運用數(shù)形結(jié)合解答一次函數(shù)問題

劉煥

摘要：一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重要函數(shù).解答一次函數(shù)問題不僅要靈活運用所學(xué)的基礎(chǔ)知識，而且還需要相關(guān)的數(shù)學(xué)思想作指導(dǎo).其中數(shù)形結(jié)合思想立足“數(shù)”與“形”間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，通過“數(shù)”與“形”的相互對照可及時找到解答問題的切入點，確保一次函數(shù)問題的高效解決.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合；一次函數(shù)

運用數(shù)形結(jié)合解答一次函數(shù)問題的關(guān)鍵在于具備數(shù)形結(jié)合解題的意識，同時，能夠?qū)崿F(xiàn)“數(shù)”與“形”之間的正確、針對性轉(zhuǎn)化，將抽象、不易解決的問題變得直觀、容易解決.當(dāng)然還應(yīng)做好不同一次函數(shù)問題解題過程的審視，彌補解題的短板，尤其注重成功經(jīng)驗的積累與靈活遷移.

1 巧解參數(shù)范圍

求解參數(shù)范圍一般運用不等式知識.對于一次函數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合，運用觀察法也能迅速得出結(jié)果.

例1當(dāng)x>-3時，對于x的每一個值，函數(shù)y=-12x+3的值都大于等于函數(shù)y=kx（k≠0）的值，則k的取值范圍是.

解析：解題的關(guān)鍵在于對題干的等價轉(zhuǎn)換.題干可轉(zhuǎn)化為當(dāng)x>-3時，函數(shù)y=-12x+3的圖象在函數(shù)y=kx（k≠0）圖象的上方.

對于函數(shù)y=-12x+3，將x=-3代入得到y(tǒng)=92.將點-3，92代入到y(tǒng)=kx，解得k=-32，此時滿足題意.在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩個函數(shù)的圖象，如圖1所示.

將函數(shù)y=kx的圖象繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)函數(shù)y=kx的圖象和函數(shù)y=-12x+3的圖象平行時，無交點，此時k=-12，滿足題意；當(dāng)函數(shù)y=kx的圖象由直線y=-12x旋轉(zhuǎn)到直線y=-32x時，也滿足題意；繼續(xù)旋轉(zhuǎn)則不滿足題意.

綜上分析，滿足題意的k的取值范圍為-32≤k≤-12.

點評：運用數(shù)形結(jié)合解答一次函數(shù)問題的關(guān)鍵在于“數(shù)”與“形”的正確轉(zhuǎn)化.該題中依托圖形，通過圖形的旋轉(zhuǎn)找到參數(shù)的取值范圍，非常直觀.

2 巧解參數(shù)最值

求解參數(shù)最值常用不等式、二次函數(shù)知識，而對于一次函數(shù)的最值問題，通過數(shù)形結(jié)合解決卻不失為一種新的解題思路.

例2已知p=2x+1，q=-2x+2，若規(guī)定函數(shù)y=1+p-q（p≥q），1-p+q（p

A.-1

B.0

C.1

D.2

解析：解題的關(guān)鍵在于正確理解題意.根據(jù)題干條件，由p≥q，得2x+1≥-2x+2，則有x≥14.同理由p

聯(lián)系一次函數(shù)圖象及性質(zhì)，畫出y的圖象，如圖2所示，由圖可清晰地看到函數(shù)y的最小值為1.

故選擇：C.

點評：該題情境新穎.解題時需要深入理解題意，化陌生為熟悉.而后運用一次函數(shù)知識正確畫出圖象，通過觀察圖象的最低點得出參數(shù)最值.

3 巧解點的坐標(biāo)

求解一次函數(shù)問題中點的坐標(biāo)離不開平面直角坐標(biāo)系.常通過數(shù)形結(jié)合，合理運用幾何知識進行計算.需要注意的是，勾股定理在其中也較為常用，應(yīng)注重應(yīng)用.

例3如圖3所示，A（-8，0），B（-2，8）是△ABC的頂點，點C在y軸正半軸上，AB=AC，將△ABC向右平移得到△A′B′C′，若A′B′經(jīng)過點C，則點C′的坐標(biāo)為.

解析：過點B作BG垂直x軸于點G，如圖4所示.由A（-8，0），B（-2，8），得AO=8，GO=2，AG=8-2=6，

BG=8.在直角三角形AGB中，由勾股定理可得AB=AG2+BG2=62+82=10（這里亦可直接使用兩點間的距離公式直接求得AB=2+（8-0）2=62+82=10）.由AB=AC，得AC=10.在直角三角形AOC中，由勾股定理可得OC=AC2-AO2=102-82=6，所以點C的坐標(biāo)為（0，6）.

設(shè)直線AB的方程為y=kx+b，將點A，B的坐標(biāo)分別代入得-8k+b=0，-2k+b=8，解得k=43，b=323，則y=43x+323.設(shè)直線AB向右平移n個單位長度到達直線A′B′處，則直線A′B′的解析式為y=43（x-n）+323，因其過點C（0，6），代入解得n=72.易得點C′的坐標(biāo)為72，6.

點評：結(jié)合題干創(chuàng)設(shè)的情境，作出輔助線，靈活運用勾股定理求出相關(guān)線段長度.運用一次函數(shù)知識求出直線的解析式，從平移的視角出發(fā)不難求出目標(biāo)點的坐標(biāo).

4 巧解線段長度

求解線段長度是初中階段的常見幾何問題.常通過幾何圖形性質(zhì)作答.部分問題看似考查的是幾何知識，實則考查一次函數(shù)知識.意識到這一點，通過數(shù)形結(jié)合，便能迅速找到解題突破口.

例4如圖5，已知邊長為2的正方形ABCD，邊BC的中點為E，點F在AE上，且滿足EF=CE，連接CF并延長交AB于點G，則BG的長為.

解析：以點B為坐標(biāo)原點，BC所在的直線為x軸，BA所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖6所示.根據(jù)題意，易得A（0，2），C（2，0），E（1，0），則根據(jù)待定系數(shù)法容易求得AE所在的直線解析式為y=-2x+2.

由點F在AE上，可設(shè)點F（m，-2m+2），其中0

設(shè)CF所在直線的解析式為y=kx+b，將點F，點C的坐標(biāo)代入得255=1-55k+b，0=2k+b，解得k=1-52，b=5-1，則CF所在直線的解析式為y=1-52x+5-1.

令x=0，得y=5-1.

故GB的長為5-1.

點評：該題以正方形為背景設(shè)計問題，運用幾何知識求解難度較大.運用正方形的性質(zhì)構(gòu)建直角坐標(biāo)系，將幾何問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)問題，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，解題思路變得清晰.

綜上所述，一次函數(shù)在初中數(shù)學(xué)中占有重要地位，不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)的重點，而且是中考的必考點.在中考中，一次函數(shù)問題情境?？汲Ｐ?，解題思路靈活多變，其中通過數(shù)形結(jié)合，更容易理順解題思路，使復(fù)雜問題變得簡單化，因此，在日常的學(xué)習(xí)活動中，應(yīng)夯實一次函數(shù)基礎(chǔ)，理解一次函數(shù)各參數(shù)的含義，積極運用數(shù)形結(jié)合解答一次函數(shù)問題，提高知識運用熟練程度，不斷積累應(yīng)用經(jīng)驗，實現(xiàn)解題能力的有效提升.

參考文獻：

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