“直觀+推理”在解答高考數(shù)學(xué)選填綜合題中的應(yīng)用

［摘 要］文章以高考數(shù)學(xué)選擇題和填空題的綜合題為研究對象，通過降維直觀、動態(tài)直觀、類比直觀、背景直觀以及符號與數(shù)字直觀的方法，找準(zhǔn)問題的關(guān)鍵點，將問題轉(zhuǎn)化為直觀化的形式，并以此為突破口進(jìn)行推理，從而實現(xiàn)快速解決問題的目的。

［關(guān)鍵詞］直觀；推理；高考數(shù)學(xué)；選填綜合題

［中圖分類號］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號］? ? 1674-6058（2024）08-0027-04

高考數(shù)學(xué)選擇題和填空題的綜合題（以下簡稱“選填綜合題”）知識覆蓋面廣，綜合性強，構(gòu)成要素復(fù)雜，學(xué)生需要具有完備的數(shù)學(xué)知識體系、敏銳的洞察能力、縝密的邏輯推理能力和較強的運算能力才能解答此類題型［1］。尤其是新高考增加了多選題，它在增強考試的區(qū)分度和選拔功能的同時，也增加了考生的解題時間和心理壓力。如何快速解答選填綜合題是提高高考數(shù)學(xué)答題效率的關(guān)鍵。

數(shù)學(xué)直觀是指基于數(shù)感、量感、符號意識、結(jié)構(gòu)意識、幾何直觀等建立起來的一種數(shù)學(xué)抽象能力，它影響著解題方案的擬定，是解題的核心。數(shù)學(xué)思維是基于運算能力、推理意識而建立起來的邏輯推理能力，它影響著解題目標(biāo)的達(dá)成，是解題的基礎(chǔ)。發(fā)展數(shù)學(xué)直觀、鍛煉數(shù)學(xué)思維是復(fù)習(xí)備考中培養(yǎng)綜合應(yīng)用能力、提升素養(yǎng)水平的集中體現(xiàn)［2］。

高考數(shù)學(xué)選填綜合題需要借助圖象的直觀化、具體化表示和邏輯推理來解答。直觀方法的優(yōu)勢在于可以將問題可視化，幫助學(xué)生更好地把握問題的本質(zhì)和厘清解題思路。推理方法的優(yōu)勢在于可以通過邏輯思維，推導(dǎo)出問題的解答過程?！爸庇^+推理”方法的應(yīng)用可以更好地幫助學(xué)生解答高考數(shù)學(xué)選填綜合題。

一、降維直觀，化繁為簡

在解決立體幾何問題時，應(yīng)找準(zhǔn)問題的著力點，打開問題突破口，將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，以降低思維難度。如有關(guān)球的組合體問題，常作過球心的截面；有公共邊的兩個等腰三角形，常作過公共邊中點的截面。

［例1］（2023年高考全國甲卷理科數(shù)學(xué)第15題）在正方體[ABCD-A1B1C1D1]中，[E]、[F]分別為[CD]、[A1B1]的中點，則以[EF]為直徑的球面與正方體每條棱的交點總數(shù)為? ? ? ? ? ? 。

解析：如圖1，過[EF]作垂直于棱[AB]的平面截球面得到以[EF]為直徑的圓[O]，顯然圓[O]與棱[AB]、[CD]、[A1B1]、[C1D1]均相切，同時，圓心[O]既是球心也是正方體的中心，由對稱性可知其他棱也與球[O]相切，因此，球與正方體棱共有12個交點。

本解法的關(guān)鍵點是“過[EF]作垂直于棱[AB]的平面”。

［例2］（2023年高考全國乙卷理科數(shù)學(xué)第9題）已知[△ABC]為等腰直角三角形，[AB]為斜邊，[△ABD]為等邊三角形，若二面角[C-AB-D]為[150°]，則直線[CD]與平面[ABC]所成角的正切值為（）。

A. [15]B. [25]C. [35]D. [25]

解析：如圖２，取[AB]中點[E]，由題意可知截面[DCE]垂直[AB]，因此[∠CED]是二面角[C-AB-D]的平面角，即[∠CED=150°]，[∠DCE]是直線[CD]與平面[ABC]所成的線面角。令[AB=2]，則[CE=1]，[DE=3]，在[△CDE]中，由余弦定理得[CD=7]，由正弦定理得[sin∠DCE=327]，[tan∠DCE=35]，故選C。

本解法的關(guān)鍵點是“過[AB]的中點[E]構(gòu)造截面[DCE]”。

二、動態(tài)直觀，解決最值問題

動態(tài)問題常常與求最值問題相關(guān)聯(lián)。通過求動點的軌跡，我們可以直觀地找到問題的關(guān)鍵點，并通過簡單的推理來解決問題。在求解最值的過程中，通過觀察軌跡的變化趨勢，我們可以確定最值點的位置和取值，從而解答問題。因此，運用“直觀+推理”的方法可以幫助我們更好地解決最值問題。

［例3］（2023年高考全國乙卷理科數(shù)學(xué)第12題）已知[⊙O]的半徑為1，直線[PA]與[⊙O]相切于點[A]，直線[PB]與[⊙O]交于[B]、[C]兩點，[D]為[BC]的中點，若[PO=2]，則[PA·PD]的最大值為（）。

A. [1+22]? ? ? ? ? ? ? ? ?B. [1+222]

C. [1+2]? ? ? ? ? ? ? ? ? D. [2+2]

解析：中點[D]的軌跡是以[OP]為直徑的圓的一部分（如圖3），由題意可知[PA=1]，所以[PA·PD=PA·PDcos（PA，PD）=PH]，其中[PH]是[PD]在[PA]上的投影，顯然當(dāng)[DH]與[D]的軌跡相切時[PH]最大。取[PA]、[PO]的中點[N]、[M]，則[M]為[D]的軌跡圓的圓心。易知[NM?12AO]，[NM⊥PA]，[PN=NM=12]，[PM=22]，[DM=PM=22]。[DH]與圓[M]相切于[D]點，則[DH⊥DM]，易知四邊形[MNHD]為矩形，∴[NH=MD=22]。[PH=PN+NH=12+22=1+22]，故選Ａ。

本解法的關(guān)鍵點是發(fā)現(xiàn)“中點[D]的軌跡是以[OP]為直徑的圓的一部分”。

［例4］（2017年高考全國Ⅲ卷理科數(shù)學(xué)第12題）在矩形[ABCD]中，[AB=1]，[AD=2]，動點[P]在以點[C]為圓心且與[BD]相切的圓上。若[AP=λAB+μAD]，則[λ+μ]的最大值為（）。

Ａ. [3]Ｂ. [22]Ｃ. [5]Ｄ.[2]

解析：如圖4，[AP=mAP'=λAB+μAD=mλmAB+μmAD]（[m≥1]），[AP'=λmAB+μmAD]，又因為[B、P'、D]三點共線，所以[λm+μm=1]，即[m=λ+μ=APAP']。過[P]作[BD]的平行線[l]，顯然當(dāng)[l]與圓[C]相切時[m]最大，但[APAP']難以計算，由平行線性質(zhì)可知[l]上任一點[Q]都有[APAP'=AQAQ']，當(dāng)[AQ⊥l]時，[AQAQ'=3RR=3]（[R]為圓[C]半徑），故選Ａ。

本解法的關(guān)鍵點是發(fā)現(xiàn)“當(dāng)[AQ⊥l]時，[AQAQ'=3RR=3]”。

三、類比直觀，避開煩瑣運算

坐標(biāo)法和直觀法是解決數(shù)學(xué)問題的常見途徑。通過類比，可將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題。如將圓的性質(zhì)與圓錐曲線的性質(zhì)進(jìn)行類比，把解決圓的相關(guān)問題的方法遷移到圓錐曲線問題上，經(jīng)過類比發(fā)現(xiàn)問題關(guān)鍵點，從而打開問題突破口。通過這種類比的方式，我們可以在解決數(shù)學(xué)問題時避免煩瑣冗長的計算過程，節(jié)省時間。通過觀察不同問題之間的相似之處，可以應(yīng)用已掌握的知識和解決方法，快速找到問題的關(guān)鍵點和解決策略。

［例5］（2022年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)第16題）已知直線[l]與橢圓[x26+y23=1]在第一象限交于[A]、[B]兩點，[l]與[x]軸、[y]軸分別交于[M]、[N]兩點，且[MA=NB]，[MN=23]，則[l]的方程為? ? ? ? ? ? ?。

解析：如圖５，取[AB]的中點[E]，同時也是[MN]的中點。類比圓的中點弦定理，可得橢圓的中點弦性質(zhì)：[kAB·kOE=-b2a2=-36=-12]，設(shè)[E（m，n）]，則[M（2m，0）]，[N（0，2n）]，[kAB·kOE=kMN·kOE=-2n2m·nm=-12]，[nm=12]，即[kMN=-12]，[tan∠OMN=12]，∵[MN=23]，∴[ON=2]，[lAB]∶[y=-12x+2]，即[x+2y-22=0]。

本解法的關(guān)鍵點是“類比圓的中點弦定理可得橢圓的中點弦性質(zhì)：[kAB·kOE=-b2a2]”。

［例6］（2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第11題）已知[O]為坐標(biāo)原點，點[A（1，1）]在拋物線[C：x2=2py（p>0）]上，過點[B（0，-1）]的直線交[C]于[P]、[Q]兩點，則（）。

A. [C]的準(zhǔn)線為[y=-1]? ? ? ? ?B. 直線[AB]與[C]相切

C. [OP·OQ>OA2] ? ?D. [BP·BQ>BA2]

解析：本題容易判斷選項A錯誤，選項B、C正確。對于選項D，類比圓的切割線定理可知[BP·BQ=BA2]（如圖６），推知[BP·BQ>BA2]（如圖７，其中[B]點在焦點所在的對稱軸上），因此D正確，故選B、C、D。

對于選項D的判斷，關(guān)鍵點是“類比圓的切割線定理可得[BP·BQ>BA2]”。

四、背景直觀，由特殊推知一般

選填綜合題具有背景復(fù)雜、知識交匯、條件隱秘的特點。解答這類題目需要對題目信息進(jìn)行深入挖掘和有效整合，包括隱含的條件和可能的選擇分支，以確保推理的準(zhǔn)確性和完整性。在解題過程中，我們需要將問題的背景知識進(jìn)行直觀化和特殊化，將抽象的概念和條件轉(zhuǎn)化為具體的圖象或數(shù)學(xué)模型，以便更好地分析和解決問題。逐層推理和判斷是解答選填綜合題的關(guān)鍵，我們需要進(jìn)行多次推演和邏輯推理，將題目信息與問題要求進(jìn)行對照，逐步得出最終的解答。通過解答選填綜合題，學(xué)生可以提高對多學(xué)科知識的整合能力和問題分析能力，并培養(yǎng)系統(tǒng)思維和創(chuàng)新思維。

［例7］（2022年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)第8題）已知函數(shù)[f（x）]的定義域為R，且[f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）]， [f（1）=1]，則[k=122f（k）=]（）。

A. [-3] B. [-2] C. 0 D. 1

解析：由[f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）]背景，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式[cos（x+y）+cos（x-y）=2cosxcosy]，所以構(gòu)造[f（x）=2cosπ3x]，又因為[f（x）]的周期[T=6]，[k=16f（k）=0]，所以[k=122f（k）=f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=1-1-2-1=-3]。故選A。

本解法的關(guān)鍵點是“由[f（x+y）+f（x-y）=f（x）f（y）]構(gòu)造[f（x）=2cosπ3x]”。

［例8］（2022年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)第12題）若實數(shù)[x]、[y]滿足[x2+y2-xy=1]，則（）。

A. [x+y≤1] ? B. [x+y≥-2]

C. [x2+y2≤2] D. [x2+y2≥1]

解析：由[x2+y2-xy=1]的方程結(jié)構(gòu)特征，發(fā)現(xiàn)方程關(guān)于坐標(biāo)軸和原點對稱，可令[x=y=1]，由此可排除Ａ；令[x=１3]，[ y=-１3]可排除D，故選B、C。

本解法的關(guān)鍵點是發(fā)現(xiàn)“方程[x2+y2-xy=1]的方程結(jié)構(gòu)特征”。

［例9］（2022年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)第11題）如圖8，四邊形[ABCD]為正方形，[ED⊥]平面[ABCD]，[FB]∥[ED]，[AB=ED=2FB]，記三棱錐[E-ACD]，[F-ABC]，[F-ACE]的體積分別為[V1]、[V2]、[V3]，則（）。

A. [V3=2V2]? ? ? B. [V3=2V1]

C. [V3=V1+V2]D. [2V3=3V1]

解析：由[ED=2FB]可判斷[V2=12V1]，則選項可轉(zhuǎn)化為

A. [V3=2V2=V1]? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?B. [V3=2V1]

C. [V3=V1+V2=32V1]? ? ? ? ? ? ? ? D. [V3=32V1]

可見，選項C與D等價，選項A、B、C中有且只有一個正確。若選項A正確，則選項B、C、D錯誤，這與多選題“至少有兩個選項符合要求”相矛盾，故選項A錯誤，排除A，同理也可排除B，從而選擇C、D。

本解法的關(guān)鍵點是“由[ED=2FB]判斷[V2=12V1]，從而將選項轉(zhuǎn)化為[V1]與[V3]的關(guān)系式”。

五、符號、數(shù)字直觀，回歸模型

對于選填綜合題，我們通常需要將問題中的符號和數(shù)字轉(zhuǎn)化為熟悉的數(shù)學(xué)模型，以便更好地分析和解決問題。如根據(jù)問題的特征進(jìn)行等價轉(zhuǎn)換、對稱轉(zhuǎn)換、周期變換、平移變換等。

［例10］（2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第16題）已知橢圓[C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）]，[C]的上頂點為[A]，兩個焦點為[F1]、[F2]，離心率為[12]。過[F1]且垂直于[AF2]的直線與[C]交于[D]、[E]兩點，[DE=6]，則[△ADE]的周長是? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 。

解析：如圖9，由橢圓的離心率[e=ca=12]，可判斷[△AF1F2]為等邊三角形。由[DE⊥AF2]，可知[DE]是[AF2]的中垂線，所以[AD=DF2]，[AE=EF2]，[C△ADE=C△F2DE=4a]。由[DE=2ep1-e2cos230°=p1316=6]，[p=398=a2-c2c]，又∵[ca=12]，∴[4a=13]，∴[△ADE]的周長是13。

本解法的關(guān)鍵點是“由橢圓的離心率[e=ca=12]，可判斷[△AF1F2]為等邊三角形”。

［例11］（2023年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第16題）已知雙曲線[C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦點分別為[F1、F2 ]。點[A]在[C]上，點[B]在[y]軸上，[F1A⊥F1B]，[F2A=-23F2B]，則[C]的離心率為? ? ? ? ? ? 。

解析：如圖10所示，由[F1A⊥] [F1B]，[F2A=-23F2B] ，設(shè)[AF2=2m]，則[BF2=3m=BF1]，[AB=5m]，[AF1=4m]，由雙曲線定義得[AF1-AF2=4m-2m=2a]，[m=a]，所以[cos∠F1AF2=AF1AB=4a5a=45]，所以在[△AF1F2]中，[cos∠F1AF2=16a2+4a2-4c22×4a×2a=45]，整理得[5c2=9a2]，故[e=ca=355]。

本解法的關(guān)鍵點是“將[F1A⊥F1B]，[F2A=-23F2B]轉(zhuǎn)化為用[a]表示[Rt△AF1F2]的邊長，再結(jié)合雙曲線定義求解”。

為了幫助學(xué)生快速解答高考數(shù)學(xué)選填綜合題，我們需要重點培養(yǎng)他們的直觀觀察力和推理能力。解答高考數(shù)學(xué)選填綜合題，不僅僅依賴于知識體系的完整性，還需要學(xué)生具備敏銳的觀察力和縝密的思維能力。在高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)備考期間，教師要強化學(xué)生的畫圖和識圖能力，并加強學(xué)生對數(shù)學(xué)符號的理解和轉(zhuǎn)化應(yīng)用。同時，應(yīng)結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知水平，加強學(xué)生直觀理解能力的培養(yǎng)，并通過練習(xí)鍛煉學(xué)生的思維能力。

［? ?參? ?考? ?文? ?獻(xiàn)? ?］

［1］? 龐毅.高中數(shù)學(xué)多選題解題策略訓(xùn)練對解題能力影響的實驗研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（28）：65-69.

［2］? 孔令磊.數(shù)學(xué)直觀和數(shù)學(xué)思維在解題中的應(yīng)用［J］.教學(xué)考試，2023（38）：15-19.

（責(zé)任編輯 羅 艷）