初中數(shù)學(xué)探究式教學(xué)

年如科

探究式教學(xué)是初中數(shù)學(xué)高效的教學(xué)方式之一，其本質(zhì)是以學(xué)生為中心，以師生互動(dòng)、生生互動(dòng)為主要活動(dòng)方式，將原本的講解課堂變?yōu)閷W(xué)生的主動(dòng)探究活動(dòng)，嘗試以學(xué)生思考為主、教師講解為輔助的學(xué)習(xí)方式，逐漸提升初中生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

【案例內(nèi)容】

人教版八年級(jí)下冊(cè)“17.1勾股定理”。

【教材分析】

勾股定理是初中幾何板塊內(nèi)容中最重要的定理之一，在七年級(jí)以及八年級(jí)上冊(cè)已經(jīng)接觸過(guò)三角形邊角關(guān)系，以及三角形全等的內(nèi)容；本堂課是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，以直角三角形為例，進(jìn)行直角三角形三邊等量關(guān)系的探究。通過(guò)本堂課的學(xué)習(xí)，學(xué)生對(duì)直角三角形會(huì)有更加深刻的認(rèn)識(shí)，對(duì)后續(xù)的三角函數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)也能產(chǎn)生積極影響。不僅如此，勾股定理在數(shù)學(xué)學(xué)科以及其他學(xué)科，甚至日常生活中也有廣泛應(yīng)用，通過(guò)探究式課堂教學(xué)能夠?qū)⒍囝I(lǐng)域的知識(shí)銜接起來(lái)，幫助學(xué)生深入掌握勾股定理的相關(guān)內(nèi)容，達(dá)到學(xué)以致用的最終目標(biāo)。

【教學(xué)目標(biāo)】

1.經(jīng)歷三角形三邊衍生正方形面積之間的等量關(guān)系，并表示直角三角形之間的等量關(guān)系，體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

2.經(jīng)歷勾股定理證明過(guò)程，理解趙爽運(yùn)用“出入相補(bǔ)法”證明勾股定理的思路，體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。

3.掌握勾股定理的運(yùn)用，并能夠解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。

4.能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言提出猜想，并通過(guò)例題的學(xué)習(xí)學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)。

【教學(xué)方法】

創(chuàng)設(shè)情境引入法、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、講練結(jié)合法。

【教學(xué)過(guò)程】

一、情境導(dǎo)入

教師：同學(xué)們，上學(xué)期我們已經(jīng)接觸過(guò)三角形，了解了三角形的一些性質(zhì)，對(duì)直角三角形也有過(guò)一些初步的探究，那么誰(shuí)記得直角三角形的三個(gè)角有什么關(guān)系？

預(yù)設(shè)：三個(gè)角的和是180°，其中一個(gè)角為90°，另外兩個(gè)角互余。

教師：非常好，那么你們知道三角形的三條邊關(guān)系也非常有趣嗎？接下來(lái)我們以等腰直角三角形為對(duì)象，看看它們究竟有什么關(guān)系？（此環(huán)節(jié)，教師還可以繪制關(guān)于三角形知識(shí)的思維導(dǎo)圖，從邊和角兩方面對(duì)其進(jìn)行知識(shí)的梳理，然后在直角三角形處留出相應(yīng)的空白，等待學(xué)生自主探究，在課堂結(jié)束時(shí)讓學(xué)生將思維導(dǎo)圖補(bǔ)充完整。）

（設(shè)計(jì)意圖：從三角形知識(shí)的復(fù)習(xí)入手，通過(guò)復(fù)習(xí)直角三角形三個(gè)角的關(guān)系，喚醒學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，隨后通過(guò)思維導(dǎo)圖展示整個(gè)三角形的知識(shí)體系，引導(dǎo)學(xué)生明確此板塊知識(shí)的上下位關(guān)系，并提出后續(xù)要探討的話題，使學(xué)生明確本堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)。）

二、新課講授

（一）故事引導(dǎo)，初步探究

教師借助多媒體教學(xué)工具，將教材中的圖片及文字以講故事的形式呈現(xiàn)出來(lái)。

教師：同學(xué)們，在今天的課程學(xué)習(xí)之前，我們先來(lái)聽(tīng)一個(gè)小故事：相傳在2500年前，畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時(shí)，低頭發(fā)現(xiàn)朋友家的地磚很有趣，于是看著地板陷入了沉思。同學(xué)們來(lái)看大屏幕上出現(xiàn)的地磚圖（見(jiàn)教材圖17.1-1），如果你是畢達(dá)哥拉斯，你有什么樣的發(fā)現(xiàn)呢？（為了增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，教師還可以添加一些畢達(dá)哥拉斯的小故事，引導(dǎo)學(xué)生積極投入。）

預(yù)設(shè)：學(xué)生1：奶奶家的地板磚也是這種正方形的，每塊方磚被分成了四個(gè)小三角形。

學(xué)生2：我發(fā)現(xiàn)，四個(gè)小三角形是一模一樣的。

學(xué)生3：我發(fā)現(xiàn)兩個(gè)相鄰的三角形可以組成一個(gè)直角三角形，而且還是等腰直角三角形。

教師：同學(xué)們觀察得非常細(xì)致，每塊方磚都分成了四個(gè)完全一樣的小三角形，然后兩個(gè)三角形能夠拼成一個(gè)等腰直角三角形，我們用正方形彩紙折紙的時(shí)候是不是有過(guò)這樣的經(jīng)歷呢？你還有什么發(fā)現(xiàn)呢？

學(xué)生4：我發(fā)現(xiàn)相鄰的相同顏色的三角形還可以組成一個(gè)小正方形……

（此時(shí)教師將上述兩組對(duì)話中學(xué)生發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象用不同的顏色標(biāo)注出來(lái)，然后繼續(xù)提問(wèn)）

教師：非常棒，那么這組圖形之間又有一個(gè)什么圖形呢？（出示教材圖17.1-2）

學(xué)生：它們中間夾了一個(gè)小的等腰直角三角形。

教師：接下來(lái)，以小組為單位來(lái)分析一下，上面三種顏色的圖形之間有什么關(guān)系嗎？

學(xué)生以小組為單位，通過(guò)小組合作觀察圖片，對(duì)三種顏色圖形的邊長(zhǎng)進(jìn)行推測(cè)：

關(guān)系1：兩個(gè)藍(lán)色正方形的面積之和等于紅色正方形也就是一塊方磚的面積。

關(guān)系2：藍(lán)色正方形的邊長(zhǎng)等于中間黃色等腰直角三角形的直角邊邊長(zhǎng)。

關(guān)系3：紅色正方形的邊長(zhǎng)等于中間黃色等腰直角三角形的斜邊邊長(zhǎng)。

通過(guò)小組合作，學(xué)生對(duì)三種顏色圖形的關(guān)系有了初步了解，但是沒(méi)有學(xué)生想到將兩者結(jié)合起來(lái)研究三邊關(guān)系，此時(shí)教師可以繼續(xù)追問(wèn)：

教師：同學(xué)們表述得非常棒，那有沒(méi)有想過(guò)將這兩個(gè)結(jié)論合并起來(lái)呢？來(lái)嘗試一下吧！

隨后，學(xué)生以小組為單位，對(duì)三組圖形的面積關(guān)系進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)結(jié)論：兩個(gè)藍(lán)色小正方形的面積和等于一個(gè)紅色大正方形的面積。

教師：你們能不能用數(shù)學(xué)化的語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)呢？

預(yù)設(shè)：以等腰直角三角形兩直角邊為邊的小正方形的面積的和，等于以斜邊為邊長(zhǎng)的大正方形的面積。

教師：換句話說(shuō)就是“等腰直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”。這就是勾股定理的雛形。

（設(shè)計(jì)意圖：本環(huán)節(jié)是初步探究環(huán)節(jié)，以師生互動(dòng)探究為主，以畢達(dá)哥拉斯故事為引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生參與課堂活動(dòng)的興趣。整個(gè)活動(dòng)以教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，充分培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察、思考、表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。）

（二）研討分析，深入探究

教師：同學(xué)們，剛剛我們發(fā)現(xiàn)了等腰直角三角形三邊之間的關(guān)系，那么你們覺(jué)得其他直角三角形的三邊關(guān)系符合這一規(guī)律嗎？（提出本環(huán)節(jié)需要探討的中心問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)探究。）

學(xué)生以小組為單位，可以先進(jìn)行結(jié)論的猜測(cè)，如有的小組認(rèn)為符合，有的小組認(rèn)為不符合，根據(jù)自己猜測(cè)的結(jié)果進(jìn)行后續(xù)探究。

問(wèn)題：（出示圖1，小正方形的邊長(zhǎng)為單位1）你能計(jì)算出大正方形C的面積嗎？

學(xué)生觀察圖形，結(jié)合自己現(xiàn)階段掌握的面積計(jì)算方法，思考并計(jì)算正方形A、B、C的面積，如割補(bǔ)法等。學(xué)生探究如下：

步驟一：SA=3×3=9，SB=4×4=16

步驟二：正方形C不能用邊長(zhǎng)乘以邊長(zhǎng)的計(jì)算方法，但是我們可以按照其四個(gè)頂點(diǎn)的位置將它補(bǔ)充為一個(gè)新的正方形，然后利用計(jì)算面積。新正方形的面積為7×7=49，然后再減去周圍四個(gè)小三角形的面積：3×4÷2×4=24，最終得出正方形C的面積為25。

教師：那么圖中三個(gè)正方形的面積有什么關(guān)系呢？它們是否和畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)的關(guān)系一樣呢？是否具有與等腰直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形面積同樣的等量關(guān)系呢？

學(xué)生：SA+SB=SC，具有與等腰直角三角形三邊為邊長(zhǎng)的正方形面積同樣的等量關(guān)系。

此時(shí)如果學(xué)生能提出疑問(wèn)：網(wǎng)格中的三角形可以代表所有的三角形嗎？學(xué)生就可以按照這個(gè)思路繼續(xù)深入探討，如果不能，教師提出問(wèn)題：那你們覺(jué)得剛剛老師給出的圖形能不能代表所有直角三角形的情況呢？一般直角三角形符合嗎？（教師繼續(xù)出示教材中的圖片。）

教師：假設(shè)現(xiàn)在直角三角形三邊為a、b、c，兩條直角邊分別為a、b，斜邊為c，那么a2+b2=c2是否成立呢？（在引導(dǎo)學(xué)生問(wèn)題探究中，教師可以根據(jù)學(xué)生探討的過(guò)程給出分層支持。）

支持一——擺放圖形：結(jié)合上述三角形三邊關(guān)系，擺放兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形，其中一邊重合（見(jiàn)圖2），引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算出這兩個(gè)圖形的面積。

學(xué)生根據(jù)教師的提出擺放出兩個(gè)正方形，然后根據(jù)面積公式計(jì)算出兩個(gè)正方形的面積為a2和b2。

支持二——分割圖形：引導(dǎo)學(xué)生在兩個(gè)正方形中切割出兩個(gè)直角三角形，確保切割出的三角形一個(gè)頂點(diǎn)重合，然后得出邊長(zhǎng)c，隨后證明左右兩個(gè)三角形全等，以及以B點(diǎn)為兩條c邊的夾角為直角（見(jiàn)圖3）。

學(xué)生根據(jù)教師給出的支持性問(wèn)題，在底邊上找到符合要求的B點(diǎn)，然后通過(guò)做輔助線的方式，借助三角形全等以及其他相關(guān)知識(shí)驗(yàn)證教師提出的問(wèn)題，最終用含有ab的式子表示所有數(shù)量關(guān)系。

支持三——重新拼接組合：如何找到大正方形的另一組鄰邊，即找到以直角三角形斜邊為邊長(zhǎng)的正方形？

學(xué)生根據(jù)教師的支持，小組合作借助前兩個(gè)環(huán)節(jié)探究所得的圖形進(jìn)行切割、拼剪，然后展示自己小組得出的成果。

此時(shí)教師可以追問(wèn)：為什么按這種方式拼出的四邊形是正方形？你能說(shuō)明理由嗎？（預(yù)設(shè)：學(xué)生通過(guò)直角三角形兩個(gè)銳角互余等知識(shí)點(diǎn)說(shuō)明新得出的四邊形是正方形。）

支持四：那么你能證明新得出的邊長(zhǎng)為c的正方形和原來(lái)圖形的面積沒(méi)有變化嗎？

學(xué)生整理上述三個(gè)環(huán)節(jié)得出含有ab的算式，然后進(jìn)行計(jì)算、分析，最終證明：a2+b2=c2。

（設(shè)計(jì)意圖：此環(huán)節(jié)師生探究活動(dòng)中，教師運(yùn)用類比思想引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行探討，這是數(shù)學(xué)研究從特殊到一般的過(guò)程。在四個(gè)步驟的支持中，教師搭建腳手架，一步步引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑、思考、分析、探討過(guò)程中，自然、合理地發(fā)現(xiàn)知識(shí)前后之間的聯(lián)系，從而體會(huì)“出入相補(bǔ)法”的原理。）

【教學(xué)反思】

探究式教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中常用的教學(xué)方法之一，以往數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師始終認(rèn)為學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、探究能力較弱，并沒(méi)有嘗試將整堂課全部教給學(xué)生，此次以學(xué)生為主體的課堂探究學(xué)習(xí)嘗試中，教師作為主導(dǎo)者，適時(shí)提出問(wèn)題，搭建學(xué)生小組合作觀察、思考、探究的“腳手架”，既保證了學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和積極性，又確保了整堂課按照教師設(shè)計(jì)的思路進(jìn)行。此外，在整個(gè)課堂中學(xué)生小組合作占據(jù)主體地位，小組內(nèi)的交流、思考、合作活動(dòng)相對(duì)較多，學(xué)生能夠?qū)⑴c三角形相關(guān)的知識(shí)系統(tǒng)串聯(lián)起來(lái)，也有利于自身知識(shí)體系的搭建，為后續(xù)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

（作者單位：甘肅省康樂(lè)縣上灣民族中學(xué)）

編輯：陳鮮艷