例析利用分類討論思想解題的步驟和思路

杜菊梅

【摘要】在初中階段的數(shù)學(xué)解題過程中，分類討論思想是指根據(jù)題設(shè)中的多種可能和情況，將研究對(duì)象區(qū)分為不同種類，以此簡(jiǎn)化計(jì)算的一種數(shù)學(xué)思想.利用分類討論思想可以快速解決數(shù)學(xué)問題.

【關(guān)鍵詞】分類討論；初中數(shù)學(xué)；解題技巧

初中階段，如果被討論的問題包含多種可能和預(yù)設(shè)情況，不能一概地進(jìn)行討論時(shí)，我們必須使用分類討論思想將所有可能出現(xiàn)的情況全部分開進(jìn)行討論，并最后匯總成統(tǒng)一的答案和結(jié)論.分類討論思想囊括了整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段和過程，它既是一種重要的指導(dǎo)思想，也是一種高效的解題策略.在解決初中函數(shù)、方程、不等式問題時(shí)，合理恰當(dāng)?shù)厥褂梅诸愑懻撍枷肟梢宰尳忸}過程清晰、明了、簡(jiǎn)單，避免在解題過程中出現(xiàn)思路不清晰、漏解、錯(cuò)解等失分現(xiàn)象.基于此，筆者以自身經(jīng)驗(yàn)為例討論應(yīng)用分類討論思想解題時(shí)的步驟和思路，希望能給學(xué)生帶來啟示.

初中階段使用分類討論思想解決數(shù)學(xué)問題大致可以分為以下幾步：（1）確定討論對(duì)象、劃分討論范圍；（2）明確分類依據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)；（3）按照分類的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類并以各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行差異化討論，注意不要重復(fù)劃分范圍，不漏解、不錯(cuò)解；（4）將各個(gè)類別的結(jié)果匯總，得出最終結(jié)論.

按照上述思路和步驟，筆者以具體的例題分析分類討論思想在初中數(shù)學(xué)解題過程中的具體應(yīng)用思路和步驟.

例1 已知二次函數(shù)y=mx2+2mx+3，其中m≠0.

（1）若二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，0），求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）在二次函數(shù)圖象上任取兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2），當(dāng)a≤x1≤x2≤a+2時(shí)，總有y1>y2，求a的取值范圍.

分析

本題第（1）小問比較簡(jiǎn)單，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，直接把已知點(diǎn)的坐標(biāo)帶入函數(shù)解析式即可求出m的值，進(jìn)而求出二次函數(shù)的表達(dá)式.本題難點(diǎn)在于第（2）小問中需要根據(jù)二次函數(shù)的增減性分類討論，存在m<0和m>0兩種情況，并以此將函數(shù)分為開口方向向上和開口方向向下兩種情況，進(jìn)而合理地討論a的取值范圍.

解析

根據(jù)函數(shù)的開口方向，我們將m的取值范圍以0作為分界點(diǎn).

①當(dāng)m>0時(shí)，函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸為x=－1，函數(shù)圖象如圖1.

由圖象可知，當(dāng)x≤－1時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x>－1時(shí)，y隨x的增大而增大.

因?yàn)楫?dāng)a≤x1≤x2≤a+2時(shí)，總有y1>y2，此時(shí)a+2≤－1，

所以a≤－3.

②當(dāng)m<0時(shí)，函數(shù)開口向下，對(duì)稱軸為x=－1，函數(shù)圖象如圖2.

由圖象可知，當(dāng)x≤－1時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x>－1時(shí)，y隨x的增大而減小.

因?yàn)楫?dāng)a≤x1≤x2≤a+2時(shí)，總有y1>y2，此時(shí)a≥－1.

綜上所述，當(dāng)m>0時(shí)a≤－3；當(dāng)m<0時(shí)，a≥－1.

本題主要考查的是分類討論思想在二次函數(shù)中的應(yīng)用.學(xué)會(huì)通過合理選擇含參變量的取值范圍，確認(rèn)二次函數(shù)的增減性，從而將較為復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.分類討論思想除了在函數(shù)中的應(yīng)用較為廣泛，在幾何、絕對(duì)值當(dāng)中的使用頻次也非常高.下面這一道例題就是分類討論思想在幾何中的綜合應(yīng)用.

例2 如圖3，分別以長(zhǎng)方形OABC的邊OC，OA所在直線為x軸和y軸建立平面直角坐標(biāo)系，已知OA=10，AB=6，點(diǎn)E在線段OC上，以直線AE為軸，把△OAE翻折，點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上.

（1）分別求點(diǎn)E和點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）若直線AD與x軸相交于點(diǎn)F，P是x軸負(fù)半軸上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在△APF為等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

分析

（1）根據(jù)折疊這一信息可以得出：AD=OA=10，OE=DE，再由勾股定理得BD的長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的性質(zhì)可以得出點(diǎn)D的坐標(biāo).設(shè)OE=x，則在直角三角形CDE中，可得x的值，得點(diǎn)E的坐標(biāo).（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可以將點(diǎn)P分為三種情況，以此分類討論可得點(diǎn)P的坐標(biāo).

解析

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，

①當(dāng)AP=AF時(shí)，如圖5中點(diǎn)P1的位置，此時(shí)，AP1=AF，我們只需求出點(diǎn)F的坐標(biāo)即可.

設(shè)直線AD的解析式為：y=kx+b，

將A（0，10）和點(diǎn)D（6，2）代入得b=106k+b=2，

解之得k=－43b=10，

故直線AD的解析式為：y=－43x+10.

當(dāng)y=0時(shí)，x=152，故點(diǎn)F的坐標(biāo)為（152，0），

故點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（－152，0）.

②當(dāng)AF=FP時(shí)，如圖2中點(diǎn)P2的位置，

此時(shí)，AF2=FP2，△AFP2是等腰三角形，

由勾股定理得：AF=102+（152）2=252，

所以O(shè)P2=252－152=5，

所以P2（－5，0）.

③當(dāng)AP3=FP3時(shí)，如圖6，設(shè)P3（x，0），

所以x2+102=（x－152）2，

解之得x=－3512，

所以P（－3512，0）.

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（－152，0）或（－5，0）或（－3512，0）.

結(jié)語

總的來說，分類討論思想作為初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)指導(dǎo)思想，學(xué)生需要重點(diǎn)掌握.在日常的學(xué)習(xí)和解題過程中，要養(yǎng)成分類討論的思維習(xí)慣，學(xué)會(huì)按照分類討論思想應(yīng)用的步驟將大問題分為若干個(gè)小問題，靈活求解，準(zhǔn)確求解.