借力不變性尋找統(tǒng)一性

黃東元

摘要：要想做到把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識和蘊含的數(shù)學(xué)思想方法從整體上去進行統(tǒng)一，就必須用更高的觀點去審視，從更一般的視角去切入.本文中嘗試借助“變化中的不變量和不變性”，透過現(xiàn)象看本質(zhì)，將各種不同的構(gòu)造統(tǒng)攝于同一個基本思想之下，進而深刻認識數(shù)學(xué)的本質(zhì).

關(guān)鍵詞：統(tǒng)一性；不變量；不變性

1 啟示

在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，古埃及幾何學(xué)的一個重大缺陷就是他們沒能將眾多的特殊情況納入更一般的視角，從而無法得出更廣泛和更基本的定理.與此相反，笛卡兒用線段的長度來表示所有的連續(xù)量，連續(xù)量所具有的重要特性就鮮明地表示出來了：首先，不論多少都能分割；其次，這些連續(xù)量也能自由地結(jié)合在一起；再次，能夠很容易地比較它們的大小.例如：形狀不同的杯子里的水的體積是不容易比較的，但是如果將體積轉(zhuǎn)換成長度，立刻就可以進行比較，只要把水倒進帶刻度的量杯后就可以比較，量杯本來就是把體積轉(zhuǎn)換成長度的工具.類似地，桿秤是把重量轉(zhuǎn)化成長度的工具；時鐘是把時間轉(zhuǎn)化成曲線的長度的機械；溫度計把溫度轉(zhuǎn)化成了長度：等等.這一切都為坐標(biāo)系的出現(xiàn)做好了準(zhǔn)備，為坐標(biāo)幾何的誕生奠定了基礎(chǔ)，像這樣用一種原理把完全不同的事實統(tǒng)一起來，充分顯示了數(shù)學(xué)的威力.

美國數(shù)學(xué)家莫里斯5克萊因認為：現(xiàn)代科學(xué)最重要的信念是自然界的一致性和不變性.英國數(shù)學(xué)家阿蒂亞也認為：數(shù)學(xué)各分支（代數(shù)、幾何、拓撲、分析等）之間的相互作用絕不僅僅是一種偶然的巧合，實際上它反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性和簡單性都是極為重要的.

2 思考

要想把數(shù)學(xué)進行統(tǒng)一，關(guān)鍵是找到一個合適的突破口.縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史，解析幾何之所以能統(tǒng)一代數(shù)和幾何，是因為幾何學(xué)擁有一種內(nèi)蘊的代數(shù)結(jié)構(gòu).1872年，德國數(shù)學(xué)家克萊因在《愛爾蘭根綱領(lǐng)》中將幾何變換用于認識歐氏幾何，促成了人類對幾何本質(zhì)的深刻認識：幾何就是研究在各種變換群下的不變性和不變量，在學(xué)生的思維上形成的是用不變的規(guī)律解釋始終變化的圖形特點的認識.笛卡兒在他的《方法論》中論述了自然定律的永恒不變性，在物理學(xué)中有動量守恒定律、角動量守恒定律、能量守恒定律等；在數(shù)學(xué)上則有不變性、不變量、不變型等.受此啟發(fā)，筆者嘗試以能否運用變化中的不變量和不變性為突破口，把數(shù)學(xué)知識和方法進行統(tǒng)一.下面是筆者在這方面做的一些嘗試，不當(dāng)之處，還請批評指正！

3 變中有不變的典型案例

在千變?nèi)f化的現(xiàn)象背后，只要抓住不變的規(guī)律，就能夠透過現(xiàn)象看本質(zhì)，達到對數(shù)學(xué)知識的深刻理解.在初中數(shù)學(xué)知識中，存在著很多變化中有不變的典型案例，舉例如下：

（1）任意多邊形的內(nèi)角和隨著邊數(shù)的增加而增大，但是它的外角和永遠不變.

（2）在自然數(shù)、有理數(shù)、實數(shù)、復(fù)數(shù)中，數(shù)系的范圍在擴大，但其中的運算法則a+b=b+a，ab=ba，（a+b）+c=a+（b+c），（ab）c=a（bc），a（b+c）=ab+ac保持不變.

（3）分解質(zhì)因數(shù)與整式的分解因式在形式上雖然不同，但本質(zhì)上屬于同一種運算結(jié)構(gòu).

（4）在旋轉(zhuǎn)、平移、軸對稱這些剛體運動中，圖形的位置雖然發(fā)生了變化，但是圖形中任意兩點間的距離和夾角保持不變.

（5）對于同一個函數(shù)來說，它的表達形式可以不同，但是變量間的對應(yīng)關(guān)系是不變的.

（6）對于一元二次方程來說，它的形式雖然千變?nèi)f化，但是它的根的判別式是一個不變式.

（7）如果讓某種隨機實驗發(fā)生（通過計算機模擬），雖然每次出現(xiàn)的結(jié)果不盡相同，但是通過大量的實驗之后，就會發(fā)現(xiàn)它們的平均值是一個穩(wěn)定的結(jié)果，這個結(jié)果就是這個隨機事件的概率，這就是著名的蒙特卡洛方法.

下面再結(jié)合人教版教材，列舉在初等數(shù)學(xué)方法方面利用變化中的不變量和不變性的例子.

案例1利用速度和不變列方程

（人教版數(shù)學(xué)教材七年級上冊第99頁第10題）王力騎自行車從A地到B地，陳平騎自行車從B地到A地，兩人都沿同一公路勻速前進，已知兩人在上午8時同時出發(fā)，到上午10時，兩人還相距36 km，到中午12時，兩人又相距36 km.求A，B兩地間的路程.

分析：本題中有王力和陳平的速度以及A，B兩地間的路程三個未知量，難度較大，學(xué)生不容易理解，但是考慮到兩人都是勻速行駛，因此兩人的速度都不變，則兩人的速度和就不變，可以把兩個人看成“一個人”.

解法1：設(shè)“這個人”的速度為x km/h，則8時到10時階段，A，B兩地間的路程可以表示為（2x+36）km;

8時到12時階段，A，B兩地間的路程可以表示為（4x-36）km.

列方程，得2x+36=4x-36，解得x=36，則A，B兩地間的路程為108 km.

解法2：設(shè)全程為x km，則8時到10時階段“這個人”的速度為x－362；8時到12時階段，“這個人”的速度為x+364.根據(jù)速度不變列方程x－362=x+364，解得x=108，則A，B兩地間的路程為108 km.

案例2利用速度不變列方程

（人教版數(shù)學(xué)教材七年級上冊第99頁第11題）一列火車勻速行駛，經(jīng)過一條長300 m的隧道需要20 s的時間.隧道的頂上有一盞燈，垂直向下發(fā)光，燈光照在火車上的時間是10 s，求這列火車的長度.

分析：本題中有如下兩個情境.

（1）火車過隧道（小學(xué)里有汽車過橋的問題）.

火車穿隧道的過程是從火車頭進隧道開始，到火車尾出隧道結(jié)束，由于火車本身有長度，學(xué)生理解有困難，因此可以在火車尾處選一個點P，如圖1所示.

把火車穿隧道等效為點P穿隧道，學(xué)生容易理解，如圖2，設(shè)火車長為x m，則點P走的路程為（300+x）m，火車的速度=點P的速度=300+x20.

（2）燈照火車.

由于火車本身有長度和速度，不容易理解，可以根據(jù)相對運動理論等效處理為：火車不動，燈泡以火車的速度把火車掃描了一遍，如圖3，即燈泡在10 s的時間里走了一個車身長x m，燈泡的速度=x10.因此，燈泡不動，火車的速度=x10.

根據(jù)火車的速度不變列方程，得300+x20=x10.

案例3利用年齡差不變或時間不變列方程

（七上第112頁第8題）父親和女兒的年齡之和是91，當(dāng)父親的年齡是女兒現(xiàn)在年齡的2倍的時候，女兒的年齡是父親現(xiàn)在年齡的13，求女兒現(xiàn)在的年齡.

解法1：根據(jù)年齡差不變列方程.不管過去還是現(xiàn)在，父親與女兒的年齡差始終不變.

設(shè)女兒現(xiàn)在的年齡為x，則父親現(xiàn)在的年齡是91-x.

若干年之后（或之前），當(dāng)父親年齡為2x時，女兒的年齡為91-x3.

根據(jù)父親與女兒的年齡差不變列方程，得

（91-x）-x=2x-91－x3.

解法2：父親和女兒都經(jīng)歷了同樣的時間，根據(jù)時間不變列方程，得（91-x）-2x=x-91－x3.

案例4利用積分和不變列方程

（七下習(xí)題）在一次國際象棋女子挑戰(zhàn)賽上，我國女子國際象棋大師謝軍在苦戰(zhàn)15盤后，以凈勝俄羅斯棋手加利亞莫娃2分的優(yōu)異成績，第三次奪得棋后桂冠，比賽的積分規(guī)則是勝一局得1分，負一局得0分，和棋各得0.5分，則謝軍最后積分多少？

分析：

所以，每一局無論誰勝誰負或者是和，謝軍與加利亞莫娃的積分和不變，都等于1分，設(shè)謝軍的積分為x，加利亞莫娃的積分為y，則x+y=15.又x-y=2，則

x+y=15，

x-y=2.

問題得解.

案例5利用邊數(shù)比不變列方程

（七下習(xí)題）

有種足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的（如圖4），黑皮可看作正五邊形，白皮可以看作正六邊形，設(shè)白皮有x塊，黑皮有y塊，則可以列方程組.

解法1：如圖4，站在白皮的角度看，有一半的邊對著黑邊，設(shè)白皮x塊，則白邊有6x條，黑邊有3x條；站在黑皮的角度看，y塊黑皮有5y條邊.根據(jù)黑邊條數(shù)相等列方程，得3x=5y.

解法2：每一條黑邊都對應(yīng)一條白邊，但是，白邊只有一半和黑邊對應(yīng)，則

白邊數(shù)是黑邊數(shù)的2倍，所以6x=2×5y.

故3x=5y.

解法3：每塊白皮外邊有三塊黑皮，記這個組合為（白，黑），則x塊白皮外有3x塊黑皮，

就有3x個（白，黑）組合；

每塊黑皮外邊有五塊白皮，記這個組合為（黑，白），則y塊黑皮外邊有5y塊白皮，就有5y個（黑，白）組合.

根據(jù)（白，黑）組合與（黑，白）組合個數(shù)相同，列出方程

3x=5y.

解法4：均攤法.

如圖5，用b表示黑皮，a表示白皮，每塊黑皮被5個白皮共用，把白皮平均分攤為5份，白皮的15給了黑皮.

由白皮周圍有3個黑皮，可知

每個白皮對應(yīng)35個黑皮，則

5個白皮對應(yīng)3個黑皮.

所以白皮∶黑皮=5∶3，即x∶y=5∶3.

例如：每個人分12個饅頭，10個人就分5個饅頭，人數(shù)∶饅頭數(shù)=2∶1.

自然哲學(xué)認為：在千變?nèi)f化的現(xiàn)象背后，存在著不變的和永恒的東西，只有真正永恒的東西才是有價值的.我們要在個性中尋找共性，在變化中尋找不變，在混沌中尋找秩序，在秩序中尋找永恒，用一般觀念來統(tǒng)領(lǐng)全局，建立一個前后一致、邏輯連貫的知識系統(tǒng).張奠宙先生也認為：“數(shù)學(xué)中到處都是變與不變的矛盾統(tǒng)一.萬變不離其宗，數(shù)學(xué)研究變化，卻以找到其中的不變性作為歸宿.”數(shù)學(xué)思維在運作過程中運用的是一些具有普適性的數(shù)學(xué)方法，這些數(shù)學(xué)方法超越了研究對象本身，具有高度的統(tǒng)一性.變中有不變，就能進行統(tǒng)一，將各種不同的構(gòu)造統(tǒng)攝于同一個基本思想之下，從而達到深刻認識數(shù)學(xué)的本質(zhì)的目的.