初中數(shù)學教材使用中可融入的數(shù)學史

張富平

數(shù)學是一門重要的學科，在學習數(shù)學的過程中，學生應重視對數(shù)學史的了解，因為數(shù)學史能夠展現(xiàn)數(shù)學的發(fā)展歷程和數(shù)學家的思想，可以幫助學生更好地理解數(shù)學的概念和方法，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和創(chuàng)新能力。本文以北師大版八年級下冊為例，研究初中數(shù)學教材使用中可融入的數(shù)學史的相關內(nèi)容，目的是進一步豐富課堂內(nèi)容，激發(fā)學生的學習熱情，提高課堂效果。

一、等腰三角形的性質(zhì)證明

在北師大版八年級下冊的教材中，有一個單元是關于等腰三角形的，其以七年級下冊為基礎。在七年級下冊中，學生通過折疊和觀察來學習等腰三角形的性質(zhì)，而在八年級下冊中，學生需要進一步學習如何證明等腰三角形的性質(zhì)，包括“等邊對等角”和“三線合一”。教材引導學生使用之前學過的基本事實和已有定理來證明等腰三角形的“等邊對等角”性質(zhì)，強調(diào)了邏輯證明的過程，使學生從感性認識上升到理性認識等腰三角形的性質(zhì)。

在八年級下冊的“1.1 等腰三角形”單元中，教師可以運用數(shù)學史的內(nèi)容來輔助教學。首先，可以介紹等腰三角形“三線合一”性質(zhì)的實際應用。其次，可以向?qū)W生介紹證明等腰三角形“等邊對等角”性質(zhì)的幾種方法。第一種方法是利用“全等三角形”的定理，通過構(gòu)造等腰三角形的鏡像三角形，運用全等三角形的性質(zhì)來證明。第二種方法是采用“平移”的思路，將等腰三角形的一條腰平移到另一條腰上，根據(jù)“平移”的性質(zhì)得出結(jié)論。第三種方法是利用“角的平分線”的性質(zhì)，通過構(gòu)造角平分線來證明等腰三角形的“等邊對等角”性質(zhì)。

（一）等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)應用

早在古代時期，等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)就得到了實際應用，如水準儀。古埃及時期就有了水準儀的存在，其形狀是一個等腰三角形，水準儀頂點處掛著鉛垂線，如果鉛垂線過底邊中點，則表明該底邊水平。在歷史上，古埃及人修建廟宇時會進行嚴格的測量，他們將其視為神圣的工作，很多人會把水準儀的形狀制作成護身符。教師在教學過程中，可以采用圖文并茂的形式呈現(xiàn)以上內(nèi)容。

（二）等腰三角形“等邊對等角”性質(zhì)的幾種證明

約公元前300年，歐幾里得在《幾何原本》中展示了如何延長等腰三角形的腰。在公元3世紀末，帕普斯將等腰三角形想象成兩個三角形，并運用“邊角邊”定理證明了△ABC=△ACB，從而得出兩底角相等的結(jié)論。公元5世紀，普洛克拉斯采用了類似歐幾里得的證法，通過在△ABC的腰上分別作E、D兩點，使得BE=CD，并運用兩次“邊角邊”定理證明了三角形的全等性，從而證明了底角相等。在18世紀末，勒讓德通過作底邊上的中線，運用“邊邊邊”定理證明了三角形的全等性，從而得到了兩底角相等的結(jié)論，這也是北師大版八年級下冊中所運用的方法。19世紀，萊斯利作頂角的角平分線，運用“邊角邊”定理證明了底角相等。

在教學過程中，教師可以引導學生用不同的方法證明等腰三角形的性質(zhì)，并對學生的多種證法進行點評，接著列出數(shù)學家們的幾種證明方法，以拓寬學生的思路。教師可以通過歐幾里得證法的“復雜性”引發(fā)學生思考，將其作為補充知識，給學生簡單介紹《幾何原本》的公理體系，進一步滲透公理化思想，拓寬學生的視野，使他們明白教材構(gòu)建的公理體系與《幾何原本》的公理體系是不同的。

（三）三角形的中位線定理證明

在八年級下冊的數(shù)學教材中，三角形的中位線定理是通過沿著中位線裁剪三角形，拼接成與原三角形面積相等的平行四邊形的方法來呈現(xiàn)的，學生可以直接了解定理，通過畫輔助線構(gòu)造平行四邊形進行證明。這一定理背后也有許多與數(shù)學史相關的內(nèi)容，教師在教學中可以進行有機地融入，讓學生了解三角形中位線定理背后的歷史和文化，加深學生對該知識的理解和認識，培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣和好奇心。通過了解數(shù)學史，學生可以更好地理解數(shù)學的發(fā)展過程，認識到數(shù)學不僅是一種工具，還有其獨特的文化背景和價值。

二、因式分解

（一）代數(shù)方程的因式分解方法

1591年，法國數(shù)學家韋達在《論方程的整理和修改》中首次提出了代數(shù)方程的多項式因式分解方法，并證明了在實數(shù)范圍內(nèi)，所有三次和三次以上的一元多項式都可以進行因式分解。韋達使用了數(shù)學歸納法和遞歸的思想，將多項式進行分解逐步簡化，得到多項式的因式分解形式。其中蘊含的數(shù)學推理和證明的思想方法，對數(shù)學的發(fā)展起到了重要的推動作用。

教師可以在教學中介紹韋達的貢獻，讓學生了解代數(shù)方程因式分解方法的起源和發(fā)展過程，從而更深入地理解因式分解的方法和原理。同時，教師也可以引導學生思考，為什么只有三次和三次以上的一元多項式可以進行因式分解。教師還可以引導學生思考代數(shù)方程因式分解方法在實際問題中的應用。將實際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程，利用因式分解的方法求解，幫助學生將數(shù)學知識與實際問題結(jié)合起來，培養(yǎng)他們的問題解決能力和創(chuàng)新思維。

（二）“>”和“<”符號引入

英國數(shù)學家和天文學家哈里奧特在《實用分析術》中使用因式分解方法解決了代數(shù)方程，并引入了“>”和“<”數(shù)學符號，推動了數(shù)學的發(fā)展。教師在講解不等關系時可以說說哈里奧特的貢獻，讓學生了解數(shù)學符號的起源和應用，從而更深入地理解不等關系的概念和應用方法。同時，教師可以引導學生思考，為什么要引入這樣的符號，以及這樣的符號在數(shù)學中的作用和意義，培養(yǎng)學生的數(shù)學思維和推理能力。

（三）待定系數(shù)法的應用

1637年，法國數(shù)學家笛卡爾在《幾何學》中首次使用待定系數(shù)法將四次方程分解為兩個二次方程，并最早給出了因式分解定理。這種方法在因式分解問題上的應用范圍非常廣泛，特別適合教給初中二年級的學生。教師可以在教學中介紹笛卡爾的貢獻，讓學生了解待定系數(shù)法的原理和應用。教師通過引導學生思考和舉例，可以幫助他們理解待定系數(shù)法的思想和方法。有的教師還研究了在歷史、哲學和數(shù)學（HPM）視角下的“十字相乘法”的教學。盡管北師大版教材中沒有明確要求教授“十字相乘法”，但在學生的日常練習中經(jīng)常會用到它，因此教師有必要補充這個知識點。

三、分式方程和增根

（一）分式方程

9世紀，阿拉伯數(shù)學家花拉子米在《代數(shù)學》中解決了一些分式方程的問題。13世紀，意大利數(shù)學家斐波那契在《計算之書》中提出了許多分式方程求解的問題，其中一些問題來源于花拉子米。同時，同一時期的中國數(shù)學家李冶在《測圓海鏡》中也運用分式方程解決了一些實際問題。然而，在接下來的5個世紀中，幾乎沒有人研究分式方程。直到18世紀，英國數(shù)學家桑德森成為當時唯一研究分式方程的數(shù)學家，他在《代數(shù)基礎》中提出了分式方程的解法，并提出了一些分式方程的應用題。桑德森在一歲時因染上天花而失明，但他通過聽別人讀書學習了拉丁語、希臘語、法語和數(shù)學，并掌握了希臘版的《幾何原本》。1707年，他進入劍橋大學為學生授課，學生都被他的教學技巧折服。教師介紹桑德森的生平，可以讓學生感受到他堅韌、頑強的精神，發(fā)揮數(shù)學史融入教學的“德育之效”，培養(yǎng)學生的毅力和堅持不懈的精神，讓他們在學習數(shù)學中更加努力和自信。

（二）增根

斐波那契和桑德森等數(shù)學家在研究分式方程時沒有遇到增根的問題，直到1800年，拉克洛瓦在《代數(shù)基礎》中考慮了含有字母系數(shù)的分式方程，當字母系數(shù)使得根的分母為零時，根不存在。由于沒有進行驗根，所以錯過了增根的發(fā)現(xiàn)，桑德森同時約去分式方程兩邊的未知數(shù)，導致了“失根”（少了零根）?；诖耍榻B拉克洛瓦和桑德森的失誤可以讓學生意識到驗根和考慮零根的重要性，避免重走前人的彎路。

1882年，美國的奧利弗在《代數(shù)專論》中分析了分式方程的解法，對增根有了清晰的認識，認為對分式方程兩邊同乘分母的最小公倍式可以消除增根。1899年，費歇爾和施瓦特糾正了前者的錯誤，給出了既不會失根也不會有增根的解法。教師在教學中可以介紹這段歷史，幫助學生了解增根和失根的由來，意識到前人也犯過與自己一樣的錯誤，經(jīng)歷了相似的困惑，體會費歇爾和施瓦特解分式方程方法的嚴謹性和優(yōu)越性，培養(yǎng)學生的批判性思維和解決問題的能力。

四、平行四邊形

（一）《幾何原本》中平行四邊形的判定與性質(zhì)

在《幾何原本》中，歐幾里得給出了斜方形的定義，即對角相等且對邊亦相等但邊不全等且角不是直角的四邊形，這實際上就是不包含菱形、矩形和正方形的平行四邊形。歐幾里得對平行四邊形的定義應該是兩組對邊分別平行的四邊形，并通過《幾何原本》中的兩個命題分別給出了平行四邊形的若干性質(zhì)和判定的證明，即“在同一方向（分別）連接相等且平行的線段（端點），則連接線段相等且平行”，該命題正是平行四邊形的判定定理之一，證明過程運用了邊角邊三角形全等判定定理，與北師大版教材的證法一致；“在平行四邊形中，對邊相等，對角相等，對角線二等分該圖形”這一命題涵蓋了平行四邊形的兩個基本性質(zhì)。由于公理體系的限制，該命題的證明較為復雜，而教材中直接運用角邊角三角形全等判定定理進行證明。與我國現(xiàn)今初中教材相比，《幾何原本》并沒有涉及兩組對邊分別相等和對角線互相平分的平行四邊形判定定理，以及平行四邊形對角線相互平分的性質(zhì)，以上部分內(nèi)容可以作為閱讀材料供學生了解。例如，在學完平行四邊形的判定后，教師可以給學生展示公元前300年的歐幾里得對斜方形的定義，讓學生判斷斜方形是不是平行四邊形，利用數(shù)學史料來幫助學生鞏固知識，加深學生對平行四邊形性質(zhì)的理解，提高學生的學習興趣和思考能力。

（二）平行四邊形的余弦定理

平行四邊形的余弦定理具有豐富的數(shù)學歷史背景，除了在《幾何原本》中證明外，我國三國時期的趙爽在《周髀算經(jīng)·日高圖》注中也提到了矩形情況下的余弦定理，即“黃甲與黃乙（面積）其實正等”，該定理在《周髀算經(jīng)》中用于測太陽高度，在《海島算經(jīng)》中用于測算小島的高度，可見當時古人的智慧之高。在《九章算術注》中也多次應用到了相應的數(shù)學思想，即出入相補原理，即一個圖形移動到其他位置面積不變，若將圖形分割成若干塊，各部分面積之和等于原來圖形的面積，我們的先輩正是運用該思想得到矩形的余弦定理。此外，平行四邊形的面積求解問題可能會涉及余弦定理。因此，在平行四邊形的教學中補充余弦定理的歷史背景，有利于豐富學生對平行四邊形的認識，體會余弦定理寶貴的數(shù)學思想，同時也可以提高學生的民族自豪感。通過了解古代數(shù)學家在實際問題中如何應用余弦定理，學生可以更深入地理解這一定理的意義和應用，激發(fā)對數(shù)學的興趣和探索精神。

綜上所述，目前將數(shù)學史融入數(shù)學教學的教育價值已被廣泛認可，關鍵在于如何有效地將其實踐。因此，本文通過文獻研究整理出相關的數(shù)學史素材，參考了北師大版八年級下冊數(shù)學知識的相關數(shù)學史研究，總結(jié)了等腰三角形的性質(zhì)證明等不同知識點的數(shù)學史背景，并給出了一些教學建議。教師引入數(shù)學史，可以幫助學生更好地理解數(shù)學的發(fā)展歷程，激發(fā)他們對數(shù)學的興趣和學習動力。同時，通過學習數(shù)學史，學生還可以了解到數(shù)學在實際問題中的應用，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新思維和問題解決能力。因此，將數(shù)學史融入數(shù)學教學是一種有益的教學方法，可以豐富教學內(nèi)容，提高學生的學習效果。

（作者單位：甘肅省蘭州市榆中縣和平中學）

編輯：趙文靜