厘清概念與性質(zhì) 準(zhǔn)確把握解題方向

廣東 林國紅

根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》的內(nèi)容可知：數(shù)學(xué)教育應(yīng)幫助學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和進一步學(xué)習(xí)所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗.通過學(xué)習(xí)，經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展，體驗研究數(shù)學(xué)的方法，感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價值、應(yīng)用價值、文化價值和審美價值，促進學(xué)生思維能力、實踐能力和創(chuàng)新意識的發(fā)展，培養(yǎng)一定的解題技能.其中，基礎(chǔ)知識不外是定義、定理、公式、性質(zhì)等，往往一個概念產(chǎn)生之后，隨之便有若干性質(zhì).在解題過程中，如何理解概念，巧用性質(zhì)，是一個值得思考的問題.很多學(xué)生不能很好地理解概念和性質(zhì)，從而造成解題失誤.

下面以奇函數(shù)為例，談?wù)劺迩甯拍钆c性質(zhì)在解題中的重要性，供大家參考.

一、奇函數(shù)的定義及其性質(zhì)

一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù).

基于奇函數(shù)的定義，可以得到以下性質(zhì)：

1.奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(0,0)對稱.

2.對于定義域內(nèi)的一個x0，總有f(-x0)=-f(x0)成立，特別地，當(dāng)f(0)有意義時，有f(0)=0，即函數(shù)f(x)過原點.

3.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(0,0)成中心對稱，反之，函數(shù)圖象關(guān)于原點(0,0)成中心對稱的函數(shù)一定是奇函數(shù).

二、奇函數(shù)中常見錯誤問題梳理

1.錯用性質(zhì)f(0)=0

錯因分析如果函數(shù)的定義域是包含0的奇函數(shù)，則能得到f(0)=0，但滿足f(0)=0的函數(shù)不一定是奇函數(shù)，而且根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，并不能肯定當(dāng)x=0時，函數(shù)f(x)有意義.因此，本題利用f(0)=0來解答是不正確的.

所以1-a2=0，解得a=±1.

錯解由f(x)為奇函數(shù)，得f(0)=0，即lga=0，所以a=1，

所以不存在實數(shù)a使函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

錯因分析根據(jù)函數(shù)f(x)的解析式，我們無法確定函數(shù)f(x)在0處是否有定義，所以不能應(yīng)用f(0)=0解題.

所以當(dāng)a=-1時，函數(shù)f(x)是奇函數(shù).

【例3】若函數(shù)f(x)=ax3+(a-1)x2+a(a-1)是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值.

錯解因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=a(a-1)=0，解得a=0或a=1.

錯因分析當(dāng)f(x)在0處有定義，且f(x)為奇函數(shù)時，則有f(0)=0，但f(0)=0并不能說明f(x)為奇函數(shù)，即當(dāng)f(x)在0處有定義時，f(0)=0只是f(x)為奇函數(shù)的必要非充分條件，所以用f(0)=0求出a的值后必須進行檢驗，這種檢驗是解題過程中不可缺少的步驟.

正解因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(0)=a(a-1)=0，解得a=0或a=1，

當(dāng)a=0時，f(x)=-x2，f(x)不是奇函數(shù)，所以a≠0；

當(dāng)a=1時，f(x)=x3，f(x)是奇函數(shù)，所以a=1.

評注當(dāng)能確定函數(shù)在0處有定義時，f(0)=0只是f(x)為奇函數(shù)的必要非充分條件，用其求出參數(shù)的值后，還要驗證這個值是否是函數(shù)為奇函數(shù)的充分條件；當(dāng)不能確定函數(shù)在0處是否有定義時，f(0)=0是f(x)為奇函數(shù)的既不充分也不必要條件，這時只能用奇函數(shù)的定義或其他方法去求參數(shù)的值.

2.求函數(shù)解析式漏掉f(0)=0

【例4】已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當(dāng)x>0時，f(x)=-x2+2x.求函數(shù)f(x)的解析式.

錯解當(dāng)x<0時，-x>0，因此f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x，而f(x)為奇函數(shù)，故f(x)=-f(-x)=x2+2x，

錯因分析這種錯誤是學(xué)生做題時最為常見的錯誤，容易忽略在奇函數(shù)中，f(x)在0處有定義時，則有f(0)=0.

正解當(dāng)x<0時，-x>0，因此f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x，而f(x)為奇函數(shù)，故f(x)=-f(-x)=x2+2x.

又因為f(x)是R上的奇函數(shù)，從而f(0)=0.

3.忽視函數(shù)的定義域

三、合理應(yīng)用奇函數(shù)的定義與性質(zhì)，精準(zhǔn)快速解題

解由題意可知f(x)的定義域為{x|x≠0}，且f(x)是奇函數(shù)，故f(-1)+f(1)=0，又f(1)=0，從而f(-1)=0，所以a=1.

所以不等式f(x)<0的解集為{x|-11}.

四、結(jié)語

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是推導(dǎo)數(shù)學(xué)定理、公式及性質(zhì)的邏輯基礎(chǔ)，而性質(zhì)是概念的延伸，兩者密不可分.在數(shù)學(xué)解題過程中，很多出錯的原因是對概念與性質(zhì)的理解不夠透徹，又或者是思考不全面等，從而對概念與性質(zhì)的轉(zhuǎn)化應(yīng)用不靈活.所以在平時的學(xué)習(xí)中，不能只強調(diào)解題的方法與技巧，而忽略基本概念與性質(zhì)，要深刻理解概念與性質(zhì)，以及兩者的聯(lián)系，才能找準(zhǔn)解題的思路與方向，提高解題能力.

五、練習(xí)鞏固

最后提供三道試題作為練習(xí)，以加深體會奇函數(shù)的定義與性質(zhì)在解題中的應(yīng)用.

1.若函數(shù)f(x) = ex+ae-x(x∈R)是奇函數(shù)，求實數(shù)a的值.