與同仁們一起進(jìn)步。

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