一道高三二模試題的解法探究

周文建 古麗鮮?依斯拉木

摘要：圓錐曲線一直是高考中的重點(diǎn)、難點(diǎn)與熱點(diǎn)，在高考中所占分值大概在22分左右，試題類型通常是一個(gè)主觀解答題和兩個(gè)客觀選填題，試題難度中等偏高甚至較難，一直是命題教師比較重視的一個(gè)命題點(diǎn)，也是學(xué)生常見的失分點(diǎn).作為命題教師，從命題和題解兩個(gè)角度解析一道?？?jí)狠S客觀題，以助高三師生更好地把握此章節(jié)內(nèi)容的考查.

關(guān)鍵詞：圓錐曲線；高考；核心素養(yǎng)

1 題目呈現(xiàn)

（2023年烏魯木齊地區(qū)第二次質(zhì)量檢測(cè)＼515）F1，F(xiàn)2分別為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)，A為下頂點(diǎn)，M，N為橢圓上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，若點(diǎn)M，F(xiàn)1，A在一條直線上，NF2⊥AM，則此橢圓的離心率是.

2 命題思路

作為高中知識(shí)體系里難度較高的一個(gè)章節(jié)，圓錐曲線問題理所當(dāng)然成為高三?？济}的壓軸題選擇.在命題中圓錐曲線三種曲線類型一般都會(huì)涉及到，其中橢圓的內(nèi)容是必考點(diǎn)之一，考慮到解答題使用拋物線作為考查背景，就將橢圓作為客觀題壓軸題背景，出現(xiàn)在模考的第15題位置.橢圓試題命制的出發(fā)點(diǎn)和背景比較廣泛，但是立腳點(diǎn)一般都是橢圓的定義、焦點(diǎn)三角形、焦點(diǎn)弦、離心率等較為常見的形式，考查模式也多是垂直、平行、比例、等角、正弦定理、余弦定理、內(nèi)切或外接三角形等相融合.一般會(huì)設(shè)計(jì)多個(gè)角度和視角的解決思路，包括通解通法、注重定義、構(gòu)建三角形、三角代換、極坐標(biāo)等方法.

本題從學(xué)生非常熟悉的焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形以及定義的融合出發(fā)，設(shè)計(jì)的考查形式也是學(xué)生喜聞樂見的垂直關(guān)系，給學(xué)生留下的思考空間也就比較廣泛.學(xué)生既可以使用通解通法，也可以使用極坐標(biāo)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式，或者使用橢圓定義結(jié)合正弦定理與余弦定理來(lái)解決問題.綜合考查了學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、提出問題與解決問題的能力，本題也體現(xiàn)出對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的綜合要求.

3 解法探究

思路一：直譯通解通法——萬(wàn)法之根本.

解析：設(shè)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），A（0，-b），如圖1，

則kAM=kAF1=-bc，直線AM的方程為y=-bcx-b.

聯(lián)立y=-bcx-b，x2a2+y2b2=1，消y，得

b2+a2b2c2x2+2a2b2cx=0，

于是可得xM=-2a2ca2+c2，則yM=b（a2-c2）a2+c2，因此可得N-2a2ca2+c2，-b（a2-c2）a2+c2，

所以kNF2=b（a2-c2）c（3a2+c2）.

由NF2⊥AM，得kNF2kAM=-1，即

b（a2-c2）c（3a2+c2）=cb.

化簡(jiǎn)，得a2=5c2，所以e=ca=55.

評(píng)注：通解通法一直是學(xué)生解決高考圓錐曲線問題的最常用方法，也是最有效的方法，優(yōu)點(diǎn)是思維要求較低，準(zhǔn)入門檻低，容易上手，但缺點(diǎn)就是運(yùn)算較為復(fù)雜，多數(shù)學(xué)生不能通過運(yùn)算有效解決問題.

思路二：巧用垂直關(guān)系、橢圓定義解決問題.

解析：設(shè)∠MF2F1=θ，則∠NF2F1=∠NMA=∠MAO=∠F2AO=θ，如圖2.

由NF2⊥AM，得∠AF2N+2θ=90°，所以可知∠MF2A=90°.

于是，有|F2M|2+|F2A|2=|MA|2，即（2a-|MF1|）2+a2=（a+|MF1|）2，

得|MF1|=23a.

所以|MF2|=43a.

在Rt△MF2A中，cos 2θ=a|AM|=aa+23a=35.

又因?yàn)閏os 2θ=1-2sin2θ=1-2ca2，所以1-2ca2=35，解得e=55.

評(píng)注：圓錐曲線的定義在解決圓錐曲線客觀題中往往可以起到意想不到的簡(jiǎn)便作用，“有困難先找定義”應(yīng)該是解決此類問題的首要反應(yīng).

思路三：巧用橢圓定義、正弦定理解決問題.

解析：設(shè)∠MF2F1=θ，則∠NMA=∠MAO=θ.

于是∠F1MF2=90°-2θ，∠MF1F2=90°+θ.

在△MF1F2中，可得|F1F2|sin（90°-2θ）=|MF1|sin θ=|MF2|sin（90°+θ），

即

2ccos 2θ=|MF1|sin θ=|MF2|cos θ=|MF1|+|MF2|sin θ+cos θ=2asin θ+cos θ.

所以ca=cos 2θsin θ+cos θ=cos θ-sin θ=ba-ca，即b=2c，解得e=55.

評(píng)注：圓錐曲線中邊角關(guān)系的考查往往都會(huì)建立三角形背景，而三角形中處理邊角關(guān)系最常用的手段就是正余弦定理，故在解決此類問題時(shí)要注重觀察是否可以構(gòu)建三角形中的正余弦定理.

思路四：直角三角形中巧用焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式.

解析：焦點(diǎn)在x軸上的橢圓的焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式為|AM|=2ep1-e2cos2α，其中p=b2c.

設(shè)∠MF2F1=∠NF2F1=∠NMA=∠MAO=∠F2AO=θ，如圖3，直線MA的傾斜角為α.

由NF2⊥AM，得∠AF2N+2θ=90°，即∠MF2A=90°.

由α=π2+θ，得

cos2α=sin2θ=c2a2=e2.

于是|AM|=2ca·b2c1-e2·e2=2b2a（1-e4）.

在Rt△MF2A中，cos 2θ=a|AM|，即

a=|AM|（1-2sin2θ）=2b2a（1-e4）（1-2e2）.

整理，得a22（a2-c2）=1-2e21-e4，即5e4-6e2+1=0，又0＜e＜1，所以解得e=55.

評(píng)注：橢圓和雙曲線的第二定義及焦點(diǎn)弦公式，雖然現(xiàn)在教材中沒有直接體現(xiàn)，只是作為例題出現(xiàn)，但還是建議把它講解清楚，因?yàn)樵诟呖贾羞€是會(huì)經(jīng)常遇到.

思路五：極坐標(biāo)的靈活使用.

解析：以F1為極點(diǎn)，F(xiàn)1x為極軸建立極坐標(biāo)系，如圖4.作MQ垂直極軸于點(diǎn)Q，F(xiàn)2N交AM于點(diǎn)R.

由ρ=ep1+ecos θ，p=b2c，得

|F1M|=ρ=ca·b2c1+ca·ca=ab2a2+c2，

所以|MQ|=ρsin θ=ab2a2+c2·ba=b3a2+c2，|F1Q|=ρcos θ=ab2a2+c2·ca=b2ca2+c2，|F2Q|=2c+b2ca2+c2.

又|F2Q||MQ|=|F2Q||NQ|=|F2R||RF1|=tan θ=bc，即2c+b2ca2+c2b3a2+c2=bc，

化簡(jiǎn)得a2=5c2，所以e=ca=55.

評(píng)注：新教材中雖然已經(jīng)刪除極坐標(biāo)的內(nèi)容，但是作為一個(gè)經(jīng)典的知識(shí)內(nèi)容，它對(duì)于平面解析幾何的作用還是非常明顯的.因此，還是建議基礎(chǔ)好的學(xué)生對(duì)此有深入了解，因?yàn)樗诮鉀Q很多平面解析幾何問題中有其獨(dú)到的優(yōu)勢(shì).

4 反思與啟示

高考題是立足基礎(chǔ)而又充滿創(chuàng)新，絕不是孤立的知識(shí)點(diǎn)的考查，也不是單純對(duì)某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的簡(jiǎn)單考查，高考題往往是由教材的基礎(chǔ)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、經(jīng)典的基本方法和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)深度整合而成的.這就要求師生在平時(shí)要多維度、多視角地深入研究，強(qiáng)化思考能力，真正進(jìn)入深度學(xué)習(xí)，很多時(shí)候甚至可以引入一些高等數(shù)學(xué)的數(shù)學(xué)思想和方法；需要感悟教材的編寫意圖、挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)、搭建數(shù)學(xué)知識(shí)脈絡(luò)、探根尋本，然后從不同的視角思考問題，從而提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，以在高考中取得“先手”.